以空间图形为背景的轨迹问题的探求

1、以空间图形为背景的轨迹问题的探求伴随新课程的不断深入，近几年高考试题，设置了一些开放题，具有新颖性、综合性在知识网络交汇处设计试题是当今高考命题的一个方向，空间轨迹问题正是在这种背景下“闪亮登场”.这类题目已突破传统的筐筐，涵盖的知识点多，较抽象，学生求解起来颇感困难，得分率偏低，令人惋惜 .本文通过几道典型例题的分析，寻求空间轨迹问题的探求方i分析动点满足的几何性质；通过设轨迹上任意一点, 再类比已学过的曲线的定义和性质，来寻求突破.i.i 利用线面垂直关系根据条件求出动点的某些特征,【例11正方体ABCD-AiBCiDi中，点P在侧面BCGB及其边界上运动，在运动过程中，保持AP丄BD1，

2、则动点P的轨迹是（A ）A.线段BiCB.线段BGC. BBi中点与CCi中点连成的线段CiCD. BC中点与BiCi中点连成的线段解：联想到线面垂直，转化为求AP运动所形成的面与BDi垂直，易证BDi丄面ABC,故选A.i.2 联想圆的定义【例2 1如图iPAB所在的平面a和四边形ABCD所在的平面P垂直，且AD 丄a,BC 丄a , AD =4 , BC =8, AB =6, NAPD =NCPB，则点 P在平面 a内的轨迹是（A ）A.圆的一部分B .椭圆的一部分C.双曲线的一部分D .抛物线的一部分,解：AD 丄 a,BC 丄a，二 AD/ BC且NCPB = DAP =90°

3、;，又NCPB= APED 故 rucbP Rt心daP,有PA=AC=4=i，在平面PAB内，以AB所在直线为X轴，AB的中点为坐标原点,PB BC 82设P (x,y)则= i ,化简得X2 + y2 +i0x + 9 = 0 ,注意到点P不在直线AB (x3)2+y22上，故除掉y H0选A.练习：已知正方体的表面上与点A距离为迹的点的集合形成一条曲线，则该3P6ABCD-AiBiCiDi 的棱长为 1，Ire.-曲线的长度为（C.243D. 4/371I .: - =-L-SAC 一pJ； -P5'解：当点P在上底面时，连 AP、AiP,3在直角AAPAi中，求得P，即弧PiP

4、2的长3同理左侧面的弧 P5P6、后侧面的辽弧P3P4的长也为 X-;当点P在前侧面时，弧32PiP6的半径为，因为直角A AiPiA3中，直角边 AiPi的长为斜边PiA的一半，所以弧PiP6的圆心角为一，从而弧PiP6的长为62讣3 兀X 同理右侧面的弧 P2P3的长与下底面的弧362 - / 3 雹P4P3的长的长也为 亠 X二.故曲线的总36长度为3俘;+2代二警，故选B.1.3 联想到抛物线的定义【例31 已知正方体 ABCDAiBiCiDi的棱长为i,点M在棱iAB上，且 AM=，点P是平面ABCD内的动点，且点 P到直线3A Di的距离的平方与点 P到点M的距离的平方之差为 i,

5、贝y P点的轨迹为（A）A.抛物线弧B.双曲线弧解法一：过P作PF垂直ADCiCC.线段D.以上都不对于F,贝U PF垂直平面 ADDiAi,过点F作FE垂直AiDi2 2于E ,连PE ,贝y PE为点P到直线AiDi的距离，由已知PE PM = i ,PF2 + EF2 PM2 W，得PF2 PM 2 =0，二PF=PM，故P点的轨迹是以 M为焦点,以AD为准线的抛物线，故选 A.解法二：以AB，AD所在直线为X轴丫轴建立直角坐标系，设 P （x ,y）为轨迹上任意点，可得 P到 A1D1 的距离平方为 1+ X2，PM 2 =（X -1）2 + y2，所以 1 + X2-（X - -）2

6、 + y2=1， 332 2 1 整理得y为一9，故选A.练习：在正方体ABCD A1B1C1 D1的侧面ABB iA i内有一点P到直线AB与到直线BiCi的距离相等，则动点 P所在曲线的形状为（C）A.直线B.双曲线C.抛物线解：因为D.圆B1C1垂直于平面ABB1A1,所以PB1为点P到直线B1C1的距离，于是问题转化为在平面ABB iA 1内，点P到定点Bi的距离与点P到定直线AB的距离相等.故根据抛物线的定义可知选答案 C.1.4 联想到球面的定义【例4】 如图，已知正方形 ABCD-ABQ1D的棱长为2,长为2的线段MN的一个端点M在棱DD1上运动，点N在正方形ABCD内运动，则M

7、N中点的轨迹的面积是（D ）兀D.2解：充分利用 MN的长度不变，iMND是直角三角形,A. 4兀B.兀 C. 2兀* %fiP点为斜边MN的中点,二DP =1MN =1.故P点的轨迹是以D为圆心，1为半径的球面位于正方体内的部分，因2为要算具体面积，就必须求出几何体是球的哪些部分 .分析可得，点P和棱AD、DC、DD1均交于各自的中点，即三条半径两两垂直， 该部分球面与正方体围成的几何体是球的八分之，故选D.有踏破铁2 利用向量工具；按立体几何的传统方法几乎无从下手时，恰当的运用向量, 鞋无觅处，得来全不费工夫之感 .【例5】一定长线段 它的中点的轨迹.AB的两个端点A、B沿互相垂直的两条异

8、面直线m、n运动，求解：设MN为m、线n为x轴，直线NMn的公垂线段，则 为z轴，以过点MN与m、n两两垂直.如图，以N所作直线m的平行线为y轴，建立空间直角坐标N点为原点，直系.设 MN =c , A(0, a,c), B(b,O,O),则2b 2c2P点坐标为供，2其中横坐标和纵坐标为变量，竖坐标为常量”P点必在MN的垂直平分面上，取MN的中点0,则。应OP|=/Q212丿fb2/aL12丿12丿=* J(b2 +a2 + C2 )c21一2，所以P点在以0为圆心,AB - NMP12丿bfcnAB - NM 为半径的圆上.故P点的轨迹是 MN的垂直平分面内的一个圆3 利用特殊点定位；把问题的形式向特殊化形式转化，得出结论，并证明特殊化后的结 论适合一般情况.【例6】 如图所示，在三棱锥 A-BCD中，P为CD的中点，动点M在也ABD内部及边界上运动，且总保持PM /平面ABC,求动点M的轨迹.DC解：先分析特殊位置；当点M在BD边上时，由PM /平面ABC 可得PM / BC,此时点 M是BD边的中点 Q,当动点 M在AD边上时,同理可得PM / AC ,此时点M是AD边的中点R.于是猜想动点 M的轨迹为中位线 RQ.实际上此题就转化为证明面