2020版高考数学大一轮复习第2节空间点、直线、平面的位置关系讲义(理)(含解析)新人教A版

1、第2节空间点、直线、平面的位置关系考试要求 1.借助长方体，在直观认识空间点、直线、平面的位置关系的基础上，抽象出空间点、直线、平面的位置关系的定义；2.了解四个公理和一个定理.II如职而H修*1I回购教材，势实星糊知识梳理1 .平面的基本性质(1)公理1:如果一条直线上的两点在一个平面内,那么这条直线在此平面内(2)公理2:过不在同一条直线上的三,自，有且只有一个平面(3)公理3:如果两个不重合的平面有一个公共点,那么它们有且只有一条过该点的公共直线.2 .空间点、直线、平面之间的位置关系直线与直线直线与平囿平囿与平囿平行关系图形语后1%71/Z2:/符号语后a/ ba / aa / 3相交

2、关系图形语后2符号语后an b=Aa A a = Aa n 3 = 1独有关系图形语百7符号语后a.b是异面直线a? a3.平行公理(公理4)和等角定理平行公理：平行于同一条直线的两条直线互相平行.等角定理：空间中如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角相等或包.4 .异面直线所成的角(1)定义：设a, b是两条异面直线，经过空间任一点 O作直线a / a, b / b,把a与b 所成的锐角(或直角)叫做异面直线a与b所成的角(或夹角).(2)范围：三=2=.微点提醒1 .公理2的三个推论推论1:经过一条直线和这条直线外一点有且只有一个平面；推论2:经过两条相交直线有且只有一个平面；推论3:

3、经过两条平行直线有且只有一个平面.2 .两异面直线所成的角归结到一个三角形的内角时，容易忽视这个三角形的内角可能等于两异面直线所成的角，也可能等于其补角.基础自测疑误辨析s1 .判断下列结论正误(在括号内打或“X”)(1)两个平面a , 3有一个公共点A,就说a , 3相交于过A点的任意一条直线.()(2)两两相交的三条直线最多可以确定三个平面.()(3)如果两个平面有三个公共点，则这两个平面重合.()(4)若直线a不平行于平面 a,且a? a,则a内的所有直线与a异面.()解析(1)如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线，故错误.(3)如果两个平面有三个公共点

4、，则这两个平面相交或重合，故错误 (4)由于a不平行于平面 a ,且a?a ,则a与平面”相交，故平面“内有与a相交的直线, 故错误.答案 (1) X (2) V (3) X (4) X教材折依2 .(必修2P52B1(2)改编)如图所示，在正方体 ABCD- ABGD中，E, F分别是AR AD的中点,则异面直线BC与EF所成角的大小为()A.30B.450.60D.90解析 连接 BiD, DC,则 BD/ EF,故/ DBC为所求的角.又 BD=BC= DC, . Z DBC= 60答案 C3 .(必修2P45例2改编)已知空间四边形的两条对角线相互垂直，顺次连接四边中点的四边形一定是(

5、)A.梯形B.矩形C.菱形D.正方形解析 如图所示，易证四边形 EFG的平行四边形，因为 E, F分别为AB BC的中点，所以 EF AC又FG/ BD所以/ EFG或其补角为AC与BD所成的角，而AC与BD所成的角为90。， 所以/ EFG= 90。，故四边形 EFGH矩形.20答案 B考睡体器i4 .（2019 聊城调研）a是一个平面，mln是两条直线，A是一个点，若m?a ,n?a ,且ACmiAC a ,则mj n的位置关系不可能是（）A.垂直B.相交C.异面D.平行解析 依题意，mA a =A, n? a ,，m与n异面、相交（垂直是相交的特例）,一定不平行.答案 D5 .（ 一题多

6、解）（2017 全国I卷）如图，在下列四个正方体中，A B为正方体的两个顶点，MN, Q为所在棱的中点，则在这四个正方体中，直线 AB与平面MN5平行的是（）解析所以选项D法一 对于选项B,如图（1）所示，连接CQ因为AB/ CD M Q分别是所在棱的中点,MQ CD所以AB/ MQ又AB?平面MNQ MQ?平面MNQ所以AB/平面 MNQ理可证C, D中均有 AB/平面 MNQBI此A项中直线 A*平面 MNQFF行.图图(2)法二 对于选项A,其中O为BC的中点(如图(2)所示)，连接OQ则OQ AB因为OCQf平 面MNQT交点，所以 AB与平面MNQT交点，即AB与平面MNQT平行.答

7、案 A6 .(2018 宁波月考)在正方体 ABCDABCD中，E, F分别为棱 AA, CC的中点，则在空间 中与三条直线 AQ, EF, CDO相交的直线有 条.解析 在EF上任意取一点 M如图，直线AD与M确定一个平面，这个平面与 CD有且仅有1个交点N,当M取不同的位置就确定不同的平面，从而与C*不同白交点N,而直线MNW这3条异面直线都有交点.故在空间中与三条直线 AD, EF, CD都相交的直线有无数条.答案无数|考点聚焦突破分餐讲机，以例求法考点一平面的基本性质及应用【例1】 如图，在正方体 ABCDABCD中，E, F分别是AB和AA的中点.求证：(1) E, C, D, F四

8、点共面；(2) CE DF, DA三线共点.证明(1)如图，连接CD, EF, A1B,因为E, F分别是AB和AA的中点， 1所以 EF/ A1B且 EF= 2AB.又因为A1D统BQ所以四边形 ABCD是平行四边形.所以 AB/ CD,所以 EF/ CD,所以EF与CD确定一个平面 a .所以E, F, C, DC a ,即E, C, D, F四点共面.（2）由（1）知，EF/ CD,且 EF= 1cD,所以四边形CDFE是梯形，所以CE与DF必相交.设交点为P,则PC CE?平面ABCD且 PC DF?平面 AADD,所以PC平面 ABCD! PC平面 AADD又因为平面 ABC平面 A

9、ADD= AD,所以PC AD所以CE DF, DA三线共点.规律方法 1.证明点或线共面问题的两种方法：（1）首先由所给条件中的部分线 （或点）确定一个平面，然后再证其余的线 （或点）在这个平面内；（2）将所有条件分为两部分，然后分别 确定平面，再证两平面重合 .2 .证明点共线问题的两种方法：（1）先由两点确定一条直线， 再证其他各点都在这条直线上； （2）直接证明这些点都在同一条特定直线（如某两个平面的交线）上.3 .证明线共点问题的常用方法是：先证其中两条直线交于一点，再证其他直线经过该点.【训练1】如图，在空间四边形 ABC珅，E, F分别是AB, AD的中点，G, H分别在BQ C

10、D 上，且 BG GC= DH： HC= 1 ： 2.（1）求证：E, F, G, H四点共面；（2）设EG与FH交于点P,求证：P, A, C三点共线.证明（1） , F分别为AB, AD的中点，.EF/ BD .GHy BD . .EF/ GH .E, F, G H四点共面.(2) . ES FH= P, PC EG EG 平面 ABC二PC平面 ABC同理PC平面 ADC.P为平面 ABC1平面 ADC勺公共点.又平面ABCH平面ADC= AC, PC ACP, A, C三点共线.考点二判断空间直线的位置关系【例2】(1)( 一题多解)若直线li和12是异面直线，li在平面a内，12在平

11、面内，l是平面a与平面(3的交线，则下列命题正确的是 ()A.1与11, 12都不相交B.1与11, 12都相交C.1至多与11, 12中的一条相交D.1至少与11, 12中的一条相交(2)将图(1)中的等腰直角三角形 ABCg斜边BC的中线AD折起得到空间四面体 ABCD如图(2),则在空间四面体 ABCW, AD与BC的位置关系是()图国(2)A.相交且垂直B.相交但不垂直C.异面且垂直D.异面但不垂直解析(1)法一 由于1与直线11, 12分别共面，故直线1与11, 12要么都不相交，要么至 少与11, 1 2中的一条相交.若1 / 1 1 , 1 / 1 2,则1 1 / 1 2,这与

12、11,1 2是异面直线矛盾.故1至 少与11, 12中的一条相交.法二 如图(1) , 11与1 2是异面直线，11与1平行，12与1相交，故A, B不正确；如图(2), 11与12是异面直线，11, 12都与1相交，故C不正确.图ri)图(2)折起前 ADL BC折起后有 ADL BD ADL DC所以ADL平面BCD所以ADL BC又AD与BC不相交，故ADW BC异面且垂直.答案(1)D(2)C规律方法 1.异面直线的判定方法：（1）反证法：先假设两条直线不是异面直线，即两条直线平行或相交，由假设出发，经过严格的推理，导出矛盾，从而否定假设，肯定两条直线异面（2）定理：平面外一点 A与平

13、面内一点B的连线和平面内不经过点 B的直线是异面直线2.点、线、面位置关系的判定，要注意几何模型的选取，常借助正方体为模型，以正方体为主线直观感知并认识空间点、线、面的位置关系 【训练2】（1）（2018 湘潭调研）下图中，G N, M H分别是正三棱柱（两底面为正三角形B.的直棱柱）的顶点或所在棱的中点，则表示直线GH MN异面直线的图形有（A.C.D.（2）已知空间三条直线l , mi n,若l与m异面，且l与n异面，则（）A. m与n异面B.m与n相交C.m与n平行D.m与n异面、相交、平行均有可能解析 （1）由题意，可知题图中，GH MN因此直线 GH与MN共面；题图中， G H, N

14、三点共面，但 M?平面GHN因此直线 GH! Mt#面；题图中，连接 MG则GMT HN因此 直线GH MNtt面；题图中，连接 GN G, M N三点共面，但 H?平面GMN所以直线 GH 与MN#面.故选C.（2）在如图所示的长方体中，m m与l都异面，但是 m/巾，所以A, B错误；m, n2与l都异面，且rn n2也异面，所以C错误.故选D.答案(1)C(2)D考点三异面直线所成的角-*多维探究角度1求异面直线所成的角或其三角函数值【例31】（一题多解）（2018 全国n卷）在长方体 ABCD-八86口中，八5BC= 1, AA=3, 则异面直线AD与DB所成角的余弦值为（）A.5bT

15、D.解析 法一 如图，连接 BD,交DB于O,取AB的中点 M连接DM OM易知O为BD的中点，所以AD/ OM则/ MOD/异面直线 AD与DB所成角.即异面直线AD与DB所成角的余弦值为,155因为在长方体 ABCD- ABCD 中，AB= BC= 1, AA = gad=aD+ dD = 2,DM= aD+ 2+抵在AB 之二g222.11月 一.DB=、A+aD+ dD = 木.所以OM= 2AD=1, O氏2DB=看,于是在 DMOP,由余弦定理,所以 AD= ( -1, 0,小)，DB= (1 , 1,木).贝U cos =AD - DB| AD| . | DB|2V5g即异面直线

16、地与DB所成角的余弦值为兴答案 C角度2由异面直线所成角求其他量【例3- 2】 在四面体ABC珅，E, F分别是AR CD的中点.若BD, AC所成的角为60。，且BD= AC= 1,则EF的长为解析如图，取BC的中点Q连接OE OF因为OB AC OF/ BD所以OE与OF所成的锐角（或直角）即为AC与BD所成的角，而 AC BD所成角为60 ,所以,，,1,，什ZEOF= 60 或/ EOF= 120 .当/ EOF= 60 时，EF= OE= OF= 2.当/ EOF= 120 时，取 EF的中点 M 则 OM_ ER EF= 2EM= 2X 3=23.答案2或.规律方法 用平移法求异面

17、直线所成角的一般步骤:（1）作角一一用平移法找（或作）出符合题意的角;（2）求角一一转化为求一个三角形的内角，通过解三角形，求出角的大小M N分别是棱 AD BC的【训练3】（2019 杭州模拟）三棱锥A- BCD勺所有棱长都相等,中点，则异面直线 BM与AN所成角的余弦值为（）2D.3解析连接DN取DN勺中点连接MO BO.M是AD的中点,MO/ ANBMO或其补角）是异面直线BM与AN所成白角.设三棱锥A- BC曲所有长为2,贝U AN= BM= DN=侬12 =木,皿 1,31则 MO 2AN= -2-= NO= 2DN则 bo=洞NTNO=27在ABMOh由余弦定理得cos/ BMO=

18、BM+ MO- BO2 BM MO =3+374 4,2 ，异面直线BMP! AN所成角的余弦值为-.3答案 D域反思与感悟思维升华1 .主要题型的解题方法(1)要证明“线共面”或“点共面”可先由部分直线或点确定一个平面，再证其余直线或点 也在这个平面内(即“纳入法”).(2)要证明“点共线”可将线看作两个平面的交线，只要证明这些点都是这两个平面的公共点，根据公理3可知这些点在交线上.2 .判定空间两条直线是异面直线的方法(1)判定定理：平面外一点A与平面内一点B的连线和平面内不经过点 B的直线是异面直线(2)反证法：证明两线不可能平行、相交或证明两线不可能共面，从而可得两线异面.3 .求两条

19、异面直线所成角的大小，一般方法是通过平行移动直线，把异面问题转化为相交直线的夹角，体现了化归思想 .易错防范1 .异面直线易误解为“分别在两个不同平面内的两条直线为异面直线”，实质上两异面直线不能确定任何一个平面，因此异面直线既不平行，也不相交 2 .直线与平面的位置关系在判断时最易忽视“线在面内”.分层限时调蝶分;M ,提醍工基础巩固题组(建议用时：40分钟)一、选择题1 .给出下列说法：梯形的四个顶点共面；三条平行直线共面； 有三个公共点的两个平面重合；三条直线两两相交，可以确定1个或3个平面.其中正确的序号是()A.B.C.D.解析显然命题正确.由于三棱柱的三条平行棱不共面，错.命题中，

20、两个平面重合或相交，错 三条直线两两相交，可确定1个或3个平面，则命题正确.答案 B2 .已知a, b是异面直线，直线 c平行于直线a,那么c与b()A. 一定是异面直线B. 一定是相交直线C.不可能是平彳T直线D.不可能是相交直线解析由已知得直线c与b可能为异面直线也可能为相交直线，但不可能为平行直线，若b/c,则a/b,与已知a, b为异面直线相矛盾.答案 C3 .如果两条异面直线称为“一对”，那么在正方体的十二条棱中共有异面直线()A.12 对B.24 对C.36 对D.48 对解析 如图所示，与 AB异面的直线有 BC; CC, AD, DD四条，因为各棱具有相同的位置12X4且正方体

21、共有12条棱，排除两棱的重复计算，共有异面直线2=24().Ati答案 B4 .下列命题中正确的个数为 ()若 ABCE平面a外，它的三条边所在的直线分别交a于P, Q R,则P, Q R三点共线.若三条直线a, b, c互相平行且分别交直线 l于A, B, C三点，则这四条直线共面； 空间中不共面五个点一定能确定10个平面.A.0B.1C.2D.3解析 在中，因为 P, Q R三点既在平面 ABC,又在平面 a上，所以这三点必在平面 ABCW a的交线上，即P, Q, R三点共线，故正确；在中，因为 a/ b,所以a与b确 定一个平面a ,而l上有A, B两点在该平面上，所以 l? a ,即

22、a, b, l三线共面于a ; 同理a, c, l三线也共面，不妨设为 B ,而a , B有两条公共的直线 a, l ,所以a与B 重合，故这些直线共面，故正确；在中，不妨设其中四点共面，则它们最多只能确定7个平面，故错.答案 C5 .如图，在底面为正方形，侧棱垂直于底面的四棱柱ABCD- ABGD中，AA=2AB= 2,则异面直线AB与AD所成角的余弦值为（）A.-2B. -53C.54D.- 5解析 连接BC,易证BC/AD,则/ ABC即为异面直线 AB与AD所成的角连接 AC,由 AB= 1, AA=2, 则 ac=2, AiB= bc= aJ5, 在 ABC中，由余弦定理得cos/A

23、BC=5+5 22X y/5乂 木答案 D二、填空题6 .给出下列四个命题: 平面外的一条直线与这个平面最多有一个公共点;若平面a内的一条直线a与平面3内的一条直线b相交，则a与B相交；若一条直线和两条平行线都相交，则这三条直线共面；若三条直线两两相交，则这三条直线共面其中真命题的序号是 .解析正确，因为直线在平面外即直线与平面相交或直线平行于平面，所以最多有一个公共点.正确，a, b有交点，则两平面有公共点，则两平面相交.正确，两平行直线可确 定一个平面，又直线与两平行直线的两交点在这两平行直线上，所以过这两交点的直线也在平面内，即三线共面.错误，这三条直线可以交于同一点，但不一定在同一平面

24、内.答案7 .（2019 西安模拟）如图，四边形ABC口口 ADP您为正方形，它们所在的平面互相垂直，则异面直线AP与BD所成的角为 .解析 如图，将原图补成正方体 ABCD- QGHP连接GP则GP BD所以/ AP劭异面直线AP与BD所成的角，在 AGF, AG= GP= AP,一一兀所以/ APG=.38 .矩形ABC用，AB= 3, BC= 1,将 ABC ADCgAC所在的直线进行随意翻折，在翻 折过程中直线 AD与直线BC成的角范围（包含初始状态）为.解析 根据题意，初始状态，直线AD与直线BC成的角为0,当BD=陋时,ADL DB ADh DC且 Dm DC= D,所以ADL平面

25、DBC又B（?平面DBC故ADL BC. 兀直线AD与BC成的角为了,兀所以在翻折过程中直线 AD与直线BC成的角范围（包含初始状态）为0,万.兀答案 0, 2三、解答题9 .在正方体ABCD- ABCD中,（1）求AC与AiD所成角的大小;(2)若E, F分别为AB AD的中点，求AC与EF所成角的大小.解 (1)如图，连接 BC, AB,由ABCP ABGD是正方体，易知 AD/ BC,从而/ BiCA就是 AC与AiD所成的角.因为 AB=AC= BC,所以/ BCA= 60 .即AD与AC所成的角为60。.(2)连接 BD 在正方体 ABCD-AiBGD 中，ACLBD, AC/ AC

26、,因为E, F分别为AB AD的中点，所以EF/ BD所以EF AC所以 EF AiC.即AC与EF所成的角为90。.10 .如图，在正方体 ABCD-ABCD中，O为正方形 ABCD勺中心，H为直线 BiD与平面 ACD 的交点.求证：D, H, O三点共线.证明如图，连接BD BD,则 Bm AC= QBBM dd,G四边形BBDD为平行四边形.又 HC BD, BD?平面 BBDD,贝U HC平面BBDD,.平面 ACDn平面 BBDD= OD, . HC OD.故D , H, O三点共线.能力提升题组（建议用时：20分钟）11.（2019 青岛质检）若空间中四条两两不同的直线11, 1

27、2, 13, 14,满足lll2, I2H3,1311 4,则下列结论一定正确的是（）A.11 4B.1 1 / 1 4C.1 1与14既不垂直也不平行D.1 1与14的位置关系不确定解析 如图，在长方体 ABCDABCD中，记1 1= DD, 1 2= DC 1 3= DA若1 4= AA,满足1 1,1 2, 1211 3, 1 3,1 4,此时1 1/ 1 4,可以排除选项 A和C.若取C1D为14,则11与14相交；若取BA为14,则11与14异面；取CD1为14,则1 1与14相 交且垂直.因此1 1与1 4的位置关系不能确定答案 D12.（2019 珠海模拟）如图，在矩形 ABC用，AB= 4, AD= 2, P为边AB的中点，现将 DAP绕直线DP翻转至 DA P处，若M为线段A C的中点，则异面直线 BM与PA所成角的正 切值为（）A.1B.2C.1D.424解析取A D的中点N,连接PN MN.M是A C的中点，1 .MN/ CD 且 MN= 2CD四边形ABCO矩形，P是AB的中点, .PB/ CD 且 PB= ；CD.MN/