因式分解定理

1、§5因式分解定理§6重因式教学目的：把多项式分解为不可约因式的乘积教学重点：不可约多项式重因式课时：4教学方式：讲授式教学内容：一、不可约多项式1、定义：数域P上次数1的多项式p(x)称为不可约多项式，如果p(x)不能 表成数域P上的两个次数比p(x)低的多项式的乘积。问：为什么一定要强调数域P呢例：X4 4 (x2 2)(x2 2)在有理数域Q上不可分了(x V2)(x ，(x2 2)在实数域R上不可分了(x 也)(x <2)(x V2i)(x J2i)在复数域C上不可分了注：1、不可约多项式p(x),的因式只有非零常数c与自身的非零常数倍。2、p(x)与任意多项式

2、f (x)之间的关系只可能有两种关系：或者p(x) | f (x), 或者(p(x), f(x) 1。事实上，若(p(x), f(x) d(x)，那么 d(x) | p(x)，所以 d(x) 1 或者 d(x) cp(x) o2、重要性质(定理5):(1)若p(x)不可约，对 f(x),g(x) Px,若p(x) f(x)g(x)，则p(x) f(x)或p(x)g(x)(2) p(x)不可约，若p(x) f1(x)f2(x)fs(x)，则p(x) fi(x),对某个i 1,2, ,s二、因式分解及唯一性定理数域P上每一个次数1的多项式f(x)均可分解成数域P上一些不可约多项式的乘积。所谓唯一性

3、是指，如果f(x)有两个分解式f (x)Pi(x)P2(x) Ps(x) q1(x)q2(x) qt(x)则必有s t且适当排列因式的次序后有Pi(x) cqi(x)，其中 Ci 0, i 1,2, ,s证明：先证分解式的存在性。我们对 f(x)的次数作用数学归纳法。10、因为一次多项式都是不可约的，所以 n 1时结论成立。20、设(f(x) n ,并假设结论对于次数低于n的多项式已经成立。如果f(x)是不可约多项式，结论是显然的，无妨设f(x)不是不可约的，即有f(x)f1(x)f2(x),(f1(x) n , (f2(x) n。由归纳假设 力仪)和f2(x)都可以分解成数域P上一些不可约多

4、项式的乘积。把f1(x) , f2(x)的分解式和起来就得到f (x)的一个分解式。由归纳法原理，结论普遍成立。再证唯一性。设f(x)可以分解成不可约多项式的乘积f (x) P1(x)P2(x) Ps(x)如果f (x)还有另一个分解式f (x) q1(x)q2(x) qt(x)其中qi(x) (i 1,2,.,t)都是不可约多项式，于是f (x) P1(x)P2(x) Ps(x) q1(x)q2(x) qt(x)我们对s作归纳法。当s 1, f(x)是不可约多项式，由定义必有st且f (x) P1(x) q1(x)o现在设不可约多项式的个数为s 1时唯一性已证。由，P1(x) | q1(x)

5、q2(x) qt(x),因此P1(x)必能整除其中的一个，无妨设Pi(x)| qi(x)因为qi(x)也是不可约多项式，所以Pi(x) cqi(x)在式两边消去qi(x),就有iP2(x)Ps(x) ci qi (x)q2(x) qt(x)由归纳法假设，有s i t i ,即 s t,(3)并且适当排列次序之后有iP2 (x) c2cl q2(x),即 P2(x) C2q2(x)Pi (x) ciqi (x)(i3,.,s)(4)(2), (3), (4)合起来即为所要证的。三、标准分解式，i、标准分解式把f (x)的分解式中不可约多项式都化为首一不可约多项式， 并且把相同因式 的乘积写成幕的

6、形式：f(x) cPrkx) p22 (x)Pss(x)其中c是f (x)的首项次数，Pi(x), P2(x), , Ps(x)是不同的首项系数为i的不可约多项式，72， ,rs Z最小公倍式定义：多项式m(x)称为f (x)与g(x)的最小公倍式，如果i、f(x)|m(x), g(x)|m(x)；2、若 f (x) |m (x) , g(x) | m (x),则有 m(x) | m (x)。命题：设f (x), g(x)是两个非零多项式，则f(x),g(x)( f (x), g(x) f (x)g(x)证明：设(f(x), g(x) d(x),则 f (x) d(x)f1(x), g(x)

7、d(x)g1(x),并且 (f (x), g(x) 1。于是 f(x)|m(x), g(x)|m(x); ( f(x)g1(x) m(x)或 g(x) f1(x) m(x)。(2)若 f (x) |m (x), g(x)| m (x),我们证明 m(x)|m(x)。m (x) f(x)qi(x), m (x) g(x)q2(x)可得 f1(x)q1(x) g1(x)q2(x),由于(f(x),g(x) 1 ,所以 g1(x) |q1(x)。设qi(x) g1(x)q3(x),则有m (x) f(x)q3(x)f (x)g1(x)q3(x) m(x)q3(x)于是m(x)是f (x)与g(x)的

8、最小公倍式。2、多项式f(x),g(x)的最大公因式的求法二把f (x), g(x)写成标准分解式，f (x), g(x)就是同时在f (x), g(x)的标准分解式中出现的不可约多项式方幕的乘积，所带的方幕指数等于f(x),g(x)中所带的方幕较小的那一个。四、重因式1、定义：不可约多项式 p(x)称为多项式f (x)的k重因式，如果 pk(x)|f(x),而 pk1(x)不能整除f(x),此时记作pk(x)|f(x)0注：当k 0时，p(x)根本不是f(x)的因式；当k 1时，p(x)是f (x)的单因式；当k 1时，称p(x)是f (x)的重因式。2、如何判断一个多项式有无重因式方法一：

9、可用标准分解式。(不常用)方法二：用微商设有多项式n - n 1 f(x) anXan 1Xa1x a0,我们规定它的微商是f (x)nanxn 1 (n 1)an 1xn 2ai0微商的基本运算规则(f(x) g(x)f (x) g (x)；(cf(x) cf (x)； (f(x)g(x) f (x)g(x) f(x)g(x)；(f m(x) mf m 1(x) f (x)。其理论依据为定理6如果不可约多项式p(x)是f(x)的k重因式(k 1),则p(x)是f (x)的 k 1重因式。推论1如果不可约多项式p(x)是f(x)的k重因式(k 1),则p(x)是 f(x), f (x),|,

10、f(k 1)(x)的因式，但不是 严(x)的因式。推论2不可约多项式p(x)是f (x)的k重因式(k 1) p(x)是f (x)与f (x) 的公因式。推论3: "*)与£ (x)没有重因式f (x), f (x)13、去掉重因式的方法：若 f(x)cp1r1(x)p22(x)| 11Pss(x),则 f (x), f (x)p；11(x) p221(x)1Pss1(x)。于是一 /、cp1(x) p2(x)| ps(x)f (x), f (x)例1判断下列多项式在有理数域上是否有重因式，若有，则求出重因式并确 定重数(1) f (x) x4 x2 1;(2) f (x) x6 15x4 8x3 5仅2 72x 27.解：(1) f (x) 4x3 2x,而(f(x), f (x) 1,所以 f(x)无重因式(3) f (x) 6x5 60x3 24x2 102x 72,由辗转相除法得 (f(x),f(x) (x 1)2(x 3)从而x 1是f(x)的三重因式，x 3是f(x)的二重因式。例2求f(x) Ax4 Bx2 1有重因式的条件，并确定重数。解：当A 0时，多项式Bx2