中考隐形圆问题

1、精选文档2019中考数学复习 隐形圆问题大全定点+定长1 .依据：到定点的距离等于定长的点的集合是以定点为圆心定长为半径的定点定长二四2 .应用：(1)如图，四边形 ABCD中，AB=AC=AD=2 BC=1, AB/ CR 求 BD的长。简析：因 AB=AC=AD=2知B、C、D在以A为圆2为半径的圆上，由 AB/ CD 得 DE=BC=1 易求 BD=/T5o(2)如图，在矩形 ABCD中，AB=4, AD=6, E是AB边的中点，F是线段BC 边上的动点，将 EBF沿EF所在直线折叠得到 EB' F,连接B' D,则B' D的最小值是.简析：E为定点，EB'

2、;为定长，B'点路径为以 E为圆心EB'为半径的圆, 作穿心线DE得最小值为2J10。24(3) A ABC中，AB=4, AC=2,以 BC为边在 A ABC外作正方形 BCDE BD CE 交于点O,则线段AO的最大值为IAfi简析：先确定 A、B点的位置，因 AC=2,所以C点在以A为圆心，2为半径 的圆上；因点 O是点C以点B为中心顺时针旋转 45度并1:，2缩小而得, 所以把圆A旋转45度再1:血缩小即得O点路径。如下图，转化为求定点A到定圆F的最长路径，即 AF+FO=3/2。二定线+定角1 .依据：与一条定线的两端夹角一定的动点路径是以定线为弦, 周角的弧。定角为

3、圆2 .应用：(1)矩形 ABCD中，AB=10, AD=4,点P是CD上的动点, 求DP的长.当 / APB=90° 时简析：AB为定线，/ APB为定角(90 ), P点路径为以 的弧，如下图，易得 DP为2或8。AB为弦(直径)A、B分另I在OX(2)如图，/ XOY = 45° ,等边三角形 ABC的两个顶点OY上移动，AB = 2 ,那么OC的最大值为.简析：AB为定线，/ XOY为定角，。点路径为以 AB为弦所含圆周角为 45的弧，如下图，转化为求定点 C到定圆M的最长路径，即CM+MO=3+1+J2(3)已知 A (2, 0) , B (4, 0)是x轴上的两

4、点，点 C是y轴上的动点, 当/ ACB最大时，则点C的坐标为.简析：作A ABC的处接圆 M,当/ ACB最大时，圆心角/ AMB最大，当圆 M 半径最小时/ AMBS大，即当圆 M与y轴相切时/ ACB最大。如下图，易得C点坐标为(0, 2理)或(0, -2 J2 )(4)如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=axA2-3ax-4a 的图象经过点 C(0, 2),交轴于点 A、B, (A点在点左侧)，顶点为D.求抛物线的解析式及点A、B的坐标；将A ABC沿直线BC对折，点A的对称点为 A',试求A的坐标；抛物线的对称轴上是否存在点P,使/ BPCW BAC?若存在，求出点P的坐标；

5、若不存在，请说明理由.简析：定线 BC对定角/ BPC=Z BAG则P点在以BC为弦的双弧上(关于BC对称)，如下图所示1 .依据：不在同一直线上的三点确定一个圆2 .应用:A ABC中，/ A= 45° , AD)± BC于 D, BD=4, CD=6,求 AD的长。简析：作A ABC的外接圆，如下图，易得 AD=7+5=12。四四点共圆1 .依据：对角互补的四边形四个顶点共圆（或一边所对两个角相等）A*门/R3/RCD 二(3EZBAC =/H»C)2 .应用：如图，在矩形 ABCD, AB=6, AD=8, P、E分别是线段 AG BC上的点，四 边形PEF

6、D为矩形，若 AP=2,求CF的长。简析：因/ PEF=/ PDF=Z DCE=90 ,知 D F、C、E、P共圆，如下图，由 /1 = /2、/4=/5,易得A APDHA DC5 CF: AP= CD AD,彳3 CF= 1.5。A五旋转生圆1 .如图，圆。的半径为5, A、B是圆上任意两点，且 AB=6,以为AB边作正 方形ABCD（点D、P在直线两侧），若 AB边绕点P旋转一周，则 CD边扫过 的面积为 。简析：CD旋转一周扫过的图形可以用两点确定，一是最远点距离为PC,二是最近点距离为 P到直线CD的垂线段，从而确定两个圆，CD即为两圆之间 的圆环，如下图。、二花4cLrrC 二 K

7、H* 二 9jt2 .如图，在 A ABC中，/ BAC=90° , AB=5cm AC=2cm将A ABC绕顶点 顺时针方向旋转至A A'B'C的位置，则线段 AB扫过区域的面积为 一B简析：扫过的阴影部分旋转拼合成如下圆心角为45度的扇环皮B1S- -(aBC2-aAC-)1 25x= "7T：5三8g六动圆综合1 .动圆+定弦：依据直径是圆中最长的弦，知此弦为直径时，圆最小。作如图， ABC 中，/ABO 90 0 , AB =6, BC = 8, O 为 AC 的中点，过0岂OF, OE OF分别交射线 AR BC于E、F, WJ EF的最小值为 简

8、析：图中显然 O E、F、B共圆，圆是动的，但弦 BO 5,当BO为直径时 最小，所以EF最小为5.42 .动圆+定线：相切时为临界值。如图，RtzXABC中，/C= 90° , /ABC= 30° , AB= 6,点 D在 AB边上，点 E是BC边上一点（不与点 B、C重合），且DA= DE,则 AD的取值范围简析：因DA=DE可以D点为圆心以DA为半径作圆，则圆 D与BC相切时， 半径DE最小。E向B点移动半径增大直至 D至ij B处（不含B点），得2< AD<33 .动弦+定角：圆中动弦所对的角一定，则当圆的直径最小时此弦长最小。已知： ABC中，/ B=

9、45° , C C=60° , D、E分别为 AB AC边上的一个动点，过 D分另I作 DF，AC于F, DGL BC于G,过E作EHU AB于H, EI ± BC 于 I ,连 FG HI ,求证：FG与HI的最小值相等。简析：可以看HI何时最小，因B、H、E、I共圆，且弦HI所对圆周角一定,所以当此圆直彳最小时弦HI最小，即当BE最小时，止匕时 BEX AC,解AOH可得HI的最小长度。同样可求 FG的最小长度此题可归纳一般结论：当/ABC=a , / ACB斗，BC=mH, FG和HI的最小值均为 m*sin a *sin 0。达标测试：1.BC = AC=

10、 6, / BCA= 90° , / BDC= 45° , AD= 2,求 BD.2 .如图，将线段AB绕点A逆时针旋转60°得到线段 AC,继续旋转a (0°120° )得到线段 AD,连接CD, BD,则/ BDC的度数为3 .如图，在边长为 2,3的等边 ABC中，动点 D E分别在 BG AC边上, 且保持AE=CD连接BE、AD,相交于点P,则CP的最小值为 .4 .如图，E是正方形 ABCD的边 AB上的一点，过点 E作DE的垂线交/ ABC 的外角平分线于点 F,求证：FE=DE.5 .当你站在博物馆的展厅中时，你知道站在何观赏最

11、理想吗？如图，设墙壁上的展品最高点P距离地面2.5米，最低点 Q距地面2米，观察者的眼睛E距地面1.6米，当视角/ PEQ最大时，站在此处观赏最理想，则此时 E到墙壁的距离为 米.6 .如图直线y=x+2分别与x轴，y轴交于点M N,边长为1的正方形OABC 的一个顶点 O在坐标系原点，直线 AN与MC交于点P,若正方形 OABCgg点 。旋转一周，则点 P到点（0, 1 ）长度的最小值是 .%2016?淮安填压）如图，在 RtABC中，/ 0= 90° , AC= 6, BC=8,点F在边AC上，并且CF = 2,点E为边BC上的动点，将 CEF沿直线EF翻折，点C落在点P处，则点

12、P到边AB距离的最小值是.【分析】如图，延长FP交AB于M,当FPLAB时，点P至ij AB的距离最小，禾U用 AFMABC,得到&1=里求出FM即可解决问题.【解答】解：如图，延长FP交AB于M,当FPXAB时，点P到AB的距离最小.（点P在以F为圆心CF为半径的圆上，当 FP XAB时，点P到AB的距离最小）A -. /A=/A, /AMF = /C=90° ,AFMA ABC,，明=里AB BC,. CF=2, AC = 6, BC=8,加=4' abMc"bc2=10，- 4108 'FM =3.2,PF=CF = 2,PM = 1.2点P到

13、边AB距离的最小值是1.2.故答案为1.2.（2016?无锡填空倒2）如图，已知？OABC的顶点A、C分别在直线x= 1和x= 4上，。是 坐标原点，则对角线 OB长的最小值为 .式产1 x=4【分析】过点B作BD，直线x= 4,交直线x= 4于点D,过点B作BE，x轴，交x轴于 点E,则OB=而淤无产.由于四边形 OABC是平行四边形，所以 OA=BC,又由平 行四边形的性质可推得/ OAF = Z BCD,则可证明 OAF0BCD,所以OE的长固定不 变，当BE最小时，OB取得最小值，从而可求.【解答】解：过点B作BDL直线x= 4,交直线x=4于点D,过点B作BEx轴，交x 轴于点E,直

14、线x=1与OC交于点M,与x轴交于点F,直线x=4与AB交于点N,如 图： 四边形OABC是平行四边形， ./ OAB=/ BCO, OC/AB, OA = BC,;直线 x= 1与直线 x= 4均垂直于 x轴，AM / CN, 四边形ANCM是平行四边形，/ MAN = / NCM , ./ OAF = Z BCD, . / OFA=Z BDC = 90° , ./ FOA=Z DBC,在 OAF和 BCD中，rZF0A=ZDBC: 0A=BC ,/OAF :/BCDOAFA BCD.BD= OF = 1,OE= 4+1 = 5, '-ob=/oe2+be由于OE的长不变，

15、所以当 BE最小时（即B点在x轴上），OB取得最小值，最小值为OB=OE=5.故答案为：5.（2017?南通选压）如图，矩形 ABCD中，AB=10, BC=5,点E, F, G, H分别在矩形ABCD各边上，且 AE=CG, BF = DH ,则四边形 EFGH周长的最小值为（）A. 5蚀jB. 10 指C.D. 15/3【分析】作点E关于BC的对称点E',连接E' G交BC于点F,此时四边形EFGH周长取最小值，过点 G作GG' LAB于点G',由对称结合矩形的性质可知： E' G'=AB=10、GG' = AD = 5,利用勾股定理

16、即可求出 E' G的长度，进而可得出四边形 EFGH周长的最小值.【解答】解：作点E关于BC的对称点E',连接E' G交BC于点F,此时四边形EFGH周长取最小值，过点 G作GG' LAB于点G',如图所示. AE=CG, BE = BE.E' G' =AB=10,.GG，=AD=5,1 Ez G= Je，G，2+GG，= 5M5， C 四边形 EFGH = 2E ' G = 10Vs .(2018?镇江选压)如图，一次函数y=2x与反比例函数 y=k (k>0)的图象交于 A, B两A点，点P在以C (-2, 0)为圆心，

17、1为半径的OC上，Q是AP的中点，已知 OQ长的最大值为则k的值为()2【分析】作辅助线，先确定OQ长的最大时，点P的位置，当BP过圆心C时，BP最长， 设B (t, 2t),则CD=t- (-2) =t+2, BD=- 2t,根据勾股定理计算 t的值，可得k 的值.【解答】解：连接BP,由对称性得：OA=OB,.Q是AP的中点，0T. OQ长的最大值为目，2 .BP长的最大值为Wx2=3,2如图，当BP过圆心C时，BP最长，过B作BD，x轴于D, .CP= 1,BC= 2, - B在直线y=2x上，设 B (t, 2t),则 CD = t- ( 2) = t+2, BD= - 2t,在RtB

18、CD中，由勾股定理得：BC2=CD2+BD2,.22= (t+2) 2+ ( 2t) 2,t=0（舍）或一且54 -旦)丁点B在反比仞函数y= （k>0）的图象上,k=-X (4)=532.25（2018?无锡）如图，已知/ XOY=60°，点 A在边OX上，OA=2.过点 A作AC，0丫于点C,以AC为一边在/ XOY内作等边三角形 ABC,点P是4ABC围成的区域（包括各 边）内的一点，过点 P作PD/OY交OX于点D,作PE/ OX交OY于点E.设OD= a,OE=b,则a+2b的取值范围是 EODP是平行四边形，得【分析】作辅助线，构建 30度的直角三角形，先证明四边形EP=OD = a,在 RtAHEP 中，/ EPH = 30° ,可得 EH 的长，计算 a+2b=2OH,确认OH最大和最小值的位置，可得结论.【解答】解：过P作PHLOY交于点H, PD / OY, PE / OX,，四边形EODP是平行四边形，/ HEP = /XOY=60EP=OD = a,RtAHEP 中，/EPH = 30° ,EH =EP=京-a+2b= 2 (ya+b) = 2 (EH+EO) = 2OH,当P在AC边上时，H与C重合，此时OH的最小值=OC =OA=1即a+2b的最小值是2;当P在点B时，OH的最大