椭圆离心率求法总结材料

1、实用文档椭圆离心率的解法一、运用几何图形中线段的几何意义。基础题目：如图，O为椭圆的中心，F为焦点，A为顶点，准线L交OA于B, P、Q在椭圆I PF| QF| AO |上，PDLL于D,QF，AD于F,设椭圆的离心率为 e,则e二 pDe二 丁而BOT| AF | FO | e=AT®e=标准评：AQP为椭圆上的点，根据椭圆的第二定义得，。a2 | AO | =a, | OF | =c, .有；I AO | =a, | BO | =.有。c题目1：椭圆x|- +*=1(a>b >0)的两焦点为F1、F2 ,以F1F2为边作正三角形，若椭圆 a2 b2恰好平分正三角形的两

2、边，则椭圆的离心率e?思路：A点在椭圆外，找a、b、c的关系应借助椭圆，所以取 AF2的中点B,连接BF1把 已知条件放在椭圆内，构造 F1BF2分析三角形的各边长及关系。解：| F1F2 | =2c | BF1 | =c | BF2 | = 3cc+ 3c=2ax2 y2变形 1：椭圆 Q+bF=1gb >0)的两焦点为F1、F2 ,点P在椭圆上，使 OPF1为正三角形，求椭圆离心率?e= 3 3-1解：连接 PF2，贝U | OF2 | = | OF1 | = | OP |，/F1PF2 =90° 图形如上图,变形2:椭圆x|- +y|-=1(a>b >0)的两

3、焦点为 F1、F2 , AB为椭圆的顶点，P是椭圆上一 a2 b2解：| PF1 | = b2- | F2 F1 | =2caI OB | =b | OA | =aI PF1 I PF2 /AB,.b= a2-c2点，且 PF1 LX轴，PF2 /AB,求椭圆离心率？.,a2=5c2 e=T 5点评：以上题目，构造焦点三角形，通过各边的几何意义及关系，推导有关a与c的 方程式，推导离心率。二、运用正余弦定理解决图形中的三角形题目2：椭圆 =+y2-=1(a>b >0) , A是左顶点，F是右焦点，B是短轴的一个顶点，/a2 b2ABF=90 ° ,求e?解：I AO=a

4、| OF | 二c | BF| =a | AB | 7a2+b2a2+b2+a2=(a+c)2 =a2+2ac+c2a2-c2-ac=0 两边同除以a2e2+e-1=0e=y eT(舍去)变形：椭圆x2a2y2+ b2-=1(a>b >0)，e=1 步,A是左顶点，F是右焦点，B是短轴的一个顶点，求/ ABF?点评：此题是上一题的条件与结论的互换, 案：90°解题中分析各边,由余弦定理解决角的问题。答5-1引申：此类e=七一的椭圆为优美椭圆。性质：1、/ ABF=90°2、假设下端点为B1，则ABFB1四点共圆。3、焦点与相应准线之间的距离等于长半轴长。总结：焦

5、点三角形以外的三角形的处理方法根据几何意义, 公式，列出有关e的方程式。找各边的表示，结合解斜三角形题目3:椭圆x2- +y2-=l(a>b >0),过左焦点 a2b2若 | F1A | =2 | BF1 | ,求 e?F1且倾斜角为60°的直线交椭圆与AB两点,解：设 | BF1 | 二m贝U | AF2 | =2a-am |在AFIF2及ABFIF2中，由余弦定理得:BF2 | =2a-m a2 c2=m(2a-c) 2(a2-c2)=m(2a+c):2a-c 1两式相除左=22e=3x2题目4：椭圆a2y2+ b2-=1（a>b >0）的两焦点为F1 (

6、-c, 0)、F2 (c,0), P 是以 | F1F2| 为直径的圆与椭圆的一个交点，且ZPF1F2 =5 Z PF2F1 ，求 e?分析：此题有角的值，可以考虑正弦定理的应用。解：由正弦定理:| F1F2|I F1P II PF2Isin F1PF2 sin F1F2Psin PF1F2根据和比性质:I F1F2| _| F1P| + | PF2 |sin F1PF2 = sinF1F2P+sin PF1F2变形得:| F1F2 |sin F1PF2| PF2 | + | F1P | =sin F1F2P +sin PF1F22c=2a=eZPF1F2 =75 ° /PF2F1

7、=15e=sin90 °sin75 +sin15点评：在焦点三角形中，使用第一定义和正弦定理可知sin F1PF2e= sin F1F2P +sin PF1F2变形1：椭圆x|- +y|-=1(a>b >0)的两焦点为F1 (-c, 0)、F2 (c,0), P是椭圆上一点，且 a2 b2/ F1PF2 =60° ,求e的取值范围？分析：上题公式直接应用。解：设/ F1F2P=,则/F2F1P=120°- asin F1PF2sin60 °e=：e sin F1F2P +sin PF1F2sin a+sin(120 - *111e<1

8、2sin( a+30 ) 22 ex2变形2:已知椭圆了+y2布 =1 (t>0) F1F2 为椭圆两焦点,M为椭圆上任意一点M不与长轴两端点重合)设/ PF1F2 = a,z PF2F1 = 3若;<tan < tan J<3,求e的取值范围? 322 2分析：运用三角函数的公式，把正弦化正切。解;根据上题结论a+ 3«+ 3sin F1PF2sin( a+ 3)2sin 2 cos 2e= 7_ ；_= _；1="1sin F1F2P +sin PF1F2 sin a+sin Ba+ Ba- B2sin 2-cos a 3 a 3cos -cos

9、 -sin -sin -2a3a3cos cos +sin-sina31- tan万tan=ea Be1- tan -tan -1 1-e11113< 1+e <23<e< 2以直线与椭圆的位置关系为背景，用设而不求的方法找e所符合的关系式x2 y2题目5：椭圆ar +br=1(a>b >0)，斜率为1，且过椭圆右焦点f直线交椭圆于a、b两. 一 二it-点，OA+OB与a=(3,-1)共线,求e?法一：设 A(x1,y1) ,B(x2,y2)b2x2+a2y2=a2b2 y=x-c(a2+b2)x2-2a2cx+a2c2-a2b2=0x1+x2= 2a2c

10、y1+y2= 2a2c -2c=a2+b2a2+b2-2b2ca2+b2OA+ OB=(x1+x2,y1+y2)与(3 , -1 )共线，贝U-(x1+x2) =3(y1+y2)既 a2=3b2,6 e=T一、一一，.一 7>一法二：设AB的中点N,则2ON = OA+OBx12 y12a2 + b2x22 y22a2 + b2 =1-得:y1-y2 b2 x1 +x2b2x1-x2 = a2 y1+y2'- 1=- 3(-3)既 a2=3b2四、由图形中暗含的不等关系，求离心率的取值范围。题目6:椭圆全 +g=1(a>b >0)的两焦点为F1 (-c, 0)、F2

11、(c,0),满足前1前2 =0的 a2 b2点M总在椭圆内部，则 e的取值范围？分析：: IMF1 IMF2 =0 .以F1F2为直径作圆，M在圆。上，与椭圆没有交点。解：c<ba2=b2+c2 >2c2,0”题目7：椭圆 * +y|-=1(a>b >0)的两焦点为 F1 (-c, 0)、F2 (c,0), P为右准线L上一点, a2 b2F1P的垂直平分线恰过 F2点，求e的取值范围？解法一:F1b2既后f)前2 =-(分析：思路1,如图F1P与F2M垂直，根据向量垂直，找思路2：根据图形中的边长之间的不等关系，求 ea2 (-c, 0)F2 (c,0) P(-,y0

12、 )c一 a2则 PF1 =-( +c, y0 )a、b、c的不等关系。b22c -c,y0-2-)PF1 MF2 =0a2T-c cm(Ty")(a2+c, y0 )cb2 y0( 2T-C，T)=0(a2+c) (cb2y022T-c)+ ”a2-3c2 < 0手e<1解法2:I F1F2 1 = 1 PF2 1PF2 I > a2-c c=2c贝U 2cA-cca2 3ccx;33c2 > a2设椭圆贝 l+we<i3的左、右焦点分别为Fi、F2，如果椭圆上存在点P,使,求离心率e的取值范围。解法1 ：利用曲线范围设P (x, y),又知，则将这个

13、方程与椭圆方程联立，消去y,可解得解法2 :利用二次方程有实根由椭圆定义知解法3:利用三角函数有界性记解法4:利用焦半径 由焦半径公式得解法5:利用基本不等式由椭圆定义，有平方后得解法6:巧用图形的几何特性由，知点P在以为直径的圆上。又点P在椭圆上，因此该圆与椭圆有公共点P故有离心率的五种求法椭圆的离心率0 e 1,双曲线的离心率 e 1,抛物线的离心率 e 1. 一、直接求出a、c,求解e 已知圆锥曲线的标准方程或 a、c易求时，可利用率心率公式 e c来解决。a例1 :已知双曲线0）的一条准线与抛物线6x的准线重合，则该双曲线的离心率为A ，3A.26C.2D.2.3解：抛物线6x的准线是

14、x33 ,即双曲线的右准线22,则2c2 3c2 0,解得 c 2, aF2 3,0 ,则其离心率为（变式练习1 ：若椭圆经过原点，且焦点为F1 1,03A.4B.解：由 Fi 1,0、F2 3,0 知 2c1C.2.c 1,又椭圆过原点，.a c1,1D.4a c 3,a 2, c 1 ,所以离心率ea变式练习2:如果双曲线的实半轴长为1 一，.故选C.22,焦距为6,那么双曲线的离心率为(解：由题设a 26B.2变式练习3:点P (-3,1)在椭圆2幺1 b2(a b 0)的左准线上，过点P且方向2, 5的光线，经直线y2反射后通过椭圆的左焦点，则这个椭圆的离心率为A3 八.2-，因此选C

15、2、 3.2C2解:由题意知，入射光线为2的反射光线(对称关系)为5x2a2y 5 0,则"c"5c解得1.已知椭圆的长轴长是短轴长的2倍，则椭圆的离心率等于2.已知椭圆两条准线间的距离是焦距的2倍，则其离心率为.32223.若椭圆经过原点，且焦点为1Fi(1,0), F2(3,0)，则椭圆的离心率为 一24.已知矩形 ABCD, AB= 4,， r ,，一，1BC= 3,则以A、B为焦点，且过C、D两点的椭圆的离心率为 一2225.若椭圆xy -yy 1,(a b 0)短轴端点为 p满足pfiPF2,则椭圆的离心率为a b、2e 。212. 一 x2y2二6.已知一 一1

16、(m 0.n 0)则当mn取得取小值时，椭圆一- - 1的的离心率为 一 m nm n2.x27.椭圆 aMN <2F1F2 ,则该椭圆离心率的取值范围是当 PFFiA,yr 1(a b 0)的焦点为Fi, F2,两条准线与x轴的交点分别为 b8.已知R为椭圆的左焦点，A、B分别为椭圆的右顶点和上顶点， P为椭圆上的点,2PO / AB (O为椭圆中心)时，椭圆的离心率为e 。222一，一 x v9 .P是椭圆 + =1 (a>b>0)上一点，Fi、F2周侗的左右焦点，已知PFE , PEE 2 , a bF1PF2 3，椭圆的离心率为e U3 110 .已知Fi、F2是椭圆

17、的两个焦点，P是椭圆上一点，若 PF1F2 15 , PF2F1 75,则，. 6椭圆的离心率为311 .在给定椭圆中，过焦点且垂直于长轴的弦长为22 ,焦点到相应准线的距离为1,则该椭圆的离心率为222x v12 .设椭圆 =1 (a>b>0)的右焦点为 R,右准线为11,若过F1且垂直于x轴的弦a b1的长等于点F1到|1的距离，则椭圆的离心率是 一。213.椭圆2V b21 (a>b>0 )的两顶点为 A (a,0) B(0,b),若右焦点F到直线AB的距离等1于| AF I ,则椭圆的离心率是2.632, 一 x14 .椭圆a2 1 (a>b>0)的

18、四个顶点为b2A、B、C、D,若四边形ABCD的内切圆恰好过焦点，则椭圆的离心率是.5 115 .已知直线L过椭圆2x2a2V b21 (a>b>0 )的顶点A (a,0)、B(0,b),如果坐标原点到直线La 的距离为a,则椭圆的离心率是2.632x16 .在平面直角坐标系中，椭圆 a2工1(b21(b 0)的焦距为2,以。为圆心，a为半径2作圆，过点 ,0作圆的两切线互相垂直，则离心率 c二、构造a、c的齐次式，解出e根据题设条件，借助 a、b、c之间的关系，构造 a、c的关系（特别是齐二次式），进而得到关于e的一元方程，从而解得离心率e。22例2：已知F1、52是双曲线 二、

19、1 （a 0,b 0）的两焦点，以线段 F1F2为边作a2 b2正三角形MF1F2 ,若边MF1的中点在双曲线上，则双曲线的离心率是（）A. 4 2,3 B. 3 1 C.D. . 3 12c 解：如图，设MF1的中点为P,则P的横坐标为一，由焦半径公式2PFi|exp a,2cccc即ca ,得上2-2 0,解得a2aa变式练习12x:设双曲线ab21（0 a b）的半焦距为c,直线L过a,0 , 0,b两点.已知原点到直线的距离为则双曲线的离心率为（A. 2B. . 3C. ， 223D.e c 16（1 V3舍去），故选D a解：由已知，直线L的方程为bx ay ab 0 ,由点到直线的

20、距离公式，得aba22又 c2 a2 b2,4ab J3c2,两边平方，得 16a2 c2 a2 3c4 ,整理得423e4 16e2 16 0,得 e24或e24,又 0 a b , . e23e 2,故选 A2c2ab2b22,变式练习2：双曲线虚轴的一个端点为M ,两个焦点为F1、F2,F1MF2120°,则双曲线的离心率为（）解：如图所示，不妨设 M 0,b , Fic,0 , F2 c,0 ,则MF1MF2 Jc2 b2 ,又 F1F2 2c,在'MF2中,由余弦定理，得cos F1MF22|MF1| |MF2|1c2 b2c2 b2 4c2b2 c2122 c2

21、b2，. b2 c222,222ab c a ,2c2 a21.已知椭圆的焦距、短轴长、长轴长成等差数列，则椭圆的离心率是2.以椭圆的右焦点F2为圆心作圆，使该圆过椭圆的中心并且与椭圆交于35M、N两点，椭圆J3a22c2 , . e2；e 与，故选 B的左焦点为Fi,直线MFi与圆相切，则椭圆的离心率是 & 13 .以椭圆的一个焦点 F为圆心作一个圆，使该圆过椭圆的中心。并且与椭圆交于 M、N两点，如果I MF I = I MO I ,则椭圆的离心率是 J3 14 .设椭圆的两个焦点分别为F、F2,过F2作椭圆长轴的垂线交椭圆于点P,若RPFa为等腰直角三角形，则椭圆的离心率是2 1

22、5 .已知F1、F2是椭圆的两个焦点，过 F且与椭圆长轴垂直的直线交椭圆于A、B两点，若3 ABF2是正三角形，则这个椭圆的离心率是3226.设FF2分别是椭圆.4 1 a b 0的左、右焦点，P是其右准线上纵坐标为 a bJ3c (c为半焦距)的点，且 F1F2|F2P ,则椭圆的离心率是三、采用离心率的定义以及椭圆的定义求解若 F1PF2例3:设椭圆的两个焦点分别为F1、F2 ,过F2作椭圆长轴的垂线交椭圆于点 为等腰直角三角形，则椭圆的离心率是 2c2 2c 2cc 2c 2c的 e a 2a PF1PF2四、根据圆锥曲线的统一定义求解22例4:设椭圆 与4 1 ( a 0,b 0)的右

23、焦点为F1,右准线为11 ,若过F1 a b且垂直于x轴的弦的长等于点 F1到11的距离，则椭圆的离心率是 .解：如图所示， AB是过F1且垂直于x轴的弦, AD 11于D , AD为F1到准线11的距离，根据椭圆的第二定义,AF12AB变式练习：在给定椭圆中,ADAD过焦点且垂直于长轴的弦长为J2,焦点到相应准线的距离为1,则该椭圆的离心率为()21A . 2B2C -解：eAF2AD|五、寻找特殊图形中的不等关系或解三角形。uuuu umur1.已知F1、F2是椭圆的两个焦点，满足 MF1 MF20的点M总在椭圆内部，则椭圆离心率的取值范围是(0,)22 .已知F1、F2是椭圆的两个焦点,

24、/士由2取值范围为,12P是椭圆上一点，且F1PF2 90 ,椭圆离心率e的3 .已知F1、F2是椭圆的两个焦点,11取值范围为 一,12P是椭圆上一点，且F1PF260 ,椭圆离心率e的2x4 .设椭圆a2yy 1 (a>b>0 )的两焦点为F、F2,若椭圆上存在一点 bQ,使/ FiQF2=120o,椭圆离心率e的取值范围为6 e 135 .在 ABC 中,ABBCcosB工.若以A B为焦点的椭圆经过点 C ,则该椭 18圆的离心率e6.设F1, F2分别是椭圆2yT 1 (a b 0)的左、右焦点，若在其右准线上存在P,b2使线段PF1的中垂线过点F2,则椭圆离心率的取值范

25、围是,13配套练习2 x1 .设双曲线 a2 y -2r 1 (a 0,b 0)的离心率为J3 ,且它的一条准线与抛物线b24x的准线重合,则此双曲线的方程为(A.122匕1242 x B.482L 1962 x C. 3D.2 .已知椭圆的长轴长是短轴长的2倍，则椭圆的离心率等于B.2.333 .已知双曲线y b21的一条渐近线方程为4_3 ，则双曲线的离心率为4 .在给定椭圆中，过焦点且垂直于长轴的弦长为7r2 ,焦点到相应准线的距离为1,则该椭圆的离心率为A . 2.2 B2.2 D 45 .在给定双曲线中，过焦点垂直于实轴的弦长为J2,焦点到相应准线的距离为双曲线的离心率为(D 2、2

26、6.如图，F1和F2分别是双曲线2x2a2L 1 b2(a 0,b 0)的两个焦点，A和B是以OF2AB是等边三角形,为圆心，以OF1为半径的圆与该双曲线左支的两个交点，且则双曲线的离心率为()B .5.5 C2D .3 12x7.设Fp F2分别是椭圆 a2 y_ 声0）的左、右焦点， P是其右准线上纵坐标为J3c （ c为半焦距）的点，且讦2F2 P ,则椭圆的离心率是（.3 1A 2.5 1C 22D28.设Fi、F2分别是双曲线2 匕 b21的左、右焦点，若双曲线上存在点A,使F1AF2且AFi3AF2,则双曲线离心率为（Af,10B 2.15C29.已知双曲线2 y b2(a 0,b0）的右焦点为F ,若过点F且倾斜角为600的直线与双曲线的右支有且只有一个交点,则此双曲线离心率的取值范围是A 1,2B 1,2C 2,2,2, 一 x10.椭圆a2 y b2b 0）的焦点为F1、F2,两条准