专题04利用导数证明函数不等式(一)-2020高考数学尖子生辅导专题

1、专题四利用导数证明函数不等式（一）专题四利用导数证明函数不等式(一)函数不等式的证明由于其形式多变，方法灵活，成为了近几年高考的一个热点与难点，它一般出现在压轴题的位置，解决起来比较困难.利用导数作为工具进行证明是证明函数不 等式的一种常见方法，本专题总结了利用导数证明一个未知数的函数不等式的常见方法，希 望同学们看后有所收获，提升利用导数证明函数不等式的能力.模块1整理方法 提升能力对于一个未知数的函数不等式问题，其关键在于将所给的不等式进行“改造”，得到一平一曲、两曲两种模式中的一种.当出现一平一曲时，只需运用导数求出“曲”的最值，将其与“平”进行比较即可.当出现两曲时，如果两个函数的凸性

2、相同，则可以考虑通过曲线进行隔离.由于隔离曲线的寻找难度较大，所以我们一般希望两个函数的凸性相反.当两个函数的凸性相反时，则可以寻找直线(常选择公切线或切线) 实现隔离放缩，当然最理想的直线状态是该直线与x轴平行或重合.当改造的过程中出现一斜一曲时，一般要将其继续改造，要么将其化归到一边，转化为 一平一曲，要么将其转化为两曲.常用不等式的生成在不等式“改造”或证明的过程中，可借助题目的已知结论、均值不等式、函数单调性、与ex、lnx有关的常用不等式等方法进行适当的放缩，再进行证明.下面着重谈谈与ex、lnx有关的常用不等式的生成.生成一：利用曲线的切线进行放缩设丫=6、上任一点P的横坐标为 m

3、,则过该点的切线方程为 y-em =em(x-m),即y =em (x +1Amem，由此可得与ex有关的不等式：ex ±em(x +1Amem，其中x R , me R ,等号当且仅当x =m时成立.特别地，当 m = 0时，有ex之1 +x ；当m =1时，有ex之ex .1设y = lnx上任一点Q的横坐标为n ,则过该点的切线方程为 y-ln n = (x-n ),即 n11,一一y=-x1+lnn,由此可得与In x有关的不等式：In x Ex-1十In n ,其中x>0 , n>0,等nn1方当且仅当x =n时成立.特别地，当 n =1时，有ln x Wx -

4、1 ；当n =e时，有ln x <- x .e利用切线进行放缩，能实现以直代曲，化超越函数为一次函数.生成二：利用曲线的相切曲线进行放缩由图1可得lnx>x ；由图2可得lnx>-；由图3可得，ln x < 2 x _1 ) (0<xM1), xexx 1In x 42(x -1( x 之1)；由图 4可得，Inx >- 'x-l' ( 0<x<1), In x<- 'x -1 ( x之1 ).x 12 x2 x综合上述两种生成，我们可得到下列与ex、In x有关的常用不等式：与ex有关的常用不等式：(1) ex 之

5、 1 +x ( xW R );(2) ex >ex ( x WR).与In x有关的常用不等式：x -1(1) WlnxWx - 1 (x>0)；x-1 . 1 一(2) 一一芸Inx-x (x>0)； ex e(3) ln x <?-tx_1)(0<xw1), In x( x 之1 )；x 1x 1(0<x<1),11in x x -2 . x，、11(4) inx 之一 x-2 x用x +1取代x的位置，相应的可得到与 in （x +1炉关的常用不等式.x. be 一设函数 f(x)=aeinx+,曲线 y = f(x )在点(1, f (1 &#

6、187;处的切线为 y=e(x 1)+2.x(1)求 a、b ;(2)证明：f (x)>1 .【解析】（1）因为f'（1 ）=e,f (1 )=2 ,而 f '(x 产x e,aex bx - bae in x 2x6f 1 =ae =e ' ' ，解得 a =1 , b=2. j f 1 = b = 2【证明】（2）法1 :（寻找公切曲线隔离）由（1）知,f x = ex于是x2ex1f x j >1= e in x 1x由于f （x ）混合了指数函数、对数函数和备函数，比较复杂，所以可以考虑将指数函数、21对数函数进行分离，改造为inx .ex

7、ex人2.12 ex -2令 g (x )=in x +，贝U g (x 产一-=, exx ex ex2.一 2由 g (x )>0可彳导 x >-,由 g (x )<0可得 0 <x(一 ,ee2-,42所以g（x ）在0,2 |上递减，在.二收|上递增.而,1h x =递减,所以两个函数的凸性相同（都是下凸函数）.此时，我们可以寻找与两个曲线都相切的曲线1t（x）=一，将两个函数进行隔离，从 ex而实现证明.,21,1111 ex1Hin x 十一之一u in x +之0 ,令 k(x )=in x十一,则 k (x)=- -一2 =2-,由ex exexexx

8、ex ex1111.、，k (x )>0可彳导x>-,由k (*)<0可得0<*<一,所以k(x )在0-上递减，在.一，也 上递 ee. ee增,所以k x min =k e是 ln x +之 0 . ex11 xx_.xx.一> e 至 exu e -ex >0 ,令 s(x)=e ex,则 s (x)=e -e,由 s(x)>0 可得x>1,由s'（x ）<0可得0 cx <1,所以s（x）在（0,1）上递减，在（1,收）上递增，所以 ?x min =s 1 =0，于是 e ex 0 0 .,一八 一，21由于等号

9、不能同时成立，所以lnx ex e法2:（寻找公切线隔离）由（1)知，f (x )=ev * * * * x ln x +x 12e 一f x >1= ex In x令 m x =x In x2ex 1二>1 ,将不等式改造为 x2 -.+，则 m (x )=1 十In x . e2 xxln x xe e）>0可得m'(x )<0 可得0 <x <1 ,所以 m(x 户'0,1 i上递减，在口，-1e. ee上递增，所以 7m(x )1 =m'1 )=1 .令 n(x )=-x , -mine eex1 -x.则 n (x 尸.由

10、n (x )<0可彳导 x >1,由 n (x )>0 e可得0 <x <1,所以n(x)在(0,1 )上递增，在(1,收)1上递减，所以 n(x)1=n(1)=-._ maxe两个函数的凸性相反.此时，我们可以寻找与两个曲线都相切的公切线数进行隔离，又因为等号不能同时成立，所以 xlnx+Z。 e e1【点评】法1中的两个函数凸性相同，因此需要寻找公切曲线t（x）=进行隔离，公切ex曲线的寻找需要有一定的函数不等式放缩经验.该放缩ln x+ >-1 >4与常用不等式ex ex ex(1)xxe 、(2)(3)xx ex e2 xx e、2士、xexe

11、F x3 x3士、xex e-3 xex、过原点，先减后增;过原点，先增后减;在（3,0 ）上递减，在（0,收 户先减后增;(5)(6)xln x、x2 lnx、x3 ln x、在（0,也）上先减后增;In xxlnxxIn x,-2x2xIn xln3 x3 xIn x、在、在（o,+ y：先增后减;（0,1 ）上递减，在（1,收）上先减后增.已知函数f（x）=ax2+ -2 ax 1.1.1三由 F (x)>0可得<x<2,由 F (x)<0可得 xc或 xA2,所以 F(x) eaaex（1）求曲线y = f（x及点（0,1）处的切线方程;（2）求证：当 a 之1

12、 时，f（x）+e0.【解析】（1） f'（x） =-ax2 -i 2a -1 x 2,因为（0,1 ）在曲线y=f （x ）上，且f <0）=2,所以切线方程为 y(1)=2(x0 ),即2xy1 = 0.2【证明】（2）法当a之1时,ax2g '(x ) = 2x + 1 +ex + ,1 ： f (x )+e 占 0y axJ- +e 2 0= ax2+x1+ex* 之0 .+x 1 +ex+ >x2 +x-1 +ex书,令 g(x)=x2+x1 +ex书，则 g"(x)=2+ex+>0 ,于是g'(x而R上递增.又因为g'(1

13、)=0,由 g'（x）<0可彳# x<-1,由g'（x ）>0可得x>-1 ,所以g（x ）在（3,1）上递减，在（-1,收）上 递增，所以g(x户g(-1 )=0 .法 2： f(x)+e 之0u ax ：x 7 + e上0= ax2+x1+ex+之0 . ex当 a 21 时，ax2 +x -1 +exHt 占x2 +x-1 +ex* ,由常见不等式 ex > 1 + x ( xe R ),可得 ex+岂2+x,所以 x2 +x -1 +ex木上x2+x1+(2+x )=(x+1 j 岂0 .法 3：令 F(x)=f (x)+e=ax=A1 e

14、2 _.-ax i 2a -1 x 2+e ,则 F (x 尸J1e'-1,2 上递增，在（2,）上递减. ,a专题四利用导数证明函数不等式(一)1= -ea +e<-e+e<0 ,由洛必达法则，可得lim x 'F2 axx -1xe2ax+12a+e =e + lim x- =e + lim - =e , x-念 ex_&e所以 F(x 户0，即 f (x )+e>0 .法4：f x e _0之2,ax x -1xeax2 + x -1 +ex甲至 0 .14令 G (x 户ax21令 m x = ax x -1,则m(x )是以x = -2a为对

15、称轴，开口方向向上的抛物线.令 n(x)=-ex",则n(x)递减.由于两个函数的凸性相反，因此我们可以通过寻找两个曲线的公切线将两个函数进行隔离，但由于公切线不容易寻找，又因为两个函数处于相离的状态，因此我们可以 选择在n(x )=4平上找切线，通过该切线将两个函数隔离，从而实现证明.由常见不等式ex之x+1可得ex*占x+2,容易想到隔离切线 y =x-2 ,下面进行证明. +x -1 +ex+ ,贝U G '(x 户a< 1+e x*, G"(x ) = 2a + ex* > 0 ,所以 G'( x )在R上递增，又因为G'(0)=

16、0,由G'(x )<0可得xc0,由G'(x)>0可得x>0 ,所以G(x )在(3,0)上递减，在(0, 比递增，所以G(x)之G(0)=0._ 2_ ax x -1_2, x 1 一. 一 ,法5： f(x)+e之0u x+e之0uax +*1+3*之0.当* = 0时，不等式成立,e. ov 上-ex'-x+1当 x#0 时，ax +x1+e 噂至 0u a 至2= k(x).x-xex 1 x 2ex 1 -23x- x-2 ex 1 -1-ex 1 -1 x2 -2x -ex 1 -x 1k x 二？xk '(x )>0可彳导x

17、<1或0 cx父2,由k'(x )<0可得1cx<0或x >2，所以k(x )在(,1)上 递增，在(-1,0 )±递减，在(0,2)上递增，在(2,收 让递减.eax2 +x -1 之x 2u ax2 +2x+1 之0= (a -1 )x2 +(x +1 f 之0 ,而x 2 之一ex" ,命题 1因为 k(1 )=1, k(2)=-e-p ,所以 kfx) =1 ,而 a21 ,所以 a>k(x),即 f (x )+e >0 .ax x -1法 6： f(x)+e0= x+e 之0= ax +x1 之一e . 十ernx【点评

18、】 对于含有参数的一个未知数的函数不等式，其证明方法与不含参数的一个未知数的函数不等式证明大体一致.法3是直接证明f(x)+e0,法4是将不等式等价转化为X -1. A2X1 . e x +1一、.，一 ,一 一ax2 +x-1 +ex+>0,法5是通过分离参数进而证明 a >2，3种方法本质都是一平x一曲状态.法6将不等式转化为ax2 +x-1 >ex+,由于两个函数的凸性相反，因此我们可以 寻找切线实现隔离放缩.对于含有参数的一个未知数的函数不等式，我们还可以通过放缩，消去参数，转化为研究一个特例函数的问题，从而使题目的难度大大降低.©例3已知函数 f (x )

19、=x1aln x.(1)若f(x)“，求a的值；(2)设m为整数，且对于任意正整数，1+l1+1L1+ j<m,求m的最小值.2222n当a>0时，由f '”)>0可得x>a,由fx)<0可彳#0<x<a,所以f(x)在(0,a)上递减，在(a, "He yh递增，而f(1)=0,所以a=1.法3：(通过猜想减少分类讨论)由 f |1)=_1+aln20可得a3 . f'fx=1刍， 22-2ln 2x由f '(x )>0可彳导x >a ,由f '(x卜0可得0 <x <a ,所以f (

20、x)在(0,a)上递减，在(a,也)上递增，而f(1)=0，所以a=1 .(2)当 a =1 时 f (x )=x1 ln x 之0,即 In x Ex _1 ,则有 ln(x + 1 )<x ,当且仅当 x = 0时等号成立，所以ln 11 .2k 2，/ 1，,ln 11 ln 1122L In 11 ：2n112 L222+ =1 <12n2 n所以 1 - 1 L 1 - n.2.222n<e .当 n =3 时, F1 o-22232 4 85 9 135>2 , 64是m的最小值为3.【点评】不等式1+1:1+'i|/1+ 222 ”2n<m左

21、边是一个n项乘积的形式，处理起来比较麻烦.考虑取对数，将不等式等价转化为ln%|+ ln Si +-12 |+L +ln 1+-1)<lnm,则,2222n容易联想到与lnx有关的常用不等式ln(1+x)=x.模块2练习巩固整合提升a ln x b练习1：已知函数f (x尸+_ ,曲线y=f(x )在点(1, f(1)处的切线方程为x+2y -3 =0 .(1)求a、b的值;(2)证明：当 x >0 ,且 x #1 时，f (x )>In xx -1-ln x【解析】(1) f'(x尸(x+1 2与.由于直线x+2y3 = 0的斜率为一，且过 x2点(1,1所以严1

22、f 1 =1 , 一2b = 1即 Ja i ,解得 a=1 , b=1 .a _b 二22【证明】(2)由(1)知ln x 1ln x In x 11nxf(x)=百=所以 f(x)>一二百十丁一21n x +1 >0= H(x) = -2 'lln x - 'x-0 .构造函数 h(x = Inx- 1 x- I1 -x2x1 -x22 x2 x(x>0),则 h7x -l1+4r l'x 2x22x -1_2<0,2x2于是 h( x)在(0,也)上递减.当0<x<1时，h(x )递减，所以h(x )>h(1 )=0,于是

23、h(x)>0 ;当 x>1 时,h(x)递减，所以h(x)<h(1)=0,于是1H x =2 h x 01 -x综上所述，当x >0 ,且x#1时,In xx -11 o . b练习 2：已知函数 f (x )=(ax+1 )ln x-ax -bx + 二(a、b= R). 2ex1 b (1) 右a =b =,求函数F (x )= f (x j- ax In x 的单调区间；2 e122(2)右 a =1 , b = -1 ,求证：f (x )+- ax +bx >1n x -1 2eS .【解析】(1)当 a = b =1 F (x )=1n x - 11个夺

24、点 x0 c ,-，即 G (x0 )=ln x0 +1 + =0 ,且当 0 <x <x0时，G (x )<0 ,当 xx0时，e ee0G'(x)>0,所以G(x )在(0,x。)上递减，在(x°,)上递增，所以1G (x 心G (x0 )=/ In x0 - =x0 In x° +ln / +1 .e x2 -1x , F xx )=- -x -1 = _(x + 2 *x 1)242x 222x由F'(x )>0可得0 <x <1,由F'(x )<0可得x >1 ,所以F(x)的递增区间为

25、(0,1),递减区间为(1* ).1cc12.【证明】(2)若 a=1,b = -1, f(x )+ ax2 +bx >ln x -1 -2e_2 u xln x - - > -1 - - . 42exe1 .1.11 ex - xG (x )=xln x -,则 G (x )=ln x +1 + , G (x 户一-二.设 h( x )=e -x ,则 eex e xeh'(x )=ex -1 >0,所以 h(x 出(0,收)上递增，所以 h(x)Ah(0)=1,所以 G”(x)0,所以Gx )在(0,依)上递增.又因为G-"j=e5 >0, G&#

26、39;.=eW 1<0,所以G'(x)恰有一 ee设中(x )=x 1n x +1n x +1 ,1 1 xe2,e1，则 x =1 In x 1 4 e 0 x,所以中(x)在f4，- i上递增，所以 中(x。)><P'41=41n4+1n十1 =马1 .命题获证.e2，e0e一 1 一2x xxH '(x 尸e"1 ,由 H '(x )>0 可得 x>1 ,由 H '(x)<0 可得 0<x<1 ,于是 H (x )在(0,1)上递 减，在(1,2)上递增，于是 H (xpH(1 ) = 0.

27、于是当0<x<1时，G'(x)<0 ,当x>1时,G'(x)>0,所以G(x )在(0,1)上递减，在(1,y)上递增，于是G(x心G(1)=0,命题获证.【点评】对于不等式ex二 + xlnx x2之0,从指对分离的角度来看，可构造出,2 xex 41nxex工ln x 1ex"力力。工十xln x >x -e 、Inx >x-、之1 、 f 3二3 一卞1等一系列式子，由于xxxxxx构造的不等式两端的函数凸性一致，且寻找隔离曲线的难度大，不容易证明.考虑到函数x 12 一g(x)=e +x1nxx的形式不算太复杂， 可通

28、过多次求导证明其在 x轴的上万(有且仅有一e2 e2e2e2练习3：已知函数f (x )=ex+exln x .(1)求曲线y = f(x卉(1, f (1 »处的切线方程；(2)求证：f (x 庐ex2 .【解析】(1) f x)=ex+e(1+1nx),所以 f'(1)=2e,又 f(1)=e,所以 y=f(x)在 (1,f(1 )磔的切线方程为 ye=2e(x1),即 y = 2exe.【证明】(2)法 1 ： f (x )>ex2 u ex +exln x >ex2 仁 ex十xln x -x2 >0 ,构造函数g (x )=ex。+xln x 一x

29、2,则 g'(x )=ex1+1 +ln x 2x , g"(x )=ex+2一2 ,1g (x尸e .因为g (x )在(0,依)上递增,且g (1 )=0 ,所以当0MxM1时,g (x)<0 , x当 xA1 时，g'"(x )>0 ,所以 g "(x)在(0,1)上递减，在(1,口)上递增，所以 g"(x)2:g"(1 )=0 ,于是g'(x诈(0," 让递增，又因为g'(1) = 0,所以当0<x<1时，g'(x)<0, g(x)递减，当x>1时，g

30、'(x)>0, g (x )递增，所以g (x户g (1 )=0 ,命题获证.x 1x A法 2： f (x )至ex2= ex 十exln x >ex2 u e十In x -x >0，构造函数 G(x )=e十In x-x , xxx-1 ex -x令 H (x)=ex,x,则x 1x 12e x -11 e x -1 x -xx 1e 一个交点(1,0).也可以如法2那样将函数进一步改造为G(x尸+lnxx,法2比法1简单的原因在于 G(x)当中的lnx比较“单纯”，求导一次就能消去lnx.练习4：设函数f(x)=ln(1+xg(x)=xf'(x卜x>

31、;0,其中f'(x)是f (x)的导函数.(1)若f (x户ag(x )恒成立，求实数a的取值范围；(2)设nw N，比较g(1 )+g(2 )+L +g(n)与门f (n)的大小，并加以证明.【解析】(1) f x)='，所以 gfx)=x-.1 x1 x法1：(分离参数法)当 x=0时，f (x)圭ag(x)恒成立.当x>0时,f (x卢ag (x )在(0, -Ho)上恒成立仁f x 1 x ln 1 xa -g xx= F(x )在(0, 8 )上恒成立.F'(x) = x_1ng 令 G(x ) = xln (1+x ),则 G'(x ) = x

32、->0 ,所以 x1 » xG(x )在(0,收 江递增，于是 G(x)>G(0)=0,即F'(x)A0,所以F(x )在(0,收)上递增.1 x ln 1 x 1 ln 1 x由洛必达法则， 可彳导lim J-)= lim)=1 ,所以a M1,于是实数a的x-0 -xx 0 -1法2：(不猜想直接用最值法)令 h(x)=f (x)ag(x)=ln(1+x)-ax-,则,令 h '(x )=0 ,得 x = a 1 .1 x a 1 x -ax = x-a 1 21 x I|1 x当a1 W0,即a W1时，hx)>0在|0,)上恒成立，所以h(x

33、)在10,收)上递增,所以h(x)>h(0 )=0 ,所以当aM1时，h(x户0在【0, y )上恒成立.当a-1 >0 ,即a >1时，h(x )在(0,a1 )上递减，在(a1, )上递增，所以当x = a1时 h(x 咫到最小值，于是 h(x )>h(a -1 )=ln a a +1 .设甲(a )=ln a a +1, a >1 ,则1邛(a )=11 <0,所以函数邛(a )在(1,收)上递减，所以邛(a)<(1)=0,即h(a 1)<0,所 a以h x -0不恒成立.综上所述，实数a的取值范围为(-0°,1】.(2)设n =

34、 N，比较g(1 )+g (2 )+L +g (n )与n - f (n )的大小，并加以证明.专题四利用导数证明函数不等式（一） g(1)+g(2)+L12 1g n =2 § Ln _ f (n ) = n _ln( n+1),比较结果为:g(1)+g(2)+L +g(n)>n_f(n).证明如下. 11上述不等式等价于ln n 111 L2 31十言.为证明该式子'我们首先证明17,i 11ln i i 1法1 ：在(1)中取a =1,可得 ln(1 +x )>，令x =1 ,可得In匕1.令i =2，川n2 13 1仔 ln > , In >一

35、,证.,n 1 lnn11>,相加可得ln(n+1)> n 121 i法2:令t =：,则ln-ln(1+t )>不彳，构造函数 F t =ln1t+ t)，1 t一一 10<t<1 ,贝U F t =1 t二下0,于是 F(t )在(0,1 )上递增，所以F (t )>F(0 )=0,于i 11ln i i 1练习5：已知函数 f(x)=(xa)n1、x +x (其中a=R ).2(1)1若曲线y = f x昨点x0, f x0处的切线方程为 y = x,求a的值;2(2)1右 一<a<2Ve (e是自然对数的底数)，求证：f(x)>0

36、. 2ea 3【斛析】(1) f (x)=lnx+-，依题息，有x 21y0 =3x0Vy。=(x° -a )in x1x0 1+ x0 ,解得W21a=1a31lnx0 一十一=一 x022或/3 ,所以a =1 . a =1法1 ：令g(x尸f次)，则g'(x )=- +3,因为<a <2品,所以g'(x )>0 ,即 x x 2eg(x )在(0, y)上递增.因为aaa3a12. e1g . =ln一一十一二ln <ln_=0,223222222, ag a 尸In a-3=lna 1 ln2 2e=0 ,所以a ，g(x)在 -,a |上有唯一零点0 <x <xo 时，g(x )<0 ,当 x >xo 时，g(x )>0 ,所以 f (x )在(0,xo )上递减，在(X0,看C )上1递增，所以当x=x0时，f （x ）取到取小值f（x0 ）=（x0 a）ln x0+,x0.因为 g(x0 =ln x0 - +- =0 ,所以 ln x0 =-,所以,a 3f(x0 )=(x0-乂京-55x02 a-x0 xo51 一 2_ 21 一-a = 2x0 -5ax0 2a = 2x022x02x0-a a 丫 2a 因为 x° w l-,a2x。2