关于积分限函数的小结----习题课选例

1、关于积分限函数的小结关于积分限函数的小结-习题课选例习题课选例积分上限函数（或变上限定积分）( )( )xaF xf t dt的自变量是上限变量x，在求导时，是关于x求导，但在求积分时，则把x看作常数，积分变量t在积分区间,xa上变动。 弄清上限变量和积分变量的区别是对积分限函数进行正确运算的前提。 定理 1 如果)(xf在,ba上可积，则xadttfxF)()(在,ba上连续. 定理 2 如果)(xf在,ba上连续，则xadttfxF)()(在,ba上 可 导 ， 且).()()(xfdttfdxdxFxa 一一 关于积分限函数的理论关于积分限函数的理论注： （）从以上两个定理可看出，对)(

2、xf作变上限积分后得到的函数，性质比原来的函数改进了一步： 可积改进为连续； 连续改进为可导。 这是积分上限函数的良好性质。 而我们知道， 可导函数)(xf经过求导后， 其导函数)(xf 甚至不一定是连续的。 （）定理（2）也称为原函数存在定理。它说明：连续函数必存在原函数，并通过定积分的形式给出了它的一个原函数。我们知道，求原函数是求导运算的逆运算，本质上是微分学的问题；而求定积分是求一个特定和式的极限，是积分学的问题。定理（2）把两者联系了起来，从而使微分学和积分学统一成为一个整体，有重要意义。 推论 1 )()(xfdttfdxdbx 推论 2 )()()()(xxfdttfdxdxc

3、推论 3 )()()()()()()(xxfxxfdttfdxdxx （1） 比如 xdttftxxF0)()()( (被积函数中含 x , 但 x 可提到积分号外面来.) 在求)(xF时，先将右端化为xxxxdtttfdttfxdtttfdttxf0000)()()()(的形式，再对x求导。 二二 积分上限函数的几个变式积分上限函数的几个变式（2）比如 xdtxttfxF0)()( ( f 的自变量中含 x, 可通过变量代换将 x 置换到 f 的外面来) 在求)(xF时， 先对右端的定积分做变量代换xtu（把x看作常数） ， 此时，dudt ，0t时，xu；xt 时，0u，这样，)(xF就化

4、成了以u作为积分变量的积分下限函数：000)()()()()(xxxduuufduufxduufuxxF，然后再对 x 求导。 ( 3 ) 比如 10)()(dtxtfxF (这是含参数 x 的定积分, 可通过变量代换将 x 变换到积分限的位置上去) 在求)(xF时，先对右端的定积分做变量代换xtu （把x看作常数） ，此时，xdudt ，0t时，0u；1t时，xu ，于是，)(xF就化成了以u作为积分变量的积分上限函数：xduufxxF0)(1)(，然后再对 x 求导。 （1） 极限问题： 例 1 xxxdtttttdt00230)sin(sinlim2 （答：12） 例 2 xdttxx0sinlim （提示：本题用洛必达法则求不出结果，可用夹逼准则求。 答：2） 例 3 已知极限1sin1lim00 xxxdtcttabxe， 试确定其中的非