第5章-控制系统的频域分析

1、2021/3/261第第5 5章章 控制系统的频域分析控制系统的频域分析 1 5.1 频率特性的基本概念 5.2 典型环节的频率特性 5.3 系统开环频率特性 5.4 奈奎斯特稳定判据 5.5 控制系统的相对稳定性 5.6 闭环系统频率特性 5.7 频域性能指标与时域性能指标的关系 5.8 用MATLAB进行频域分析 第5章 控制系统的频域分析2021/3/262第第5 5章章 控制系统的频域分析控制系统的频域分析 2 5.1.1 频率特性的概念频率特性的概念 设有稳定的线性定常系统: 设有正弦输入信号: 系统响应的拉氏变换5.1 频率特性的基本概念频率特性的基本概念 )()()()()()(

2、21npspspssmsRsCsFtRtrsin)(22)(sRsRjsbjsbpskpsknn1011)()()(sFsRsC2021/3/263第第5 5章章 控制系统的频域分析控制系统的频域分析 3 令:)()()()()()()(jFjejFjdcjbajF其中: )()()()()(2222dcbajFcdarctgabarctgbdcadacbarctgjF)()()()()()()()()()()()()()()()(jFjejFjdcjbajF则:2021/3/264第第5 5章章 控制系统的频域分析控制系统的频域分析 4 )(sin()(jFtjFRtjjFjtjjFjwej

3、ejFRejejFRtc2)(2)()()()()sin()(tjFRjsbjsbpskpsksCnn1011)(jRjFb2)(1jRjFb2)(0)()()(jFjejFjF)()()(jFjejFjF2021/3/265第第5 5章章 控制系统的频域分析控制系统的频域分析 5 )sin()(tRtr)(sin()()(jFtjFRtcw比较比较:结论结论: 对于稳定的线性定常系统,由谐波输入产生的稳态输出分量仍然是与输入同频率的谐波函数有关,而幅值与相角的变化是频率 的函数,且与数学模型有关。2021/3/266第第5 5章章 控制系统的频域分析控制系统的频域分析 6 频率特性频率特性（

4、频率响应）的定义式:jjFjeAejFjRjCjF)()()()()()(频率特性 :在正弦信号作用下,系统的输出稳态分 量与输入量复数之比表征输入输出幅 值、相位上的差异。)(jF正弦输入量的复数形式稳态输出量的复数形式2021/3/267第第5 5章章 控制系统的频域分析控制系统的频域分析 7 频率特性表征系统对正弦信号的三大传递能力:同频、变幅、变相相频特性 :谐波输入下,输出响应中与输入同频率的 谐波分量与输入谐波分量的相位之差。)()()(jF幅频特性 :谐波输入下,输出响应中与输入同频率的谐 波分量与输入谐波分量的幅值之比。)( A)()(jFA2021/3/268第第5 5章章

5、控制系统的频域分析控制系统的频域分析 8 系统三种描述方法的关系:微分方程微分方程系统系统传递函数传递函数频率特性频率特性js dtds dtdj2021/3/269第第5 5章章 控制系统的频域分析控制系统的频域分析 9 5.1.2 频率特性的表示方法频率特性的表示方法1. 幅相频率特性曲线（奈氏图） 幅相频率特性可以表示成代数形式和极坐标形式。 代数形式: 设系统或环节的传递函数为 令 ,可得系统或环节的频率特性 nnnmmmasasabsbsbG110110(s)js 2021/3/2610第第5 5章章 控制系统的频域分析控制系统的频域分析 10 其中 为频率特性的实部，称为实频特性

6、为频率特性的虚部，称为虚频特性 )(P)(Q)()()()()()()(110110jQPajajabjbjbjGnnnmmm极坐标形式:将频率特性表示成指数形式 :)()(22)()()()(jjeAeQPjG2021/3/2611第第5 5章章 控制系统的频域分析控制系统的频域分析 11 )()()(22QPA)()(arctan)(QP式中 频率特性的幅值,即幅频特性 复数频率特性的相角或相位移,即相频特性 )(A)(2021/3/2612第第5 5章章 控制系统的频域分析控制系统的频域分析 12 奈氏图:2021/3/2613第第5 5章章 控制系统的频域分析控制系统的频域分析 13

7、2. 对数频率特性曲线（Bode图） 对数频率特性曲线是将频率特性表示在半对数坐标中。 对数频率特性由对数幅频和对数相频两条曲线组成。 对数频率特性曲线:横坐标是频率 ,并按对数 分度,单位为弧度/秒 。 /srad)(特点特点:2021/3/2614第第5 5章章 控制系统的频域分析控制系统的频域分析 14 对数幅频曲线:纵坐标按 线性分度,单位为分贝（db）。 对数相频曲线:纵坐标按 线性分度,单位为度 由此构成坐标称为半对数坐标。)()(22)()()()(jjeAeQPjG( )20lg( )( )( )LAdBrad ，或)(lg20| )(|lg20)(AjGL）（02021/3/

8、2615第第5 5章章 控制系统的频域分析控制系统的频域分析 15 Bode图:2021/3/2616第第5 5章章 控制系统的频域分析控制系统的频域分析 16 3. 对数幅相特性（尼氏图） 将对数幅频特性和对数相频特性绘在一个平面上,以对数幅值作纵坐标（单位为分贝）、以相位移作横坐标（单位为度）、以频率为参变量。这种图称为对数幅相频率特性,也称为尼柯尔斯图,或尼氏图。 2021/3/2617第第5 5章章 控制系统的频域分析控制系统的频域分析 17 5.2 典型环节的频率特性典型环节的频率特性5.2.1 比例环节比例环节 ( )20lg20lg0LAK 传递函数：KsRsCsG)()()(频

9、率特性：KjG)(2021/3/2618第第5 5章章 控制系统的频域分析控制系统的频域分析 18 1.幅相频率特性 比例环节的幅频特性、相频特性均与频率 无关。所以由 变到 ,在图中为实轴上点。 ,表示输出与输入同相位。0)(比例环节的幅相频率特性2021/3/2619第第5 5章章 控制系统的频域分析控制系统的频域分析 19 Bode图图 ( )20lg20lg0LAK )100(K对数幅频特性的绘制:对数相频特性的绘制:00)(KLlg20)(KjG)(2. 对数频率特性2021/3/2620第第5 5章章 控制系统的频域分析控制系统的频域分析 20 频率特性: （1） （2） TTTA

10、Larctan)(1lg2011lg20)(lg20)(2222传递函数：TssRsCsG11)()()(TjeTarctan2211)()(1111111)(22jQPTjTjTjTjTjTjG5.2.2 惯性环节惯性环节2021/3/2621第第5 5章章 控制系统的频域分析控制系统的频域分析 21 奈奈 氏氏 图图惯性环节的幅相频率特性 )()(1111111)(22jQPTjTjTjTjTjTjG2211)(TATarctan)(幅频特性幅频特性相频特性相频特性2021/3/2622第第5 5章章 控制系统的频域分析控制系统的频域分析 22 222)21()()21)(Qp0)1(11

11、)11(22222222TTTT2222222)21()1()2111(TTT2222222222211)()1()11()()(TATTTQp 惯性环节的幅相频率特性曲线实际上是一个圆,圆心为 ,半径为 。0 ,21212021/3/2623第第5 5章章 控制系统的频域分析控制系统的频域分析 23 对数幅频特性的绘制:Bode图图2021/3/2624第第5 5章章 控制系统的频域分析控制系统的频域分析 24 TTLTTlg201lg20)(/11)2(22 时（高频段），即dBTLTT01lg201lg20)(/11)1(22时（低频段），即111lg20)(TL)(20lg202010

12、lg20)(10111212LTTL结论:每十倍频程, 变化-20dB.)(L2021/3/2625第第5 5章章 控制系统的频域分析控制系统的频域分析 25 传递函数:频率特性: （1） （2） 1( )20lg( )20lg20lg( )90LA 5.2.3 积分环节积分环节ssRsCsG1)()()()()(11)(jQPjjjG21je2021/3/2626第第5 5章章 控制系统的频域分析控制系统的频域分析 26 奈 氏 图)()(11)(jQPjjjG1)(,0)(QP式中 1)(A2)(幅频特性相频特性2021/3/2627第第5 5章章 控制系统的频域分析控制系统的频域分析 2

13、7 111lg20)(L)(20lg202010lg20)(10111212LL结论:每十倍频程, 变化-20dB.)(L对数幅频特性的绘制:dBL01lg20) 1 (1Bode图图2021/3/2628第第5 5章章 控制系统的频域分析控制系统的频域分析 28 频率特性: （1） （2） 2)(jejjG090)(lg20)(lg20)(AL5.2.4 微分环节微分环节1. 理想微分环节传递函数：s)(sG2021/3/2629奈 氏 图第第5 5章章 控制系统的频域分析控制系统的频域分析 29 )()()(jQPjjG)(, 0)(QP)(A2)(式中:幅频特性相频特性2021/3/26

14、30第第5 5章章 控制系统的频域分析控制系统的频域分析 30 结论:每十倍频程, 变化20dB.090)(lg20)(lg20)(AL111lg20)(L)(20lg202010lg20)(10111212LL)(L对数幅频特性的绘制:dBL01lg20) 1 (1Bode图图2021/3/2631第第5 5章章 控制系统的频域分析控制系统的频域分析 31 频率特性频率特性: （1） （2） TjeTjTjGarctan2211)(TTALarctan)()(1lg20)(lg20)(22. 一阶微分环节传递函数：传递函数：1s)( TsG2021/3/2632奈奈 氏氏 图图第第5 5章章

15、 控制系统的频域分析控制系统的频域分析 32 )()(1)(jQPjTjGTQP)(, 1)(221)(TATarctan)(式中:。幅频特性相频特性2021/3/2633第第5 5章章 控制系统的频域分析控制系统的频域分析 33 对数幅频特性的绘制:Bode图2021/3/2634第第5 5章章 控制系统的频域分析控制系统的频域分析 34 dBTLTT01lg201lg20)(/11) 1 (22时（低频段），即结论：每十倍频程， 变化20dB.)(L111lg20)(TL)(20lg202010lg20)(10111212LTTLTTLTTlg201lg20)(/11)2(22 时（高频段

16、），即2021/3/2635第第5 5章章 控制系统的频域分析控制系统的频域分析 35 传递函数:频率特性: （1）1212)(22222TssTsssGnnnnT15.2.5 振荡环节振荡环节)()(2121211)(22222222jQPTTTjTTjTjG2222)2()1 (1)(TTA时时112arctan112arctan)(2222TTTTTT2021/3/2636第第5 5章章 控制系统的频域分析控制系统的频域分析 36 T1pM)(AppM04122424)(322222222234TTTTTddA)707. 00 (2112Tp振荡环节的幅相频率特性振荡环节的幅相频率特性附

17、近,幅频特性将出现谐振峰值,其大小与阻尼比有关。由幅频特性对频率求导数,并令其等于零,可求得谐振角频率和谐振峰值。即由可得振荡环节的谐振角频率在幅相频率特性幅相频率特性(奈氏图奈氏图)2021/3/2637第第5 5章章 控制系统的频域分析控制系统的频域分析 37 0)(pddA0222)2()1 (2)2()1(21222232222TTTTTT222221121TTpppMA2121)(谐振峰值谐振频率何时存在最值?讨论:2222)2()1 (1)(TTA2021/3/2638第第5 5章章 控制系统的频域分析控制系统的频域分析 38 当 时,即 时, 存在峰值。 越小,峰值及谐振频率就越

18、大，意味着超调越大，过程越不平稳.707. 02/1结论:0212)(A2021/3/2639第第5 5章章 控制系统的频域分析控制系统的频域分析 39 结论:幅频特性的最大值随 减小而增大。 2021/3/2640第第5 5章章 控制系统的频域分析控制系统的频域分析 40 对数幅频特性的绘制:Bode图2021/3/2641第第5 5章章 控制系统的频域分析控制系统的频域分析 41 结论:每十倍频程, 变化-40dB.)(L)(40lg404010lg40)(10111212LTTL111lg40)(TLTTTTTTLTTlg40lg204)(lg204)(lg20)(/11)2(22222

19、22222222时（高频段），即dBLTT01lg20)(/11)1(时（低频段），即2021/3/2642第第5 5章章 控制系统的频域分析控制系统的频域分析 42 对数相频特性的绘制:结论:nTTT2arctan2arctan)(/11)1(时（低频段），即nTTT2arctan12arctan)(/11)2(时（高频段），即2)(/1T)()(12121时，低频段：)()(21高频段：2021/3/2643第第5 5章章 控制系统的频域分析控制系统的频域分析 43 122)(2222TssTsssGnnnT1 10T/102)(Q)(p05.2.6 二阶微分环节二阶微分环节)()(21)

20、(22jQPTjTjG2021/3/2644第第5 5章章 控制系统的频域分析控制系统的频域分析 44 Bode图可由振荡环节的Bode图镜像画出 时时112arctan112arctan)(2222TTTTTT奈 氏 图2222)2()1 ()(TTA2021/3/2645第第5 5章章 控制系统的频域分析控制系统的频域分析 45 传递函数:频率特性频率特性: （1） （2） ( )20lg( )0( )LAdB 1)(,sin)(,cos)(AQP5.2.7 时滞环节时滞环节sesG)(sincosjjesG)(2021/3/2646第第5 5章章 控制系统的频域分析控制系统的频域分析 4

21、6 奈氏图Bode图2021/3/2647第第5 5章章 控制系统的频域分析控制系统的频域分析 47 求A(0)、 (0);A()、 ();绘制要求: 补充必要的特征点(如与坐标轴的交点),根据A()、 () 的变化趋势,画出Nyquist图的大致形状。5.3 系统开环频率特性系统开环频率特性2021/3/2648第第5 5章章 控制系统的频域分析控制系统的频域分析 48 开环系统（最小相位系统）频率特性的一般形式为 vnjjvmiiTjjTjKjG11k)1()()1()(2021/3/2649第第5 5章章 控制系统的频域分析控制系统的频域分析 49 幅相特性的低频段 当 时，可以确定特性

22、的低频部分，其特点由系统的类型近似确定，如下图所示： 02021/3/2650第第5 5章章 控制系统的频域分析控制系统的频域分析 50 vnjjvmiiTjjTjKjG11k)1()()1()( 对于0型系统，当 时，特性达到一点 。 对于型系统，特性趋于一条与虚轴平行的渐进线，这一渐进线可以由下式确定： )0,(jKk0)(lim)(Relim00 xPjG 时的相位角为 90v02021/3/2651第第5 5章章 控制系统的频域分析控制系统的频域分析 51 幅相特性的高频段 即特性总是以顺时针方向趋于点，并按上式的角度终止于原点，如图所示。 一般，有 ，故当 时，有 mn )(900)

23、(jlim0mnGvnjjvmiiTjjTjKjG11k) 1()() 1()(2021/3/2652第第5 5章章 控制系统的频域分析控制系统的频域分析 52 特性与负实轴的交点的频率由下式求出 如果在传递函数的分子中没有时间常数,则当由0增大到过程中,特性的相位角连续减小,特性平滑地变化。 如果在分子中有时间常数，则视这些时间常数的数值大小不同，特性的相位角可能不是以同一方向连续地变化，这时，特性可能出现凹部。 0jImQG2021/3/2653第第5 5章章 控制系统的频域分析控制系统的频域分析 53 例:绘制 的幅相曲线。) 1)(1()(21sTsTKsG解:oKjG0)0(ojG1

24、800)()1)1)(21jTjTKjG（22222111)(TTKA21arctanarctan)(TT2021/3/2654第第5 5章章 控制系统的频域分析控制系统的频域分析 54 例例：绘制 的幅相曲线。)1()(TssKsG解：ojG90)0(ojG1800)()1 (1)1)(2222TKjTKTjTjKjG（221)(TKATarctan90)(02021/3/2655第第5 5章章 控制系统的频域分析控制系统的频域分析 55 渐近线:KTTKTP22001lim)(lim020)0(jeKjKjG0时的物理意义：0即相当于系统输入为恒值信号（频率为0）由于系统有积分环节，系统输

25、出量为2021/3/2656第第5 5章章 控制系统的频域分析控制系统的频域分析 56 ReIm-(kT,j0)0 0 2021/3/2657第第5 5章章 控制系统的频域分析控制系统的频域分析 57 时，开环频率特性由实轴上无穷远开始，在极小的频率范围内按无穷大半径变化，相角位移为 。00结论：2推论： 时，开环频率特性由实轴上无穷远开始，在极小的频率范围内按无穷大半径变化，相角位移为 （ 为积分环节的阶次）2N00N2021/3/2658第第5 5章章 控制系统的频域分析控制系统的频域分析 58 例例：绘制 的幅相曲线。)1()3)(2(5)(2sssssG解：ojG180)0(ojG90

26、0)(求交点：)1(5)6(5)(22jjjG0)(ImjG令0)6(521, 1225)1 ()55(5) 1(jjjG31arctan21arctanarctan180)(0与负实轴相交于-25处。2021/3/2659第第5 5章章 控制系统的频域分析控制系统的频域分析 59 曲线如图所示:0202)()0(jeKjKjG0560)(Re22jG无实数解与虚轴无交点0642令2021/3/2660第第5 5章章 控制系统的频域分析控制系统的频域分析 60 将开环传递函数表示成若干典型环节的串联形式：)().()()(21sGsGsGsGn)()(22)(11)(.)()()(njnjje

27、AeAeAjG)().()()(21nAAAA)(.)()()(21n)(lg20.)(lg20)(lg20)(lg20)(21nAAAAL5.3.2 开环对数频率特性（开环对数频率特性（伯德图）伯德图）曲线的绘制曲线的绘制2021/3/2661第第5 5章章 控制系统的频域分析控制系统的频域分析 61 对数幅频特性 = 组成系统的各典型环节的对数幅频特性之代数和。 对数相频特性 = 组成系统的各典型环节的相频特性之代数和。2021/3/2662第第5 5章章 控制系统的频域分析控制系统的频域分析 62 例：一系统开环传递函数为 ),10() 1)(1()(21k21kTTKsTsTsKsG1

28、. 系统开环对数幅频特性1)(lg201)(lg20lg20lg20 )(lg20)(2221kTTKAL2021/3/2663第第5 5章章 控制系统的频域分析控制系统的频域分析 63 2021/3/2664第第5 5章章 控制系统的频域分析控制系统的频域分析 64 绘制步骤： （1）确定交接频率 标在角频率 轴上； （2）在 处，量出幅值 ，其中 为系统开环放大系数。（上图中的A点） （3）通过A点作一条-20vdB/十倍频的直线，其中v为系统的阶数（对于上例，v=1），直到第一个交接频率 (图中B点）。如果 ，则低频渐进线的延长线经过A点。 111T, 2, 1klg20KkK11202

29、1/3/2665第第5 5章章 控制系统的频域分析控制系统的频域分析 65 （4）以后每遇到一个交接频率，就改变一次渐进线斜率。 每当遇到 环节的交接频率时，渐进线斜率增加 -20dB/十倍频； 每当遇到 环节的交接频率时，斜率增加+20dB/十倍频； 每当遇到 环节的交接频率时，斜率增加 -40dB/十倍频。 11jjT) 1(ijT2222)(nnnjj2021/3/2666第第5 5章章 控制系统的频域分析控制系统的频域分析 66 （5）绘出用渐进线表示的对数幅频特性以后,如果需要,可以进行修正。通常只需在交接频率出以及交接频率的二倍频和1/2倍频处的幅值就可以了。 对于一阶项,在交接频

30、率处的修正值为3dB;在交接频率的二倍频和1/2倍频处的修正值为1dB。 对于二阶项，在交接频率处的修正值可由公式求出。2021/3/2667第第5 5章章 控制系统的频域分析控制系统的频域分析 67 幅值穿越频率 系统开环对数幅频特性 通过0分贝线即 时的频率 称为幅值穿越频率。幅值穿越频率 是开环 对数相频特性的一个很重要的参量。)(Lcc0cL或1cA2021/3/2668第第5 5章章 控制系统的频域分析控制系统的频域分析 68 2. 系统开环对数相频特性210arctanarctan90)(TT2021/3/2669第第5 5章章 控制系统的频域分析控制系统的频域分析 69 5.3.

31、3 开环对数频率特性低频段特点与系统型别的关开环对数频率特性低频段特点与系统型别的关系系0型系统 0型系统的开环频率特性有如下形式:njjmiiTjTjKjG11k)1()1()(kkkkjiKALKAKjWTTlg20)(lg20)()()(1, 1，低频时:2021/3/2670第第5 5章章 控制系统的频域分析控制系统的频域分析 70 对数幅频特性的低频部分如下图所示: 2021/3/2671第第5 5章章 控制系统的频域分析控制系统的频域分析 71 特点:在低频段，斜率为0dB/十倍频； 低频段的幅值为 ，由之可以确定稳态位置误差系数。kKlg202021/3/2672第第5 5章章

32、控制系统的频域分析控制系统的频域分析 72 型系统 型系统的开环频率特性有如下形式: 可作图。时，十倍频，且当斜率为，低频时，0)(/20lg20lg20lg20)(lg20)()()(1, 1LKdBKKALKAjKjWTTkkkkkkji111k)1()1()(njjmiiTjjTjKjG2021/3/2673第第5 5章章 控制系统的频域分析控制系统的频域分析 73 对数幅频特性的低频部分如下图所示 :2021/3/2674第第5 5章章 控制系统的频域分析控制系统的频域分析 74 特点:在低频段的渐进线斜率为-20dB/十倍频;低频渐进线（或其延长线）在=1时的幅值为 dB。kKlg2

33、0低频渐进线（或其延长线）与0分贝的交点为 由之可以确定系统的稳态速度误差系数 ；kvKKkkK2021/3/2675第第5 5章章 控制系统的频域分析控制系统的频域分析 75 型系统 型系统的开环频率特性有如下形式 :可作图。时，十倍频，且当斜率为，低频时，0)(/40lg40lg20lg20)(lg20)()()()(1, 1222LKdBKKALKAjKjWTTkkkkkkji2121k)1()()1()(njjmiiTjjTjKjG2021/3/2676第第5 5章章 控制系统的频域分析控制系统的频域分析 76 对数幅频特性的低频部分如下图所示 : 2021/3/2677第第5 5章章

34、 控制系统的频域分析控制系统的频域分析 77 特点:低频渐进线的斜率为-40dB/十倍频;低频渐进线(或其延长线)与0分贝的交点为 ， 由之可以确定加速度误差系数 kaKKkkKkKlg20dB低频渐进线（或其延长线）在 时的幅值为12021/3/2678第第5 5章章 控制系统的频域分析控制系统的频域分析 78 凡在右半s 平面上有开环零点或极点的系统,称为非最小相位系统。 “最小相位” 是指,具有相同幅频特性的一些环节,其中相角位移有最小可能值的，称为最小相位环节;反之，其中相角位移大于最小可能值的环节称为非最小相位环节;后者常在传递函数中包含右半s平面的零点或极点。 5.3.4 最小相位

35、系统与非最小相位系统最小相位系统与非最小相位系统2021/3/2679第第5 5章章 控制系统的频域分析控制系统的频域分析 79 sTsTsG12111)(sTsTsG12211)(021TT122122121arctanarctan)(1)(111)(TTTTTjTjjG122122122arctanarctan)(1)(111)(TTTTTjTjjG2021/3/2680第第5 5章章 控制系统的频域分析控制系统的频域分析 80 11T21T)(L212221)(1lg20)(1lg20)()(TTLL2021/3/2681第第5 5章章 控制系统的频域分析控制系统的频域分析 81 11T

36、21T)(L1221221arctanarctan)(1)(1)(TTTTjG121arctanarctan)(TT11T21T)(045090045090升升降降对对应应2021/3/2682第第5 5章章 控制系统的频域分析控制系统的频域分析 82 11T21T)(L1221222arctanarctan)(1)(1)(TTTTjG122arctanarctan)(TT)(018009011T21T升升降降不不对对应应2021/3/2683第第5 5章章 控制系统的频域分析控制系统的频域分析 83 升升降降对对应应最小相位环节:给出了幅频特性,也就决定了相频特性给出了相频特性,也就决定了幅

37、频特性11T21T)(L11T21T)(0450900450901221221arctanarctan)(1)(1)(TTTTjGsTsTsG12111)(2021/3/2684第第5 5章章 控制系统的频域分析控制系统的频域分析 84 幅角原理奈氏判据的数学基础 设S平面上的封闭曲线 包围了复变函数F(S)的P个极点和Z个零点，并且此曲线不经过F(S)的任一零点和极点，当复变量S沿封闭曲线 顺时钟方向移动一周时，F(S)相角的变化情况。ss 讨论:5.4 奈奎斯特稳定判据奈奎斯特稳定判据5.4.1 奈氏判据奈氏判据2021/3/2685第第5 5章章 控制系统的频域分析控制系统的频域分析 8

38、5 设复变函数为)()()()()(21211nmpspspszszszsKsF 则对应与S平面下除了有限的奇点之外的任意一点, F(S)为解析函数,即为单值、连续的函数。j1s2s3sS平面平面os)(2sF)(3sF)(1sFUjVF（S）平面平面o)(sF2021/3/2686第第5 5章章 控制系统的频域分析控制系统的频域分析 86 曲线的形状:由F(S)的特性决定,无需关心 曲线的运动方向:可能是顺时针,也可能是逆时针 曲线包围原点的情况:包围的次数niimjjpszssF11)()()()(2)2(2)(PZPZsF)(sF2021/3/2687第第5 5章章 控制系统的频域分析控

39、制系统的频域分析 87 S平面平面顺时针包围原点一圈F(S)平面2021/3/2688第第5 5章章 控制系统的频域分析控制系统的频域分析 88 幅 角 原 理 设S平面上的封闭曲线 包围了复变函数F(S)的P个极点和Z个零点，并且此曲线不经过F(S)的任一零点和极点，当复变量S沿封闭曲线 顺时钟方向移动一周时，在F(S)平面上的映射曲线逆时针包围坐标原点N=P-Z周。ss2021/3/2689第第5 5章章 控制系统的频域分析控制系统的频域分析 89 辅助函数F(s) 设系统的特征方程0)()(1)(sHsGsF)()()()()()(21211nmpspspszszszsKsHsG)()(

40、)()()()()()()()()()()()(1)(2121212112121211nnnmnnmpspspssssssspspspszszszsKpspspspspspszszszsKsF开环系统极点闭环系统极点2021/3/2690第第5 5章章 控制系统的频域分析控制系统的频域分析 90 1.(s)的零点是闭环系统的极点, (s)的极点则是开环系统极点辅助函数F(s)的特点 )()(1)(sHsGsF2.(s)的零点与极点个数相同3.(s)与只差一个常数)(1)()(1)(sGsHsGsFk)(sWk2021/3/2691第第5 5章章 控制系统的频域分析控制系统的频域分析 91 奈氏

41、路径 oReRjjs幅角原理要求 奈氏路径不能经过F(S)的奇点s无处于虚轴上的开环极点（开环无积分环节或振荡环节）2021/3/2692第第5 5章章 控制系统的频域分析控制系统的频域分析 92 开环有积分环节用半径的半圆在虚轴上极点的右侧绕过这些极点开环有振荡环节0jjss0je0jeRRjeRRje002021/3/2693第第5 5章章 控制系统的频域分析控制系统的频域分析 93 映射曲线(奈氏曲线)的绘制方法GHoReRjjs无处于虚轴上的开环极点(开环无积分环节或振荡环节)2021/3/2694第第5 5章章 控制系统的频域分析控制系统的频域分析 94 GH关于实轴对称，只需绘制

42、的映射曲线0)Im(s（1）令s=j带入G(s)H(s),得到开环频率特性。（2）画出对应于大半圆对应的部分90, 00jesnjjmisTsKsHsG11ik)1()1()()(实际物理系统 n=m nm时 G(s)H(s)趋于零(原点） n=m时 G(s)H(s)为常数s2021/3/2695第第5 5章章 控制系统的频域分析控制系统的频域分析 95 oReRjjs开环有积分环节je0 0（1）令s=j带入G(s)H(s),得到开环频率特性。),0(（2）画出对应于大半圆对应的部分 开环频率特性的终点（3）画出对应于 对应的部分90, 00jesjvvjvjeseeKsHsG00limli

43、m)()(090v20当时,)()(sHsG00,曲线将沿无穷大的圆弧顺时针转过2021/3/2696第第5 5章章 控制系统的频域分析控制系统的频域分析 96 开环有振荡环节开环有振荡环节 下面只讨论 对应的映射曲线90,9000jnejs)()(1)1()()1()()(12221221isGsKsTssKsHsGknnjjnmi)()90(190(0)(lim1000)(2lim)()(jnkjnejGjjjnkn)jejseeejGKesHsG)()(sHsG0180vnn22当时,曲线将沿无穷大的圆弧顺时针转过oReRjjsjnej0nnnn2021/3/2697第第5 5章章 控制

44、系统的频域分析控制系统的频域分析 97 )0,()1)(1()(22TKsTssKsGnkImRe0 0 nn2021/3/2698第第5 5章章 控制系统的频域分析控制系统的频域分析 98 根据幅角原理,s沿奈氏路径顺时针移动一 周时,在F(s)平面上的映射曲线将按逆时针围 绕坐标原点N=P-Z周。2021/3/2699第第5 5章章 控制系统的频域分析控制系统的频域分析 99 稳定性判据稳定性判据: 如果在s平面上,s沿奈氏路径顺时针移动一周时,在F(s) 平面上的映射曲线围绕坐标原点按逆时针旋转N=P周,则系统是稳定的。（即）1)()()(sFsHsG 映射曲线围绕原点的情况相当于G(s

45、)H(s)的封闭曲线围绕（-1,0）的运动情况。2021/3/26100第第5 5章章 控制系统的频域分析控制系统的频域分析 100 奈氏稳定判据 如果开环系统是稳定的，那么闭环系统稳 定的条件是：当由 变到时，开环频率 特性在复数平面的轨迹不包围（-1, j0）这一点。 2021/3/26101第第5 5章章 控制系统的频域分析控制系统的频域分析 101 如果开环系统是不稳定的,开环系统特征方程式有P个根在右半s平面上,则闭环系统稳定的充要条件是:当 由 变到 时,开环频率特性的轨迹在复平面上应逆时针围绕(-1,j0)点转N=P圈。否则闭环系统是不稳定的。2021/3/26102第第5 5章

46、章 控制系统的频域分析控制系统的频域分析 102 例例:绘制开环传递函数)1)(1()()(21sTsTKsHsG的乃奎斯特图并判定系统的稳定性。用奈氏稳定判据判断系统的稳定性0PPN 0闭环系统稳定闭环系统稳定 2021/3/26103第第5 5章章 控制系统的频域分析控制系统的频域分析 103 例例: 系统开环传递函数为 0,)1)(1()(21KsTsTsKsWK没有极点位于右半s平面, ,P=0。 222142221221)(1)()(TTTTTTKP)(1 )1 ()(2221422212212TTTTTTKQ)(21xTTK21g1TT2121g)(TTTKTP2021/3/261

47、04第第5 5章章 控制系统的频域分析控制系统的频域分析 104 时2121TTTTK0N时2121TTTTK闭环系统稳定 PN 2闭环系统不稳定 121 2( )1TTPKTT 时，达到稳定边界，这时一型系统一型系统2021/3/26105第第5 5章章 控制系统的频域分析控制系统的频域分析 105 逆时针包围逆时针包围正穿越=) 1,( 轨线在负实轴区间轨线在负实轴区间 从上向下从上向下穿越穿越GH)0, 1(j)0, 1(j)0, 1(j2021/3/26106第第5 5章章 控制系统的频域分析控制系统的频域分析 106 ) 0, 1(j负穿越 =) 1,( 轨线在负实轴区间 从下向上穿

48、越GH)0, 1(j顺时针包围)(2NNN说明:从轴上出发,算半次穿越2021/3/26107第第5 5章章 控制系统的频域分析控制系统的频域分析 107 开环系统特征方程式有P个根在右半s平面上,则闭环系统稳定的充要条件是:当 由0变到 时,开环频率特性的轨迹在复平面上 (-1,j0)点左侧,正穿越负穿越P/2。否则闭环系统是不稳定的。 奈氏判据的实际方法2021/3/26108第第5 5章章 控制系统的频域分析控制系统的频域分析 108 例例:系统开环传递函数为 )1()1()(122sTssTKsG) 1()() 1()(122jTjjTKjG1)(1)()(21222TTKA210ar

49、ctanarctan180)(TT解: 2021/3/26109第第5 5章章 控制系统的频域分析控制系统的频域分析 109 0 01eRmI21) 1 (TT 0P闭环系统不稳定 1N0N21PNN22, 0NPZNP二型系统ImReo 002021/3/26110第第5 5章章 控制系统的频域分析控制系统的频域分析 110 21)2(TT ) 1()() 1()(122jTjjTKjG1)(1)()(21222TTKA210arctanarctan180)(TTImRe 020PNN0N0N0P闭环系统稳定 2021/3/26111第第5 5章章 控制系统的频域分析控制系统的频域分析 11

50、1 21)3(TT ) 1()() 1()(122jTjjTKjG1)(1)()(21222TTKA0210180arctanarctan180)(TTImRe 0 轨线通过（-1，j0)点， 闭环系统临界稳定)(jG12021/3/26112第第5 5章章 控制系统的频域分析控制系统的频域分析 112 例例:系统开环传递函数为 ) 1() 1()(12sTssTKsG) 1() 1(1)() 1)() 1()(2212212212112TTTKjTTTKjTjjTKjG1)(1)()(2122TTKA2102100arctanarctan270arctan)arctan180(90)(TTT

51、T解： 1P2021/3/26113第第5 5章章 控制系统的频域分析控制系统的频域分析 113 ojG270)0(ojG900)()TT( )(jRelim 210 xKG渐进线 )eG(j10)ImG(j 221KTRTTgg令与负实轴的交点一型系统ImRe1 2KT)TT(21 K0 02021/3/26114第第5 5章章 控制系统的频域分析控制系统的频域分析 114 时1T2K0N21N221PNN闭环系统不稳定 时1T2K1N21N221PNN闭环系统稳定 2021/3/26115第第5 5章章 控制系统的频域分析控制系统的频域分析 115 1)(A0)(lg20)(AL5.4.2

52、 对数频率稳定对数频率稳定判据判据2021/3/26116第第5 5章章 控制系统的频域分析控制系统的频域分析 116 对数频率稳定判据对数频率稳定判据: 若系统开环传递函数P个位于右半s平面的特征根，则当在 的所有频率范围内，对数相频特性曲线 (含辅助线)与 线的正负穿越次数之差等于P/2时，系统闭环稳定，否则，闭环不稳定。 0)(L)(01802021/3/26117第第5 5章章 控制系统的频域分析控制系统的频域分析 117 辅助线的作法辅助线的作法: : 系统存在积分环节 时, Bode图从 处向上补作 虚直线 系统存在一个振荡环节时, Bode图从 处向上补作 虚直线至 处 ImRe

53、0 0 nnvsP1090v 00180)(n)(n2021/3/26118第第5 5章章 控制系统的频域分析控制系统的频域分析 118 例:)3,100() 1()(2TKTssKsG210PNN1)(LT1KdecdB/60decdB/400009001800270)(0P2) 1(20NPZ 闭环系统在s右半平面有2个根2021/3/26119第第5 5章章 控制系统的频域分析控制系统的频域分析 119 根据奈氏判据，对于开环稳定的最小相位系统，根据开环幅相曲线 相对 点的位置不同，对应闭环系统的稳定性有三种情况： )(jG)0, 1(j (1)当开环幅相曲线 包围点 时，闭环系统不稳定

54、； )0, 1(j)(jGReIm) 0, 1(j5.5 控制系统的相对稳定性2021/3/26120第第5 5章章 控制系统的频域分析控制系统的频域分析 120 (2)当开环幅相曲线 通过点 时,闭环系统处于临界稳定状态; (3)当开环幅相曲线 不包围点 时,闭环系统稳定。 可见,开环幅相曲线靠近 点的程度表征了系统的相对稳定性，幅相曲线距离 点越远，闭环系统的相对稳定性越高。开环幅相曲线越靠近 点，系统阶跃响应的振荡就越强烈，系统的相对稳定性就越差。 )0, 1(j)0, 1(j)0, 1(j)0, 1(j)(jG )0, 1(j)(jG2021/3/26121第第5 5章章 控制系统的频

55、域分析控制系统的频域分析 121 即:)(180)(c0cPM 相位裕度:开环系统频率特性的幅值为1时,系统的 开环系统频率特性的相位角与 之和,记为0180ReImc)(c-1 1 )(jG 系统的幅值穿越频率 满足:c1)(cA 5.5.1 相位裕度相位裕度0)(cL或2021/3/26122第第5 5章章 控制系统的频域分析控制系统的频域分析 122 相位裕量的物理意义: 对于闭环稳定系统,如果开环系统频率特性的相 位角再滞后 度,则系统处于临界状态;若开环系统频 率特性的相位角滞后大于 度,系统将变成不稳定。 2021/3/26123第第5 5章章 控制系统的频域分析控制系统的频域分析

56、 123 -1 1 稳定系统-1 1 不稳定系统正相位裕量正相位裕量负相位裕量负相位裕量2021/3/26124第第5 5章章 控制系统的频域分析控制系统的频域分析 124 正相位裕量正相位裕量 负相位裕量负相位裕量 cc稳定系统稳定系统 902701800 dB 不稳定系统不稳定系统 902701800 dB 0)(c0)(cL0)(c2021/3/26125第第5 5章章 控制系统的频域分析控制系统的频域分析 125 g 称为相位穿越频率 满足:0180)(g 增益裕度：开环系统频率特性的相位角为 时，系统开环频率特性幅值的倒数。 0180)(1gAh 即:ReImc)(c-1 1 )(j

57、Ggh1 5.5.2 增益裕度增益裕度2021/3/26126第第5 5章章 控制系统的频域分析控制系统的频域分析 126 增益裕量的物理意义: 对于闭环稳定系统,如果系统的开环增益增大 倍,则系统处于临界稳定状态;如果系统的开环增益增大 倍以上,系统将变成不稳定。 hh2021/3/26127第第5 5章章 控制系统的频域分析控制系统的频域分析 127 -1 1 -1 1 稳定系统不稳定系统2021/3/26128第第5 5章章 控制系统的频域分析控制系统的频域分析 128 -1 1 -1 1 稳定系统不稳定系统2021/3/26129第第5 5章章 控制系统的频域分析控制系统的频域分析 1

58、29 1相位裕量和增益裕量表示开环幅相曲线对点的靠近程度,从而表示系统的相对稳定程度。 2只用增益裕量和相位裕量,都不足以说明系统的相对稳定性。为了确定系统的相对稳定性,必须同时给出这两个量。 关于关于相位裕量相位裕量 和和增益裕量增益裕量 的几点说明的几点说明 )0, 1(jh2021/3/26130第第5 5章章 控制系统的频域分析控制系统的频域分析 130 3 .对于开环稳定的最小相位系统,只有当 和 时,闭环系统才是稳定的。对于稳定的最小相位系统,增益裕量指出了系统在不稳定之前，增益能够增大多少。对于不稳定系统，增益裕量指出了为使系统稳定，增益应当减少多少。 为了得到满意的性能，一般取

59、相位裕量 增益裕量 01h6030dB206GM2021/3/26131第第5 5章章 控制系统的频域分析控制系统的频域分析 131 例例:) 11 . 0)(1()(sssKsG (1) 求K=5时,相位裕量 和增益裕量GM)(c11 . 01)(222KA1 . 0arctanarctan90)(0解解:2021/3/26132第第5 5章章 控制系统的频域分析控制系统的频域分析 132 例例:) 11 . 0)(1()(sssKsG (1) 求K=5时,相位裕量 和增益裕量GM)(c11 . 01)(222KA1 . 0arctanarctan90)(0解解:2021/3/26133第第

60、5 5章章 控制系统的频域分析控制系统的频域分析 133 001801 . 0arctanarctan90)(ggg473. 011 . 01)(222ggggKAdBhGMAhg5 . 6lg20112. 2)(110g2021/3/26134第第5 5章章 控制系统的频域分析控制系统的频域分析 134 05 .11)(c (2) 用频率分析法求出系统处于临界稳定状态时的K值10.5612125.K由增益裕量的物理意义可知: 若开环增益增大h倍,则系统处于临界稳定状态。2021/3/26135第第5 5章章 控制系统的频域分析控制系统的频域分析 135 5.5.3 开环对数频率特性与相对稳定