高等数学 §9.3三重积分计算ppt课件

1、定定义义),(zyxf设设在在有有界界闭闭区区域域上上 有有界界)1(: 分割分割,1v ,2v nv )2(iv 取点取点 ),(iii 作和：作和：)3(iv ),(iiif ni 1)4(求极限求极限0limdiv ),(iiif ni 1, 若此极限若此极限则称之为则称之为( , , )f x y z上上的的在在 三重积分三重积分记为记为 ),(zyxfdv9.3 9.3 三重积分的计算三重积分的计算9.39.31 1直角坐标系中三重积分的计算直角坐标系中三重积分的计算2的体积dxdydz （时 1),(zyxf） 。 注注: 1dxdydzzyxfdvzyxf),( ),(， dxd

2、ydz 称为直角坐标系下的体积元素。 如果),(zyxf表示某物体在点),(zyx处的密度，是 该物体所占有的空间闭区域，),(zyxf上在连续，则 iiiinivf) , ,(1是该物体质量 m 的近似值， niiiidfdvzyxfm10),(lim),(。 dxdydzzyxfdvzyxf)()(，二.直角坐标系下三重积分的计算 。面上，得投影域投影到把xyDxy).(型区域为的交点不多于两个边界曲面的的直线与轴且穿过区域设平行于xySZxyzoxyD),(1yxzz ),(2yxzz 分成两部分：的交线把柱面，柱面与轴的行于的边界为准线作母线平以SSZDxy)()(, )()(2122

3、11yxzyxzyxzzSyxzzS，：，：xyzoxyD),(1yxzz ),(2yxzz ),(),(21)(yxzyxzDdzzyxfdxdyxy，先对 Z 积分“先一后二或“细棒法，则，与，的交点的纵坐标为线，此直线与轴的的直作平行于，内任一点过)()()(21yxzyxzSzyxDxy xyDyxzyxzdxdydzzyxfdxdydzzyxf)()(),(),(21，注注：1若平行于) ( 轴或轴yx的直线与 S 的交点不多于 两个，则同样可把投影到yoz面（xoz或面）上， 得到先对 x（或 y）的积分。 2若平行于坐标轴的直线与 S 的交点多于两个，则可 把分 成几块处理。 3

4、计算三重积分也可化为先计算一个二重积分，再计算 一个定积分（先先二二后后一一法法） 。 设空间闭区域11 ),(),(),(czczDyxzyx， xyz1c2czDoz先二后一法) 切片法其中)(zD是用平面 z=z 截闭区域 所得的平面闭区域，则有 1c .),(),()(21zDccdxdyzyxfdzdvzyxf xyD：122 yx。111112222),(xxyxdzzyxfdydxI， 解：先对积分 zxyzo111z22yxz例 1把三重积分dxdydzzyxfI),(化为各种次序的三次积分，其中是由平面1z及锥面222yxz所围成的立体。xyo1121 xy21 xyxyD，

5、 221( , , )xyxyDIdxdyf x y z dz由22yxz解得22yzx， 先对积分 x yzD：10z，zyz。2222( , , )yzzyzyDIdydzf x y z dx， yzo1z22yxzxyzo1zy zyyzD 102222),(zzxzxzdyzyxfdxdzI，由22yxz解得22xzy， 先对积分 y xzD：10 z，zxz。2222( , , )xzzxzxDIdxdzf x y z dyxyzo1z22yxzxzo1zx zxxzD解：在xoy面上的投影区域为 xyD：.210 , 10 xyx 例 2计算三重积分xdxdydz，其中为三个坐标

6、平面及平面12zyx所围成的闭区域。 yxxxdzdydxxdxdydz21211000481)2(41)21 (103221100dxxxxdyyxxdxx。xyzo1211例 3计算三重积分dxdydzz2，其中是由椭球面1222222czbyax所围成的空间闭区域。xyzozD分析分析：被积函数中缺变量yx 和，用平行于xoy平面 去截，其截面是椭圆。故用“先二后一法” 。解： ,1),(222222czcczbyaxzyx，,)(22zDccdxdydzzdxdydzz其中 D(z)为平面上的zz椭圆盘：2222221czbyax， )1 (11222222)(czabczbczadx

7、dyzD故32222154)1 (abcdzczzabdxdydzzcc。 三三、利利用用对对称称性性简简化化三三重重积积分分的的计计算算 1 1设上连续在有界闭区域),(zyxf。若面关于yoz ),(面或面或xozxoy对称，被积函数),(zyxf关于变量 x（或 z，或 y）是奇函数，则0 ),(dxdydzzyxf； 若),(zyxf关于变量 x（或 z，或 y）是偶函数，则 三重积分等于其一半对称区域上重积分的两倍。 2 2若将 x 换为 y，y 换为 z，z 换为 x，积分区域不变， 则将被积函数中的变量作同样变换后所获得的积分 的值，与原积分的值相同。 (轮换对称性轮换对称性).

8、1),(,ddd1)1ln(222222222 zyxzyxzyxzyxzyxz其中其中计算计算. 0ddd1)1ln(222222 zyxzyxzyxz,平平面面对对称称积积分分区区域域关关于于 xOy.的的奇奇函函数数被被积积函函数数是是关关于于z例例4 4解解例 5计算dxdydzzxI)( 22，1222zyx为。 解：dxdydzzdxdydzxI22 ， 由轮换对称性知： dxdydzzdxdydzydxdydzx222 ， )(112222 zDdxdydzzdxdydzzI.158)(4)1 (210421122dzzzdzzz（1）变换 T：wvuzzwvuyywvuxx,，

9、 一对一的变为把区域； 9 93 32 2三重积分的普通换元法那三重积分的普通换元法那么么（2）上面变换中的函数在区域具有连续偏导数； 定理：设则dxdydzzyxf),(, , , ( , ,)fx u v wy u v wz u v wJ dudvdw9 93 32 2 柱面坐标系下三重积分的计算柱面坐标系下三重积分的计算 设),(zyxM为空间内一点，并设面在点 xoyM上的 投影P的极坐标为 ,，则称三元有序数组) , ,(z 是点 M 的柱面坐标，其中z , ,的取值范围规定为： 0，20，z。 xyzo),(zyxM),( P显然： sincoszzyx。 三组坐标面分别为： 常数

10、，即以 z 轴为轴的圆柱面； 常数，即过 z 轴的半平面； 常数z，即与xoy面平行的平面。 1000cossin0sincos),(),(zzyxJ， dzddzfdxdydzzyxf) ,sin,cos(),(。xyzo),(zyxM),( P例 6计算dvzyx)(，其中是 由224yxz 与zyx322所围成的区域。 解：两曲面的交线为 3z42222yxyxz 1322zyx， 224yxzzxyozyx322133在xoy平面上的投影区域为3,(22yxyxDxy， 在柱面坐标下43 , 30 ,20),(22zz. 积分区域关于xoz平面、yoz平面对称，而被 积函数yx, 分别

11、关于, x变量变量为 y奇函数， 0ydvxdv。 zdvydvxdvdvzyx )(.413 22433020zdzddzdv在xoy平面上的投影区域为 16),(22yxyxDxy， 例 7一形体0 , 4 zzy是由平面和圆柱面 1622 yx所围成，已知其上任一点的密度与该点到轴的距离 z成正比，求其 m质量。解：密度函数)0(),(22kyxkzyx，则 dxdydzyxkm22 。 xyzo1622yx4zy44dxdydzyxkm22sin404020dzddk403220)sin4(ddk.3512)sin643256(20kdk 在柱面坐标下 sin40 , 40 ,20),

12、(zz， 设空间一点M的直角坐标为),(zyx，从点 M 向 xoy平面引垂线，垂足为 P，令rOM ，设OM 与轴 z正向的 夹角为， OP与轴 x正向的 夹角为， 则称三元有序数组) , ,(r 是点 M 的球面坐标，其中 的取值范围规定为 , ,r： r0，0，20。 9 93 33 3 球面坐标系下三重积分的计算球面坐标系下三重积分的计算),(rMzxyoryxzP cos sinsinsin cossincosrzrOPyrOPxsin0sincoscossinsincossinsinsinsincoscoscossin),(),(2rrrrrrrzyxJ 三组坐标面分别为： 常数r

13、，即以原点为心的球面； 常数，即以原点为顶点，轴 z为轴的圆锥面； 常数，即过轴 z的半平面。 dxdydzzyxf),( ddrdrrrrfsin)cos,sinsin,cossin(2例 8计算三重积分dxdydzzyx)( 222，是其中 由圆锥面222zyx与上半球面222yxRz所围 成的区域。 解：在球面坐标系下，圆锥面222zyx化为4，上半球面RryxRz 222化为， ,0 ,40 ,20),(Rrrdxdydzzyx)(222404200sinRdrrdd4002220sinRdrrrdd.5225)221 (255RR222yxRzzxyo222yxz解：在球面坐标系下，曲面22yxz化为4，例 9计算三重积分dxdydzzyx2221，其中是 由曲面22yxz与1z所围成的闭区域。 平面1z化为cos1r， cos10 ,40 ,20 ),(rr。xyzo1z22yxz4cos122022200sin11drrrdddx