八个有趣模型搞定外接球内切球问题学生版本.doc

1、实用标准文档大全八个有趣模型搞定空间几何体的外接球与内切球方法：找三条两两垂直的线段，直接用公式(2R)2 =a2 +b2 +c2 ,即2R = J/+b2+c2 ,求出R例1(1)已知各顶点都在同一球面上的正四棱柱的高为4 ,体积为16 ,则这个球的表面积是()A. 16 n B. 2071 C . 24 冗 D . 327r(2)若三棱锥的三个侧面两垂直，且侧棱长均为串,则其外接球的表面积是 (3)在正三棱锥S ABC中，M、N分别是棱SC、BC的中点，且AM _L M N ,若侧棱S A = 26，则正三棱锥S -ABC外接球的表面积是 (4)在四面体S -ABC中，SA _L平面ABC

2、 ,ZBAC =120, SA = AC = 2, AB =1,则该四面体的外接球的表面积为()40D.一冗310A.115TB.7 n C.一冗3(5)如果三棱锥的三个侧面两两垂直，它们的面积分别为6、4、3,那么它的外接球的表面积是 （6）已知某几何体的三视图如图所示，三视图是腰长为1的等腰直角三角形和边长为1的正方形，则该几何体外接球的体积为 类型二、垂面模型（一条直线垂直于一个平面）1.题设：如图5, PA，平面ABC解题步骤：第一步：将ARC画在小圆面上，A为小圆直径的一个端点，作小圆的直径AD，连接PD ,则PD必过球心0 ；第二步：0 1为AABC的外心，所以00 1,平面ABC

3、 ,算出小圆0 1的半径0 1D =r （三角形的外接圆直径算法：利用正弦定理，得a b c1= 2r） , 00 = pA ；sh A sh B sh C2第三步：利用勾股定理求三棱锥的外接球半径：（2R）2 =PA 2 +（Sr）2uRr"： +oo i 2 2.题设：如图6, 7, 8, P的射影是4BC的外心 台 三棱锥P -ABC的三条侧棱相等 二 三棱锥P - ABC的底面 ABC在圆锥的底上，顶点 P点也是圆锥的顶点图8-1图8-2图8-3实用标准A. 3,B. 21T/I，LD .以上都不对解题步骤: 第一步：确定球心 0的位置，取 AABC的外心01,则P,0,01

4、三点共线;第二步：先算出小圆 0 1的半径A0i = r,再算出棱锥的高 POi =h （也是圆锥的高）；第三步：勾股定理：0A2 =0i A2+0i0 2= r2 =& _R)%r2 ,解出 R方法二：小圆直径参与构造大圆。例2 一个几何体的三视图如右图所示，则该几何体外接球的表面积为（）C1 .题设：如图9-1 ,平面 PAC，平面ABC，且AB ±BC （即AC为小圆的直径）第一步：易知球心 0必是APAC的外心，即 Apac的外接圆是大圆，先求出小圆的直径AC=2r；ab c第二步：在 AP AC中，可根据正弦定理 =-=2R ,求出Rsh Ash B sh C2 .

5、如图9-2 ,平面PAC ，平面ABC ,且AB ±BC （即AC为小圆的直径）0C 2 =0 1C 2+0 10 R 2=r2 +0 10 AC 芝 腔 。曾 23 .如图9-3 ,平面PAC,平面ABC，且AB ±BC （即AC为小圆的直径），且P的射影是ABC的外 心U 三棱锥P - ABC的三条侧棱相等 =三棱P FBC的底面 践C在圆锥的底上，顶点 P点也是圆 锥的顶点解题步骤：第一步：确定球心 0的位置，取.ABC的外心01，则P,0,0 1三点共线；文档大全第二步：先算出小圆 0 1的半径A0 1 r,再算出棱锥的高 P01 h （也是圆锥的高）；第三步：勾股

6、死远 0V 0i Az 010 2 V R）' * ,解出R4 .如图9-3 ,平面PAC 平面ABC ,且AB BC （即AC为小圆的直径），且PA AC ,则（2r）2；利用勾股定理求三棱锥的外接球半径： "（2R）*PA （2yT 或R + PA2± ± ± R2 r2 0 0 i2 Rr2 0 0 i 2；=+= J +例3 （1）正四棱锥的顶点都在同一球面上，的高为 L底面边长为2 3 ,则该球的表面积为（2）正四棱锥S ABCD的底面边长和各侧棱长都为2 ,各顶点都在同一个球面上，则此球的体积为（）在三棱锥P ABC中，PA PB P

7、C 3 接球的体积为（）A.B.C.433侧棱 与底面ABC所成的角为, PA60 ,则该三棱锥外=°4D.3717T（4）已知三棱锥S ABC的所有顶点都在球 0的求面上,ABC是边长为1的正三角形，SC为球0的直径，且S C2 A.62 ,则此棱锥的体积为（3B.=6D.文档大全类型四、汉堡模型（直棱柱的外接球、圆柱的外接球）图 10-1图 10-2图 10-3题设：如图10-1,图10也，图10-3，直三棱柱内接于球（同时直棱柱也内接于圆柱，棱柱的上下底面可以是 任意三角形） 第一步：确定球心 0的位置，01是 ABC的外心，则001,平面ABC ；1 1第二步：算出小圆 01

8、的半径A0i=r, 00i=AAi= h （ AAi=卜也是圆柱的高）；2 2zh:IF9第三步：勾股定理： 0A2 =0 1 A2 + 0 10 2= R2 =（）2+避=R =12 +）一，解出R2'2例4 （1） 一个正六棱柱的底面上正六边形，其侧棱垂直于底面， 已知该六棱柱的顶点都在同一个球面上,9且该六棱柱的体积为，底面周长为3 ,则这个球的体积为 8AB =AC =AAi=2,/BAC =120°,则此（2）直三棱柱ABC -A1B1C1的各顶点都在同一球面上，若球的表面积等于«（3）已知AEAB所在的平面与矩形 ABC D所在的平面互相垂直，EA =E

9、B 3, AD 折AB 60"则多面体E -ABCD的外接球的表面积为 兀（4）在直三棱柱ABC - A1B1C1中，AB=4, AC =6, A =,AA户4则直三棱柱ABC-AiBiC i的外接球3的表面积为类型五、折叠模型题设：两个全等三角形或等腰三角形拼在一起，或菱形折叠（如图11）图11第一步：先画出如图所示的图形，将 ABCD画在小圆上，找出 ABCD和AABD的外心H i和H 2 ;第二步：过H 1和H 2分别作平面BCD和平面A BD的垂线，两垂线的交点即为球心0 ,连接OE,OC ；第三步：解 拉）EH 1 ,算出0H 1 ,在RAOCH 1中，勾股定理：OH i2

10、+CH i2=OC 2例5三棱锥P -ABC中，平面PAC ,平面ABC , PAC和 ABC均为边长为2的正三角形，则三棱 锥P 一ABC外接球的半径为 .类型六、对棱相等模型（补形为长方体）题设：三棱锥（即四面体）中，已知三组对棱分别相等， 求外接球半径（AB = CD , AD =BC , AC =BD ） 第一步：画出一个长方体，标出三组互为异面直线的对棱；第二步：设出长方体的长宽高分别为a,b, c , AD=BC =x, AB=CD = y , AC = BDa,列方程组,a 2 +卜2 = 2a0X八c2 * 2Jb2+c2=y2=2R)2=a2+匕2 /C2二 x，y22 +2

11、_2=c a = z补充：Va bcd =abc abQ< 4=Labc -63第三步：根据墙角模型，2R = v*a2 +b2 + c22 入 y 乙八 y 乙R, R，求出R ,88例如，正四面体的外接球羊径可用此法。I；干_ I例6 ( 1)棱长为。的正四面体的四个顶吉朝在同一个球面上,若过该球球心的一(2) 一个正三棱锥的四个顶点都在半径为在该球的一个大圆上,A 3 34则该正三棱锥的体积是3的球面上，)其中底面的三个顶点B.D.12(3)在三棱锥ABCD 中,ABCD2, ADBC3, ACBD4,则三(1)题解棱锥A BCD外接球的表面积为(4)如图所示三棱锥 A BCD ,

12、其中AB CD 5, AC BD 表面积为6, AD BC7,则该三棱锥外接球的(5)正四面体的各条棱长都为2 ,则该正面体外接球的体积为个截面如图，则图中三角形 (正四面体的截面)的面积是实用标准类型七、两直角三角形拼接在一起 （斜边相同，也可看作矩形沿对角线折起所得三棱锥）模型题设：4PB =/ACB =90 ，求三棱锥P一ABC外接球半径（分析：取公共的斜边的中点0 P,0 C ,则 0 A =0 B =o C Q=PAB 匚_2- 0为三棱锥P _ABC外接球球心，然后在 OCP中求出 半径），当看作矩形沿对角线折起所得三棱锥时与折起成的二面角大小无关，只要不是平角球半径都为定值。例

13、（）在瓶形 ABCD中，BC71AB =4则四面体ABCD的外接球的体积为（A. 125 兀 B. 125 n c1293,沿AC将矩形ABCD折成一个直二面角B AC（2）在矩形ABCD中，AB =2 , BC =3 ,沿BD将矩形ABCD折叠, 的外接球的表面积为连接AC ，所得三棱锥 A-BCD类型八、锥体的内切球问题1.题设：如图14,三棱锥P -ABC上正三棱锥，求其外接球的半径。第一步：先现出内切球的截面图，E,H分别是两个三角形的外心；第二步：求DH = LBD ，PQ. PH _r , PD 是侧面 AABP 的高；30 E PO第三步：由便OE相似于APDH ,建立等式： =

14、一,解出rDH PD2.题设：如图15,四棱锥P -ABC上正四棱锥，求其外接球的半径第一步：先现出内切球的截面图，P,O,H三点共线；第二步：求FH BC ，P。PH_r , PF是侧面APCD的高；9OG po第三步：由细0G相似于APFH ,建立等式： =,解出HF PF文档大全实用标准3.题设：三棱锥P _ABC是任意三棱锥，求其的内切球半径方法：等体积法，即内切球球心与四个面构成的四个三棱锥的体积之和相等 第一步：第二步：V ,P ABC第三步：习题：1 .若三棱锥S -ABC的三条侧棱两两垂直，且SA =2 , SB = SC =4 ,则该三棱锥的外接球半径为 （）A. 3B. 6

15、C. 36D. 9先画出四个表面的面积和整个锥体体积;设内切球的半径为 r,建立等式:一S r+-sABC r 3 PAB 3 PAC解出Vp _ABC =Vo_ABC +Vq _PAB+V q_PAC +Vo PBC+ -S (w +S&S+ S+ /r r 3 PBe 3 ABC PAB PACPBC3Vpzbc_s+_+_+_ ABC ° PAB SO PAC S 0 PBC2 .三棱锥S -ABC中，侧棱SA,平面ABC，底面ABC是边长为7亏的正三角形，SA =2近，则该三 棱锥的外接球体积等于 3 .正三棱锥S _ABC中，底面ABC是边长为驱的正三角形，侧棱长为 2 ,则该三棱锥的外接球体积等于 .4