计算坐标与坐标方位角的基本公式

1、计算坐标与坐标方位角的基本公式控制测量的主要目的是通过测量和计算求出控制点的坐标，控制点的坐标是根据边长及方位角计算出来的。下面介 绍计算坐标与坐标方位角的基本公式，这些公式是矿山测量 工中最基本最常用的公式。一、坐标正算和坐标反算公式1坐标正算根据已知点的坐标和已知点到待定点的坐标方位角、 边长 计算待定点的坐标，这种计算在测量中称为坐标正算。如图5 5所示，已知 A点的坐标为Xa、, A到B的 边长和坐标方位角分别为Sab和AB，则待定点B的坐标为XB XAXAByB yAyAB坐标增量（51）式中 XAB 、 yAB由图 55可知SAB sin ABSAB cosAB（52）式中SAB

2、水平边长；AB坐标方位角。将式（ 5-2）代入式（ 5-1），则有XB XA SAB cos AB yB yA SAB sin AB3）当A点的坐标Xa、yA和边长Sab及其坐标方位角 AB为已知 时，就可以用上述公式计算出待定点 B 的坐标。式（ 5 2） 是计算坐标增量的基本公式，式（ 53）是计算坐标的基本 公式，称为坐标正算公式。从图5 5可以看出Xab是边长Sab在X轴上的投影长度，yAB是边长Sab在y轴上的投影长度，边长是有向线段，是在 实地由A量到B得到的正值。而公式中的坐标方位角可以从 0到 360变化，根据三角函数定义，坐标方位角的正弦值 和余弦值就有正负两种 情况，其正负

3、符号取决于坐标方位角所在的象限，如图56所示。从式（ 52）知，由于三角函数值的正负决定了坐标 增量的正负，其符号归纳成表 53。图5 5坐标计算图56坐标增量符号表5 3坐标增量符号表坐标方所在象限坐标增量的正位角负号()/ x/ y090I+90 180n+180 出270IV+例1已知 A 点坐标xA=100.00m, yA =300.10m;边长 sAB=100m，方位角 ab =330。求B点的坐标Xb、y。解：根据公式（5 3）有xB xA sAB cos AB 100 100 cos330 186.1m yB yA sAB sin AB 300.1 100 sin330 249.

4、6m2、坐标反算由两个已知点的坐标计算出这两个点连线的坐标方位角 和边长，这种计算称为坐标反算。由式（5 1）有Xab Xb XayAB yB yA（5 4）该式说明坐标增量就是两点的坐标之差。在图5 5中Xab表示由A点到达B点的纵坐标之差称纵坐标增量；yAB表示由A点到B点的横坐标之差称横坐标增量。坐标增量也有正负两种情况，它们决定于起点和终点坐标值的大小。在图5 5中如果A点到B点的坐标已知，需要计算 AB 边的坐标方位角AB和边长时Sab ,则有tanABXbXaXabSabC0S AByABsin(5 5)AB2 2XAByAB公式（5 5）称为坐标反算公式应当指出，使用公式（55）

5、中第一式计算的角是象限角R,应根据/ X、/ y的正负号，确定所在象限，再将象限角换算为方位角。因此公式（5 5）中的第一式还可表示为:Rabarctan yAarcta nXbXaXab例 2.已知 xA=300m, yA=500m, xB=500m, yB=300m,求 A、B 二点连线的坐标方位角 ab和边长Sab。解：由公式（5-5） 有Rabarctan y yXbXa300 500arcta narcta n( 1)500 300因为Xab为正、yAB为负，直线AB位于第四象限。所以RabNW 45根据第四象限的坐标方位角与象限角的关系得:AB 36045315AB边长为：Sab

6、. （XbXa）2（ypyA）2 （50。300）2（300一500）2 282.8m坐标正算公式和坐标反算公式都是矿山测量中最基本的 公式，应用十分广泛。在测量计算时，由于公式中各元素的数字较多，测量规范对数字取位及计算成果作了规定。例如图根控制点要求边长 计算取至毫米；角度计算取至秒；坐标计算取至厘米。二、坐标方位角的推算公式由公式（5-2）知，计算坐标增量需要边长和该边的坐标方位角两个要素，其中边长是在野外直接测量或通过三角学的公式计算得到的，坐标方位 角则是根据已知坐标方位角和水平角推算出来的。下面介绍 坐标方位角的推算公式。如图5-7所示，箭头所指的方向为“前进”方向，位于前 进方向

7、左侧的观测角称为左观测角，简称左角；位于前进方 向右侧的角称为右观测角，简称右角。1.观测左角时的坐标方位角计算公式在图5 7与5 8中，已知AB边的方位角为 ab，左为 左观测角，需要求得BC边的方位角bc。左是外业观测得到 的水平角，从图上可以看出已知方位角ab与左观测角左之和有两种情况：即大于180或小于180。图5 7中为大于180的情况，图58中为小于180。的情况。图57坐标方位角推算图5 8坐标方位角推算从图5 7可知，BC边的坐标方位角为BCAB左 180从图5 8可知，BC边的坐标方位角为BC AB 左 180综上所述两式则有前后左180（5 6）式（5-6）是按照边的前进方

8、向，根据后一条边的已知方 位角计算前一条边方位角的基本公式。公式说明：导线前一 条边的坐标方位角等于后一条边的坐标方位角加上左观测 角，其和大于 180时应减去180，小于180时应加上 180。2.观测右角时的坐标方位角计算公式从图 5-7 或图 5-8 可以看出 左 360 右将该式代入式 （5- 6）,得前 （ 后 右 180 ） 360当方位角大于 360时， 应减去 360，方向不变。所以上式 变为前 后 右 180（57）上式说明： 导线中， 前一条边的坐标方位角等于后一条边 的坐标方位角减去右观测角， 其差大于 180时应减去 180，小于 180时应加上 180使用式（5-6）与（5-7）时，还应注意相应两条边的前进方向必须一致，计算结果大于 360时， 则应减去 360，方向不 变。例 3 图 5-9 为一条支导线，已知 A 点的坐标方位角 BA=101 28；导线A点的左观测角左=108 32,M点的