2019-2020年高考数学大一轮复习第四章三角函数解三角形第6讲正弦定理和余弦定理练习理北师大版

1、3，2019-20202019-2020 年高考数学大一轮复习第四章三角函数解三角形第6 6 讲正弦定理和余弦定理练习理北师大版、选择题)在厶ABC中，AB= 3,AO1,B= 30 , ABC勺面积为-2，则 g ( )2.在厶ABC中，角A,B, C对应的边分别为2n2T3戸r.a,b,c,若A=w,a= 2,b=，贝 VB等八nA.亍2n c 一 2、3丁，a=2，b= 3，3J3 1A=-乂 = _2 % 2 = 2.A.30B.45C.60D.75解析法 &AB= AB- AC-sin 人二聖即 2X,3x 1 x sinA=#, sinA= 1,由A (0 , 180 )

2、,心 90 ,二C= 60 .故选 C.、sinBsinC1 sinC法二 由正弦定理，得AC=AB，即 2 = -,sin of,又C (0 ,180 ) , C= 60 或C= 120 .当C= 120 时，A= 30 ,S史工SAABC= 壬4舍去）.而当C= 60时,A= 90 ,SAABC=2，符合条件，故C= 60 .故选C.答案 CA=2nnB=孑1. （xx 合肥模拟解析/ A=由正弦定理亠=丄可得sinAsinB，bsinB=asin答案 D2B a+c3. （xx 成都诊断）在厶ABC中, cos 2 =-Jh（a，b,c分别为角A B, C的对边），则ABC的形状为（）A

3、.等边三角形C.等腰三角形或直角三角形.2B a+c解析 因为 cos =,22c2Ba+ca所以 2cos - 1 = 1,所以 cosB=-,2cc所以ABC为直角三角形答案 Bcos 2 B的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件D.既不充分也不必要条件解析因为在ABC中,ab?sinA sinB? sin2Asin2B? 2sin2A2sin2B?1 2sin2Av1 2sin2B?cos 2Avcos 2答案 CsinA)，则A=(3nA.?B.直角三角形D.等腰直角三角形所以2,2 2a+cb2aca，所以cc2=a2+b2.4. ABC的内角A,B, C的对边分别为a,b,c,

4、则ab” 是cos 2AvC.充分必要条件5. （xx 山东卷）在厶ABC中，A,B, C的对边分别是a,b,已知b=c,a2=2b2(1 C.7解析在厶ABC中,由b=c,.2 2 2 2 2b+ca2bacosA=2bc2b2_22，又a= 2b(1 sinA)，所以 cosA= sinA,即 tanA= 1,又知A(0, n),所以A=寸，故选C.答案二、填空题cos O- -, 3sinA= 2sin B,则4解析 由 3sinA= 2sinB及正弦定理，得 3a= 2b,又a= 2,所以b= 3，故c2=a2+b26. （xx 重庆卷）设厶ABC的内角B, C的对边分别为a,b, c

5、,且a= 2,c=答案 47.（xx 江西九校联考）在厶ABC中，角A,B, C所对的边分别为a,b,c,若角AB, C可解得-=1.c答案 1三、解答题9. （xx 天津卷）在厶ABC中，内角代B,C所对的边分别为a,b,c.已知ABC的面积为15,bc= 2, cosA= 4.求a和 sinC的值;2abcosC=4+92x2x3x1 = 16，所以c= 4.依次成等差数列，且a= 1,b=3,贝 VSABC=解析因为角A,B,C依次成等差数列，所以B= 60.由正弦定理，得詁A= sin 60 ,解得 sinA= f,因为0vAv180。，所以A= 30 或 150 （舍去），此时C=

6、90，所以c 1V3SABC=ab=.2 2答案-28. （xx 北京卷）在厶ABC中, A= ,a= 3c,则一=3c解析 在厶ABC中,a2=b2+c2 2bc cosA,2n将A= ,a= 3c代入,3可得（3c）2=b2+c2 2bc整理得 2c2=b2+bc./c工 0,. .等式两边同时除以c2,得 2=+c,求 cos 2A+ nr f【勺值.解 在厶ABC中，由 cosA= 1 可得 sinA=#5.答案 CABC=sinA= 3 15,得bc= 24,又由bc= 2,解得b= 6,c= 4.2 2 2由a=b+c 2bccosA可得a= 8.asinA= sin C(2)co

7、s2A+n =nncos 2Acos百sin 2Asin10. (xx 全国n卷)在厶ABC中,D是BC上的点，AD平分/BAC亠sinB(1)求sin C若/BAC=60 ，求/B解(1)由正弦定理得AD=BD AD=DCsinBsin /BADsinCsin /CADBD=2DCsinB DC1因为AD平分/BACBD=2DC所以 命=DD=2.因为/C= 180 ( /BACK/B)，/BAC=60,所以sinC= sin ( /BACK- /B) = -2-1cosB+ |sinB由(1)知 2sinB= sin C,所以tan即/B= 3011. (xx郑州调研）在厶ABC中, si

8、n2A sin2B+ sin2C sinBsinC,则A的取值范围是A. 0,7tC.解析由已知及正弦定理有由余弦定理可知a2=b2+c2 2bccosA,是b+c 2bccos2 21Awb+cbe,cosA,在厶ABC中,A (0 ,n).由余弦函数的性质，得0如专.得 sin12.在厶ABC中，三个内角A, B,C所对的边分别为a,b,c,若 SABC= 2-J3,a+b= 6,在锐角ABC中，角A,B,C的对边分别为a,b,c.若f2 = 0,a= 1 ,求厶ABC面积acos B+bcosA= 2cosC,则c=(答案范围是在等腰三角形CBF中,ZFCB=30,CF=BC= 2,.B

9、F=22+222X2X2cos 30 =62.在等腰三角形ECB中ZCEB=30,ZECB=75BE2BE= CE BC=2, sin 75 = sin 30 ,.BE=-= 6+ 2.2.工：6 2人 8; 6+ 2.答案(6- . 2,6 +2)、口2|n 14.设f(x) = sinxcosx cosx+ .(1)求f(x)的单调区间;A.27B.4C2 3D.33解析acosB+bcosA二=2cosC,由正弦定理,得 sinAcosB+ cosAsinB=2sinCCosC,/ sin(A+B) = sinC= 2sinCcosC,1由于 0v C n, sin CM0,. cos

10、C=,.C=1r,&ABC= 23 =又a+b= 6,解得=：,或b= 4:,a=4,c2=a2+b22abcosb=2,C= 4 + 16- 8= 12,.c= 2 3,故选C.13. (xx全国I卷)在平面四边形ABCD中，/A=ZB=ZC= 75，BC= 2,贝 UAB的取值解析 如图所示，延长BA与CD相交于点E,过点于点F,贝 UBF 2bc,即bcW2+,3,且当b=c时等号成立因此:bcsinAW.所以ABC面积的最大值为.2442019-20202019-2020 年高考数学大一轮复习第四章三角函数解三角形第7 7 讲解三角形应用举例练习理北师大版一、选择题的最大值.(

11、1)由题意知f(x)=sin 2x21 + cossin 2x21 sin2x2=sin 2, nn由一2+2knW2xW +2kn,kZ,nn可得一 +knWxW +kn,k Z;n3n由2+2knW2xW b2kn ,k乙n3n可得 & +knWxW+kn，kz.所以f(x)的单调递增区间是7t ,4+kn(kZ);(2)由fsin单调递减区间是得 sinA= 3nT+kn(kZ).12.在厶ABC中，三个内角A, B,C所对的边分别为a,b,c,若 SABC= 2-J3,a+b= 6,1.在相距 2 km 的A,B两点处测量目标点C,若/CAB=75,/CBA=60，则A,C两点

12、 之间的距离为()A. 6 kmB2 km解得 BO 10 2（海里）.答案 A2 = 3a解得AB=3a(km).答案 B4.如图，一条河的两岸平行，河的宽度d= 0.6 km 一艘客船从码头A出发匀速驶往河对岸的码头B已知AB=1 km,水的流速为则客船在静水中的速度为（）B.6 . 2 km/hC.234 km/h解析 设AB与河岸线所成的角为B,客船在静水中的速度为vkm/h，由题意知，sin0C. 3 kmD.2 km解析 如图，在ABC中，由已知可得/ACB=45_ACsin 60sin45，二 AO22,6(km).答案 A2. 一艘海轮从A处出发，以每小时40 海里的速度沿南偏

13、东 40的方向直线航行，30 分钟后到达B处，在C处有一座灯塔,海轮在A处观观察灯塔，其方向是北偏东65 ，那么B,C两点间的距离是（A.10 ,2 海里C.20 ,3 海里解析如图所示，易知,B.10 3 海里D.20 2 海里在ABC中,AB=20,/CAB=30,/ACB=45,BCo根据正弦定理得 sin 30 sin 45ABO 3. （xx 合肥调研）如图所示，已知两座灯塔A和B与海洋观察站C的距离都等于akm 灯塔A在塔A与B的距离为（A.akmB. 3akmD.2akmC. 2akm解析 由题图可知，/ACB=120 ,由余弦定理，得AB=AC+BC 2AC- BC-cos /

14、ACB2 km/h，若客船从码头A驶到码头B所用的最短时间为 6 min ,水流方向A.8 km/hD.10 km/h北南解得v= 6 2.选 B.答案 B罕=|，从而 cos0= 5，所以由余弦定理得12214=10 x2+1-2x五x2x1x5105.如图，测量河对岸的塔高AB时可以选与塔底B在同一水平面内的两个测点C与D,测得/BC= 15,/BD(= 30,CD=30,并在点C测得塔顶A的仰角为60，则塔高AB等于（）A.5 6B.15 3C.5 2D.15 6解析 在厶BCD中,/CB= 180 15 30= 135BC30厂由正弦定理得 sin 30 = sin 135 所以BC=

15、152.在 Rt ABC中,AB= BCan /ACB=15 2x3= 15 6.答案 D二、填空题6.如图所示，一艘海轮从A处出发，测得灯塔在海轮的北偏东15向，与海轮相距 20 海里的B处，海轮按北偏西 60的方向航行了分钟后到达C处，又测得灯塔在海轮的北偏东 75的方向，则海轮的fl速度为海里/分.解析 由已知得由正弦定理得ACB=ABCB所以AC-ABsin B 20 xsin 60sinBsin /ACBsin /ACBsin 45=10 6,所以海轮航行的速度为 1 賠=屮（海里/分）.7.江岸边有一炮台高 30 m,江中有两条船，船与炮台底部在同一水平面上,由炮台顶部测得俯角分别

16、为45和 60,而且两条船与炮台底部连线成30角，则两条船相距m.解析如图,OM=AOan10 .3(m),在厶MO中,由余弦定理得,30MN=/900+3002x30 x10 占 x習=300 = 10 3(m).答案 10 38.在 200 m 高的山顶上，测得山下一塔顶和塔底的俯角分别是m.解析 如图，由已知可得/BAC=30,/CAD30 , /BCD60 , /ACD30, /ADD120.又AB=200 mACD、3(m).在厶AC冲，由余弦定理得，ACD 2CD2CD cos 120 D3CD,1400CDD3ACD-(m).400答案 T 三、解答题(1)依题意知，/BAO12

17、0,AB=12,ACD10X2= 20,/BCDa. 得BC=AB+AC 2AB- AC-cos /BAC2 2=12+202X12X20X解得BCD28.在厶ABC中,因为AB=12 , /BAC120,BCD28, /BCA=a,由正弦定理，得一AB-sinaBCsin 120 ,3n10. (xx 安徽卷)在厶ABC中,A=,AB=6,ACD32,点D在BC边上，AD= BD求AD9.如图，渔船甲位于岛屿A的南偏西 60方向的B处，且与岛屿相距 12 海里，渔船乙以10 海里/时的速度从岛屿A出发沿正北方向航行，若渔船甲同时从B处出发沿北偏东a的方向追赶渔船乙,刚好用 2 小时追上.求渔

18、船甲的速度;东丽求 sina的值.30, 60,则塔高为在厶ABC中， 由余弦定理,cos 120 = 784.BC所以渔船甲的速度为= 14 海里/时.口ABsin 120即 sinaBC12再 3 护28= 14 .4003的长解设厶ABO的内角A,B,C所对边的长分别是a,b,c,由余弦定理，得a2=b2+c2 2bccosZBAC=(3 2)2+ 622X 32X6Xcos(36) = 90,所以a= 3 10.由题设知0B4,在厶ABD中，因为A BD,Aasinasin3sin( 3 a )B.asinasin/cos( 3 a )acosa cos3C.sin(3 a)acosa

19、 cos3D.cos(3- a)DC=ACsinZDACsina 又由正弦定理，得 sinB=所以/ABD=ZBAD所以/ADB=n 2B.由正弦定理，得AB sinBusinB3(AD=sin(n 2B)=2sinBcosB=cosB=-10.6sinB11. (xx 全国川卷n)在厶ABC中 ,B= ,BC边上的高等于BC贝 U cosA=(A 更10C.-3 10D.帀n解析 设BC边上的高AD交BC于点D,由题意 B=T,BD=*BC DC= #BCtan /BAD=1,1 + 2tanZCAD=2 , tanA= 3,所以 cosA= 1 一 1X21070.答案 C12.如图所示，D, C B三点在地面同一直线上，DC= a,从D, C两点测得A点仰角分别为a,3(aV 3)，则点A离地面的高AB等于解析结合题图示可知，/DAC=3 a.3n2=18+36一所以 cosB=1 sin $B=13：101 一 = -10 10 -在厶ACD中， 由正弦定理得:AmB60北ABCD Basinaasina32 X6BC= . ( 3- 1)2+ 22-2X2X(3 1) cos 120 = , 6(海里).根据正弦定理，可得ACSin 120sin /ABC=/ABC=45，易知CB方向与正北方向垂直,AC=