浅析小波变换

1、小波变换的思想小波变换的思想 Wavelet Transform 基本思想：将信号分解成一系列不同频率的连续正弦波的叠加。缺陷：丢掉了时间信息，无法根据变换结果判断一个特定的信号是在什么时候发生的。傅立叶变换傅立叶变换 引言引言-小波变换的由来小波变换的由来4实际采集的地震信号实际采集的地震信号它们的频域特性都随时间而变化。分析它需要提取某一时间段的频域信息或某一频率段所对应的时间信息。如何完成只分析数据中的一小部分?引言引言-短时傅里叶变换短时傅里叶变换 连续小波变换（连续小波变换（Continuous Wavelet TransformContinuous Wavelet Transfor

2、m， CWTCWT）用下式表示）用下式表示： (,)( ) (, )scale positionf tscale positionCt dt表示小波变换是表示小波变换是信号信号f f( (x x) )与与被缩放和平移被缩放和平移的的小波函数小波函数()()之积在信号存在的整个期间里求和的结果。之积在信号存在的整个期间里求和的结果。CWTCWT的的变换结果变换结果是许多是许多小波系数小波系数C C，这些系数是缩放因，这些系数是缩放因子（子（scalescale）和平移（）和平移（positionposition）的函数。）的函数。 基本小波函数()的缩放和平移操作 (1) (1) 缩放缩放。就是

3、压缩或伸展基本小波， 缩放系数越小， 则小波越窄小波的缩放操作 OOOf (t)f (t)f (t)tttf (t)(t)；scale1f (t)(2t)；scale0.5f (t)(4t)；scale0.25(2) (2) 平移平移。小波的延迟或超前。在数学上小波的延迟或超前。在数学上, ,函数函数f f( (t t) )延延迟迟k k的表达式为的表达式为f f( (t-kt-k) )，小波的平移操作(a) 小波函数(t)； (b) 位移后的小波函数(t-k) 2 2、小波尺度和信号频率的关系、小波尺度和信号频率的关系小尺度小尺度 信号的高频信号的高频大尺度大尺度 信号的低频信号的低频v 在

4、在每个可能的缩放因子和平移参数下计算小波系数每个可能的缩放因子和平移参数下计算小波系数，其计算量相当大，将产生其计算量相当大，将产生惊人的数据量惊人的数据量，而且有，而且有许多许多数据是无用数据是无用的。的。v 如果如果缩放因子和平移参数都选择为缩放因子和平移参数都选择为2 2j j（j j00且为整且为整数）的倍数数）的倍数， 即只选择部分缩放因子和平移参数来即只选择部分缩放因子和平移参数来进行计算，进行计算， 就会使分析的就会使分析的数据量大大减少数据量大大减少。v 使用这样的缩放因子和平移参数的小波变换称为使用这样的缩放因子和平移参数的小波变换称为双双尺度小波变换（尺度小波变换（Dyad

5、ic Wavelet TransformDyadic Wavelet Transform），它是，它是离散小波变换离散小波变换（Discrete Wavelet TransformDiscrete Wavelet Transform， DWTDWT）的一种形式。的一种形式。通常离散小波变换就是指双尺度小波变换。通常离散小波变换就是指双尺度小波变换。 DWT的由来的由来v 执行离散小波变换的执行离散小波变换的有效方法是使用滤波器有效方法是使用滤波器， 该该方法是方法是MallatMallat于于19881988年提出的，称为年提出的，称为MallatMallat算法算法( (马马拉拉) )。这种

6、方法实际上是一种信号分解的方法，。这种方法实际上是一种信号分解的方法， 在数在数字信号处理中常称为字信号处理中常称为双通道子带编码双通道子带编码。一个滤波器为低通滤波器，通过该滤波器可得到信号的近似值A（Approximations）另一个为高通滤波器， 通过该滤波器可得到信号的细节值D（Detail）。实际应用中，实际应用中，信号的低频分量往往是最重要的信号的低频分量往往是最重要的，而高频分量只，而高频分量只起一个修饰的作用。如同一个人的声音一样，起一个修饰的作用。如同一个人的声音一样， 把高频分量去掉把高频分量去掉后，听起来声音会发生改变，但还能听出说的是什么内容，但后，听起来声音会发生改

7、变，但还能听出说的是什么内容，但如果把低频分量删除后，就会什么内容也听不出来了。如果把低频分量删除后，就会什么内容也听不出来了。 图图 多级信号分解示意图多级信号分解示意图（a a） 信号分解；信号分解； (b) (b) 小波分树；小波分树； （c c）小波分解树）小波分解树 在使用滤波器对真实的数字信号进行变换时，在使用滤波器对真实的数字信号进行变换时，得到的数据将是得到的数据将是原始数据的两倍原始数据的两倍。 根据根据耐奎斯特耐奎斯特(Nyquist)(Nyquist)采样定理就采样定理就提出了降采样的方提出了降采样的方法，即在每个通道中每两个样本数据取一个，得到的法，即在每个通道中每两个

8、样本数据取一个，得到的离散小波变换的系数离散小波变换的系数(coefficient)(coefficient)分别用分别用cDcD和和cAcA表示表示 将信号的小波分解的分量进行处理后，一般还要根将信号的小波分解的分量进行处理后，一般还要根据需要把据需要把信号恢复出来信号恢复出来，也就是利用信号的小波分解，也就是利用信号的小波分解的系数还原出原始信号，这一过程称为的系数还原出原始信号，这一过程称为小波重构小波重构（Wavelet ReconstructionWavelet Reconstruction）或叫做或叫做小波合成小波合成（Wavelet SynthesisWavelet Synthe

9、sis）。）。 这 一 合 成 过 程 的 数 学 运 算 叫 做这 一 合 成 过 程 的 数 学 运 算 叫 做 逆 离 散 小 波 变 换逆 离 散 小 波 变 换（Inverse Discrete Wavelet TransformInverse Discrete Wavelet Transform， IDWTIDWT）。）。 小波重构算法示意图 SHLHL (1) (1) 重构近似信号与细节信号重构近似信号与细节信号由小波分解的近似系数和细节系数可以重构出原由小波分解的近似系数和细节系数可以重构出原始信号。始信号。同样，可由近似系数和细节系数分别重构出信号同样，可由近似系数和细节系数

10、分别重构出信号的的近似值近似值或或细节值细节值，这时只要近似系数或细节系数置，这时只要近似系数或细节系数置为零即可。为零即可。 重构近似和细节信号示意（a） 重构近似信号； (b) 重构细节信号 A1HL1000个 样 点0约 500个 0cA1约 500个 近 似 分 量(a)D1HL1000个 样 点(b)约 500个 0约 500个 近 似 分 量0cD1 (2)多层重构重构出信号的近似值A1与细节值D1之后，则原信号可用A1D1S重构出来。对应于信号的多层小波分解，小波的多层重构图: 重构过程为：A3D3A2；A2D2A1；A1+D1S。A3D3A2D2SA1D1n信号重构中，信号重构

11、中，滤波器的选择滤波器的选择非常重要，关系非常重要，关系到能否重构出满意的原始信号。低通分解滤到能否重构出满意的原始信号。低通分解滤波器（波器（L）和高通分解滤波器（）和高通分解滤波器（H）及重构）及重构滤波器组（滤波器组（L和和H）构成一个系统，）构成一个系统， 这个这个系统称为系统称为正交镜像滤波器（正交镜像滤波器（Quadrature Mirror Filters， QMF）系统）系统。多层小波分解和重构示意图 一、一、HaarHaar小波小波101/2( )11/210ttt 其它/224( )sin/4iie 二、二、 DaubechiesDaubechies小波小波D4尺度函数与小

12、波尺度函数与小波 012345-0.4-0.200.20.40.60.811.21.4-2-10123-1.5-1-0.500.511.52D6尺度函数与小波尺度函数与小波 三三. Morlet. Morlet小波小波20/2( )itttee20() /2( )2 e MorletMorlet小波不存在尺度函数小波不存在尺度函数; ; 快速衰减但非紧支撑快速衰减但非紧支撑. . Morlet小波是Gabor 小波的特例。 2221/421ti tg tetg t e Gabor 小波Morlet小波1,5四四. . 高斯小波高斯小波 2/212ttte 2/2i e ( ) t( ) 这是高

13、斯函数的一阶导数，在信号与图象的边缘提取中具有重要的应用。这是高斯函数的一阶导数，在信号与图象的边缘提取中具有重要的应用。主要应用于阶梯型边界的提取。主要应用于阶梯型边界的提取。 特性：特性： 指数级衰减，非紧支撑；具有非常好的时间频率局部化；指数级衰减，非紧支撑；具有非常好的时间频率局部化； 关于关于0 0轴反对称。轴反对称。五五. Marr. Marr小波小波( ) 这是高斯函数的二阶导数，在信号与图象的边缘提取中具有重要的应用。这是高斯函数的二阶导数，在信号与图象的边缘提取中具有重要的应用。主要应用于屋脊型边界和主要应用于屋脊型边界和DiracDirac边缘的提取。边缘的提取。 22/2

14、2( )(1)3ttte242/22 2( )3e （也叫墨西哥草帽小波） 特性：特性： 指数级衰减，非紧支撑；具有非常好的时间频率局部化；指数级衰减，非紧支撑；具有非常好的时间频率局部化； 关于关于0 0轴对称。轴对称。 t六六. Meyer. Meyer小波小波它的小波函数与尺度函数都是在频域中进行定义的。具体定义如下： 122324sin1 22333481 2433280 ,332cosivve 42335847020 0,1v tttttt 121222 33242cos1 223340 3v t( ) 七七. Shannon. Shannon小波小波 sin1/2sin21/21/

15、2tttt /21, 20, ie 其它在时域，在时域，ShannonShannon小波是无限次可微的，具有无穷阶消失矩，不小波是无限次可微的，具有无穷阶消失矩，不是紧支的，具有渐近衰减性但较缓慢；在频域，是紧支的，具有渐近衰减性但较缓慢；在频域，ShannonShannon小波是小波是频率带限函数，具有好的局部化特性。频率带限函数，具有好的局部化特性。 t八八. Battle-Lemarie. Battle-Lemarie样条小波样条小波 224222412sin164sin241sin3 8sin8sin34441( )() ()222 ige Battle-LemarieBattle-Lemarie线性样条小波及其频域函数的图形线性样条小波及其频域函数的图形 t总总 结结( )( ) t总总 结结Wavelet: 小波Ondelettes: 小波Compact support: 紧支撑Wavelet transform (WT): 小波变换Continuous Wavelet transform (CWT): 连续小波变换Discrete Wavelet transform (DWT): 离散小波变换Filter bank: 滤波器族Dyadic wavelet: 二进小波Scaling function: 尺度函数Bas