第6章地球椭球与椭球计算理论

1、 西南石油大学建筑工程学院西南石油大学建筑工程学院第六章第六章 地球椭球与椭球计算理论地球椭球与椭球计算理论控控 制制 测测 量量 学学 西南石油大学建筑工程学院西南石油大学建筑工程学院1地球椭球的定义及其几何意义； 2常用测量坐标系统的建立及其在控制测量中的应用； 3各种测量坐标系统之间的相互转换； 4椭球面上几种曲率、弧长、大地线的计算； 5地面测量值（水平方向和边长）归算到椭球面的方法。知识点及学习要求难点在对本章的学习中，有大量的公式推导与应用。各种常用测量坐标系统的建立与相互转换；几种常用的椭球计算公式；地面观测值归算到椭球面的方法与计算。 西南石油大学建筑工程学院西南石油大学建筑工

2、程学院 6.1 6.1 地球椭球的基本几何参数及其相互关系地球椭球的基本几何参数及其相互关系1. 1. 地球椭球的基本几何参数地球椭球的基本几何参数地球椭球地球椭球：在控制测量中，用来代表地球的椭球，它：在控制测量中，用来代表地球的椭球，它是地球的数学模型。是地球的数学模型。 参考椭球参考椭球：具有一定几何参数、定位及定向的用以代：具有一定几何参数、定位及定向的用以代表某一地区大地水准面的地球椭球。表某一地区大地水准面的地球椭球。地球椭球的几何定义：地球椭球的几何定义：O是椭球中心，是椭球中心，为旋转轴，为旋转轴，a 为长半轴，为长半轴，b 为短半轴。为短半轴。子午圈：包含旋转轴的平面与椭子午

3、圈：包含旋转轴的平面与椭球面相截所得的椭圆。球面相截所得的椭圆。平行圈：垂直于旋转轴的平面与平行圈：垂直于旋转轴的平面与椭球面相截所得的圆。椭球面相截所得的圆。赤道：通过椭球中心的平行圈赤道：通过椭球中心的平行圈 地球椭球地球椭球意义：地面上一切观测元素都应归算到参考椭球面上，意义：地面上一切观测元素都应归算到参考椭球面上，并在这个面上进行计算。参考椭球面是大地测量计算的并在这个面上进行计算。参考椭球面是大地测量计算的基准面，又是研究地球形状和地图投影的参考面。基准面，又是研究地球形状和地图投影的参考面。 西南石油大学建筑工程学院西南石油大学建筑工程学院地球椭球的五个基本几何参数：地球椭球的五

4、个基本几何参数： 椭圆的长半轴椭圆的长半轴 椭圆的短半轴椭圆的短半轴 b b 椭圆的扁率椭圆的扁率 椭圆的第一偏心率椭圆的第一偏心率 aba abae22椭圆的第二偏心率椭圆的第二偏心率 bbae22两个常用的辅助函数，两个常用的辅助函数， 第一基本纬度函数，第一基本纬度函数， 第二第二基本纬度函数：基本纬度函数：BeVBeW2222cos1sin1WaV长度元素；长度元素；扁率扁率M M反映了椭球体的扁反映了椭球体的扁平程度平程度是子午椭圆的焦点离开中心的距离与椭圆半径之比，是子午椭圆的焦点离开中心的距离与椭圆半径之比，它们也反映椭球体的扁平程度偏心率愈大椭球它们也反映椭球体的扁平程度偏心率

5、愈大椭球愈扁，其数值恒小于愈扁，其数值恒小于1 1。 西南石油大学建筑工程学院西南石油大学建筑工程学院思考：地球椭球的几何参数如何得到？思考：地球椭球的几何参数如何得到？ A、传统大地测量利用天文大地测量和重力测量资料椎求地球椭球的几何参数。 已推求的地球椭球如：贝塞尔椭球1841；克拉克椭球1866；海福特椭球(1910年)和克拉索夫斯基椭球(1940年)等. B、空间大地测量学的兴起和发展，为研究地球形状和引力场开辟了新途径。 已推求如：1975国际椭球参数等； 西南石油大学建筑工程学院西南石油大学建筑工程学院我国建立我国建立19541954年北京坐标系应用的是克拉索夫斯基椭球；年北京坐标

6、系应用的是克拉索夫斯基椭球；建立建立19801980年国家大地坐标系应用的是年国家大地坐标系应用的是19751975年国际椭球；年国际椭球；而全球定位系统而全球定位系统(GPS)(GPS)应用的是应用的是WGS-84WGS-84系椭球参数。系椭球参数。 几种常见的椭球体参数值几种常见的椭球体参数值克拉索夫斯基椭球体克拉索夫斯基椭球体19751975年国际椭球体年国际椭球体WGS-84WGS-84椭球体椭球体6378245.0000000000(m)6356863.0187730473(m)6399698.9017827110(m)1298.30.006 693 421 622 9660.006

7、 738 525 414 6836378140.000000000（m） 6356755.288157528（m）6399596.6519880105（m）1298.2570.006 694 384 999 5880.006 739 501 819 4736378137.0000000000 (m)6356752.3142（m）6399593.6258（m）1/298.257 223 5630.006 694 379 901 30.006 739 496 742 27abc2e2e 西南石油大学建筑工程学院西南石油大学建筑工程学院 2. 2. 地球椭球参数间的相互关系地球椭球参数间的相互关系根

8、据定义式，可得第一、二偏心率之间的关系：根据定义式，可得第一、二偏心率之间的关系： 西南石油大学建筑工程学院西南石油大学建筑工程学院其他元素之间的关系式如下：其他元素之间的关系式如下：221,11,11,11,12222222222eeVWeWVeeeeeeecaeaceabeba 西南石油大学建筑工程学院西南石油大学建筑工程学院 22222222222)1 (1)1 (sin111WeVVeBeWWbaWeVVabVeW式中，式中，W W 第一基本纬度函数，第一基本纬度函数，V V 第二基本纬度函数。第二基本纬度函数。 西南石油大学建筑工程学院西南石油大学建筑工程学院n为了表示椭球面上点的位

9、置，必须建立相应的坐标系。下面将要学习的几种坐标系，都可惟一地确定空间任意点的位置，并且这些位置坐标之间可以按给出的相应公式直接进行精确 的相互换算，因为它们的椭球大小及其相对地球表面的相对位置都是确定不变的。 6.2 6.2 椭球面上的常用坐标系及其相互关系椭球面上的常用坐标系及其相互关系 西南石油大学建筑工程学院西南石油大学建筑工程学院 6.2 6.2 椭球面上的常用坐标系及其相互关系椭球面上的常用坐标系及其相互关系1 .1 .大地坐标系大地坐标系 p 点的子午面点的子午面NPS 与起始与起始子午面子午面 NGS 所构成的二面角所构成的二面角L，叫做，叫做p 点的大地经度，由点的大地经度，

10、由起始子午面起算，向东为正，起始子午面起算，向东为正，叫东经（叫东经（0 0180180），向西），向西为负，叫西经（为负，叫西经（0 0180180）。）。P 点的法线点的法线 与赤道面的夹与赤道面的夹角角B，叫做，叫做P P点的大地纬度。由点的大地纬度。由赤道面起算，向北为正，叫北赤道面起算，向北为正，叫北纬（纬（0 09090）；向南为负，）；向南为负，叫南纬叫南纬(0(09090) )。nP以大地纬度、大地经度、大地高来表示地面点位置的坐标系 西南石油大学建筑工程学院西南石油大学建筑工程学院n 大地坐标系是大地测量的基本坐标系，具有如下的优n点：n (1)它是整个椭球体上统一的坐标系，

11、是全世界公用的最方便的坐标系统。经纬线是地形图的基本线，所以在测图及制图中应用这种坐标系。n (2)它与同一点的天文坐标(天文经纬度)比较，可以确定该点的垂线偏差的大小。n 大地坐标系对于大地测量计算、地球形状研究和地图编制等都很有用 西南石油大学建筑工程学院西南石油大学建筑工程学院2. 2. 空间直角坐标系空间直角坐标系 以椭球体中心以椭球体中心O 为原点，起始为原点，起始子午面与赤道面交线子午面与赤道面交线x 为轴，在赤为轴，在赤道面上与道面上与X 轴正交的方向为轴正交的方向为Y 轴，轴，椭球体的旋转轴为椭球体的旋转轴为Z 轴，构成右手轴，构成右手坐标系坐标系OXYZ，在该坐标系中，在该坐

12、标系中，p点的位置用点的位置用X,Y,Z表示。表示。 地球空间直角坐标系的坐标原地球空间直角坐标系的坐标原点位于地球质心（地心坐标系）或点位于地球质心（地心坐标系）或参考椭球中心（参心坐标系），参考椭球中心（参心坐标系），Z 轴指向地球北极，轴指向地球北极，x 轴指向起始子轴指向起始子午面与地球赤道的交点，午面与地球赤道的交点，y 轴垂直轴垂直于于XOZ 面并构成右手坐标系。面并构成右手坐标系。 西南石油大学建筑工程学院西南石油大学建筑工程学院3 . 3 . 子午面直角坐标系子午面直角坐标系 设点设点 p 的大地经度为的大地经度为L，在过在过p点的子午面上，以子午点的子午面上，以子午圈椭圆中心

13、为原点，建立圈椭圆中心为原点，建立x,y 平面直角坐标系。在该坐标平面直角坐标系。在该坐标系中，系中，p 点的位置用点的位置用L,x,y 表表示。示。 西南石油大学建筑工程学院西南石油大学建筑工程学院4 4 . . 大地极坐标系大地极坐标系 M 为椭球体面上任意一点，为椭球体面上任意一点，MN 为过为过M 点的子午点的子午线，线，S 为连结为连结MPMP的大地线长，的大地线长，A 为大地线在为大地线在M 点的方点的方位角。以位角。以M 为极点，为极点，MN 为极轴，为极轴，S 为极半径，为极半径，A为为极角，这样就构成大地极坐标系。在该坐标系中极角，这样就构成大地极坐标系。在该坐标系中p 点点

14、的位置用的位置用S,A 表示。表示。 椭球面上点的极坐标（椭球面上点的极坐标（S,A）与大地坐标与大地坐标( (L,B）可以互相换）可以互相换算，这种换算叫做算，这种换算叫做大地主题解大地主题解算算。 西南石油大学建筑工程学院西南石油大学建筑工程学院n椭球面上的点位可在各种坐标系中表示，由于所用坐标系不同，表现出来的坐标值也不同。n既然各种坐标系均可用来表示同一点的位置，那么它们之间必然存在着内部联系。因此，必须寻找出各坐标系的内在联系和规律，从面解决各种坐标系的变换问题，为以后的某些理论推导作必要的准备。5.5. 各坐标系间的关系各坐标系间的关系 西南石油大学建筑工程学院西南石油大学建筑工程

15、学院1 1）子午面直角坐标系同大地坐标系的关系）子午面直角坐标系同大地坐标系的关系 在这两个坐标系中，在这两个坐标系中，L L是相同的，因此，问题在于推求是相同的，因此，问题在于推求x x，y y同同B B的关的关系系. .过过p p 点作法线点作法线 ，它与，它与x 轴之夹角为轴之夹角为B，过点作子午圈的切线，过点作子午圈的切线TP，它与它与x 轴的夹角为（轴的夹角为（9090+ +B）。子午面直角坐标）。子午面直角坐标x,y 同大地纬度同大地纬度B 的关系式如下：的关系式如下： nPWBaBeBaxcossin1cos22VBbBeWaBeBeaysinsin)1 (sin1sin)1 (

16、2222 西南石油大学建筑工程学院西南石油大学建筑工程学院2 2）空间直角坐标系同子午面直角坐标系的关系）空间直角坐标系同子午面直角坐标系的关系 空间直角坐标系中的空间直角坐标系中的 相当于子午平面直角相当于子午平面直角坐标系中的坐标系中的y y，前者的，前者的 相当于后者的相当于后者的x x，并且，并且二者的经度二者的经度L L相同。相同。 PP22OPyZLxYLxXsincos 西南石油大学建筑工程学院西南石油大学建筑工程学院3 3）空间直角坐标系同大地坐标系的关系）空间直角坐标系同大地坐标系的关系 同一地面点在地球空间直角坐标系中的坐标和在大地坐标系中的同一地面点在地球空间直角坐标系中

17、的坐标和在大地坐标系中的坐标可用如下两组公式转换坐标可用如下两组公式转换 BHeNzLBHNyLBHNxsin1sincoscoscos222221sinsinarctanarctaneNBzHyxBNezBxyL式中：式中：e子午椭圆第一偏心率，可由长短半径按式子午椭圆第一偏心率，可由长短半径按式 算得。算得。2222abae/N法线长度，可由式法线长度，可由式 算得。算得。BeaN221sin/ 西南石油大学建筑工程学院西南石油大学建筑工程学院n为了在椭球面上进行控制测量计算，就必须了解椭球面上有关曲线的性质。n过椭球面上任意一点可作一条垂直于椭球面的法线，包含这条法线的平面叫做法截面.法

18、截面同椭球面交线叫做法截线(或法截弧)。可见，要研究椭球面上曲线的性质，就要研究法截线的性质，而法截线的曲率半径便是一个基本内容。6.3 6.3 几种主要的椭球公式几种主要的椭球公式 西南石油大学建筑工程学院西南石油大学建筑工程学院6.3 6.3 几种主要的椭球公式几种主要的椭球公式1. 1. 子午圈曲率半径子午圈曲率半径子午椭圆的一部分上取一微分弧长，相子午椭圆的一部分上取一微分弧长，相应地有坐标增量，点应地有坐标增量，点n n是微分弧是微分弧 的曲率中心，的曲率中心，于是线段于是线段 及及 便是子午圈曲率半径便是子午圈曲率半径 M M。dsDK dxdSDnKn任意平面曲线的曲率半径任意平

19、面曲线的曲率半径的定义公式为：的定义公式为：dBdSM 西南石油大学建筑工程学院西南石油大学建筑工程学院子午圈曲率半径公式为：子午圈曲率半径公式为：32)1 (WeaM或或 3VcM2VNM 与纬度有关它随的增大而增大，变化规律如下与纬度有关它随的增大而增大，变化规律如下表所示：表所示：说说 明明 在赤道上，小于赤道半径在赤道上，小于赤道半径此间随纬度的增大而增大此间随纬度的增大而增大在极点上在极点上, , 等于极点曲率等于极点曲率半径半径 B0B900 B90BM3220)1 ()1 (eceaMcMea)1 (2ceaM2901 西南石油大学建筑工程学院西南石油大学建筑工程学院2.2.卯酉

20、圈曲率半径卯酉圈曲率半径过椭球面上一点的过椭球面上一点的法线，可作无限个法截法线，可作无限个法截面，其中一个与该点子面，其中一个与该点子午面相垂直的法截面同午面相垂直的法截面同椭球面相截形成的闭合椭球面相截形成的闭合的圈称为的圈称为卯酉圈卯酉圈。在图。在图中中 即为过即为过点的点的卯酉圈。卯酉圈的曲率卯酉圈。卯酉圈的曲率半径用半径用表示。表示。EPE 卯酉圈曲率半径可用下列两式表示：卯酉圈曲率半径可用下列两式表示： WaNVcN 西南石油大学建筑工程学院西南石油大学建筑工程学院nN与B有关，且随B的增大而增大。其变化规律如下： 西南石油大学建筑工程学院西南石油大学建筑工程学院3.3.任意法截弧

21、的曲率半径任意法截弧的曲率半径子午法截弧是南北方向，其方位子午法截弧是南北方向，其方位角为角为0或或180。卯酉法截弧是东西。卯酉法截弧是东西方向，其方位角为方向，其方位角为90或或270。现在。现在来讨论方位角为来讨论方位角为的任意法截弧的曲的任意法截弧的曲率半径的计算公式。率半径的计算公式。 任意方向任意方向的法截弧的曲率半径的法截弧的曲率半径的计算公式如下：的计算公式如下： ARABeNANRA22222coscos1cos1 西南石油大学建筑工程学院西南石油大学建筑工程学院4.4. 平均曲率半径平均曲率半径 在实际际工程应用中，根据测量工作的精度要求，在实际际工程应用中，根据测量工作的

22、精度要求，在一定范围内，把椭球面当成具有适当半径的球面。在一定范围内，把椭球面当成具有适当半径的球面。取过地面某点的所有方向取过地面某点的所有方向 的平均值来作为这个球体的平均值来作为这个球体的半径是合适的。这个球面的半径的半径是合适的。这个球面的半径平均曲率半径平均曲率半径R R： ARMNR )1 (2222eWaVNVcWbR或或因此，椭球面上任意一点的平均曲率半径因此，椭球面上任意一点的平均曲率半径等于等于该点子午圈曲率半径该点子午圈曲率半径和卯酉圈曲率半径和卯酉圈曲率半径的几何平的几何平均值。均值。 西南石油大学建筑工程学院西南石油大学建筑工程学院 西南石油大学建筑工程学院西南石油大

23、学建筑工程学院5. 5. 子午线弧长计算公式子午线弧长计算公式如下图所示，取子午线上某微分弧，令如下图所示，取子午线上某微分弧，令点纬度点纬度为为，点纬度为，点纬度为，点的子午圈曲率半径为点的子午圈曲率半径为，于是，于是有：有： dxPPPdBB MdBdx 从赤道开始到任意纬度从赤道开始到任意纬度的平行圈的平行圈之间的弧长可由下列积分求出：之间的弧长可由下列积分求出：BMdBX0式中子午线曲率半径式中子午线曲率半径M可用下式表达：可用下式表达：BaBaBaBaaM8cos6cos4cos2cos86420 西南石油大学建筑工程学院西南石油大学建筑工程学院1281632327163816732

24、15221283516583288866864486422864200mammammmammmmammmmma其中：其中：经积分，进行整理后得子午线弧长计算式：经积分，进行整理后得子午线弧长计算式：BaBaBaBaBaX8sin86sin64sin42sin286420为求子午线上两个纬度及间的弧长，只需按上式分别算为求子午线上两个纬度及间的弧长，只需按上式分别算出相应的出相应的 及及 ，而后取差：，该即为所求，而后取差：，该即为所求的弧长。的弧长。2B1X2X1B12XXXX 西南石油大学建筑工程学院西南石油大学建筑工程学院克拉索夫斯基椭球子午线弧长计算公式：克拉索夫斯基椭球子午线弧长计算公

25、式： BBBBX6sin022. 04sin828.162sin480.16036861.111134BBBBBBBXcossin697. 0cossin929.133cossin780.32005861.111134531975年国际椭球子午线弧长计算公式：年国际椭球子午线弧长计算公式：BBBBX6sin022. 04sin833.162sin528.16038005.111133BBBBBBBXcossin698. 0cossin960.133cossin858.32009005.11113353 西南石油大学建筑工程学院西南石油大学建筑工程学院6.6. 底点纬度计算底点纬度计算在高斯投影

26、反算时，已知高斯平面直角坐标（在高斯投影反算时，已知高斯平面直角坐标（X，Y）反求其）反求其大地坐标（大地坐标（L，B）。首先）。首先X当作中央子午线上弧长，反求其纬度，当作中央子午线上弧长，反求其纬度，此时的纬度称为底点纬度或垂直纬度。计算底点纬度的公式可以此时的纬度称为底点纬度或垂直纬度。计算底点纬度的公式可以采用迭代解法和直接解法。采用迭代解法和直接解法。 （1）迭代法）迭代法在克拉索夫斯基椭球上计算时，迭代开始时设在克拉索夫斯基椭球上计算时，迭代开始时设8611.111134/1XBf以后每次迭代按下式计算：以后每次迭代按下式计算：8611.111134/)(1ififBFXBifif

27、ififBBBBF6sin0220. 04sin8281.162sin4803.16036)(重复迭代直至重复迭代直至 为止。为止。ififBB1 西南石油大学建筑工程学院西南石油大学建筑工程学院（2）直接解法）直接解法1975年国际椭球：年国际椭球：133.6367452/Xcossin10coscos)cos222383(2936975022897610222BBf克拉索夫斯基椭球：克拉索夫斯基椭球：4969.6367588/Xcoscos)cos222350(29362250221746222fB 西南石油大学建筑工程学院西南石油大学建筑工程学院7.7.大地线大地线假如在椭球模型表面假如

28、在椭球模型表面,两点之间，两点之间，画出相对法截线如图所示，然后在画出相对法截线如图所示，然后在,两两点上各插定一个大头针，并紧贴着椭球面点上各插定一个大头针，并紧贴着椭球面在大头针中间拉紧一条细橡皮筋，并设橡在大头针中间拉紧一条细橡皮筋，并设橡皮筋和椭球面之间没有摩擦力，则橡皮筋皮筋和椭球面之间没有摩擦力，则橡皮筋形成一条曲线，恰好位于相对法截线之间，形成一条曲线，恰好位于相对法截线之间，这就是一条大地线。由于橡皮筋处于拉力这就是一条大地线。由于橡皮筋处于拉力之下，所以它实际上是两点间的最短线。之下，所以它实际上是两点间的最短线。在椭球面上进行测量计算时，应当以两点间的在椭球面上进行测量计算

29、时，应当以两点间的大地线为依据。在地面上测得的方向、距离等，应大地线为依据。在地面上测得的方向、距离等，应当归算成相应大地线的方向、距离。当归算成相应大地线的方向、距离。 西南石油大学建筑工程学院西南石油大学建筑工程学院6.4 6.4 将地面观测值归算至椭球面将地面观测值归算至椭球面1.1.概述概述在归算中有两条在归算中有两条基本要求基本要求： 以椭球面的法线为基准；以椭球面的法线为基准； 将地面观测元素化为椭球面上大地线的将地面观测元素化为椭球面上大地线的相应元素。相应元素。 西南石油大学建筑工程学院西南石油大学建筑工程学院2.2.将地面观测的水平方向归算至椭球面将地面观测的水平方向归算至椭

30、球面 1) 1) 垂线偏差改正垂线偏差改正u 地面上所有水平方向的观测都是以垂线为根据的，而在椭地面上所有水平方向的观测都是以垂线为根据的，而在椭球面上则要求以该点的法线为依据。把以垂线为依据的地面观测球面上则要求以该点的法线为依据。把以垂线为依据的地面观测的水平方向值归算到以法线为依据的方向值而应加的改正定义为的水平方向值归算到以法线为依据的方向值而应加的改正定义为垂线偏差改正，以表示。垂线偏差改正，以表示。u 西南石油大学建筑工程学院西南石油大学建筑工程学院垂线偏差改正的计算公式是：垂线偏差改正的计算公式是：1cot)cossin(ZAAmmu 1tan)cossin(mmAA 式中：式中

31、： 为测站点上的垂线偏差在子午圈及卯酉圈为测站点上的垂线偏差在子午圈及卯酉圈上的分量，它们可在测区的垂线偏差分量图中内插取上的分量，它们可在测区的垂线偏差分量图中内插取得；得； 为测站点至照准点的大地方位角；为测站点至照准点的大地方位角； 为照准点为照准点的天顶距；的天顶距； 为照准点的垂直角。为照准点的垂直角。,mA1Z1 垂线偏差改正的数值主要与测站点的垂线偏垂线偏差改正的数值主要与测站点的垂线偏差和观测方向的天顶距（或垂直角）有关。差和观测方向的天顶距（或垂直角）有关。 西南石油大学建筑工程学院西南石油大学建筑工程学院2) 2) 标高差改正标高差改正h 标高差改正又称由照准点高度而引标高

32、差改正又称由照准点高度而引起的改正。不在同一子午面或同一平行圈起的改正。不在同一子午面或同一平行圈上的两点的法线是不共面的。当进行水平上的两点的法线是不共面的。当进行水平方向观测时，如果照准点高出椭球面某一方向观测时，如果照准点高出椭球面某一高度，则照准面就不能通过照准点的法线高度，则照准面就不能通过照准点的法线同椭球面的交点，由此引起的方向偏差的同椭球面的交点，由此引起的方向偏差的改正叫做标高差改正，以改正叫做标高差改正，以 表示。表示。h 西南石油大学建筑工程学院西南石油大学建筑工程学院标高差改正的计算公式标高差改正的计算公式:1222222sincos) 1 (2ABHeh 式中：式中：

33、 为照准点大地纬度；为照准点大地纬度； 为测站点至照准点的大地方位为测站点至照准点的大地方位角；角； 为照准点高出椭球面的高程，它由三部分组成：为照准点高出椭球面的高程，它由三部分组成：2B1A2HaHH常2其中其中 为照准点标石中心的正常高，为照准点标石中心的正常高， 为高程异常，为高程异常， 为照准点的觇标高，为照准点的觇标高， ， 是与照准点纬度，是与照准点纬度， 是相应的子午圈曲率半径。是相应的子午圈曲率半径。常Ha22/) 1 (M 2M2B 标高差改正主要与照准点的高程有关。经过此项改正后，便标高差改正主要与照准点的高程有关。经过此项改正后，便将地面观测的水平方向值归化为椭球面上相

34、应的法截弧方向。将地面观测的水平方向值归化为椭球面上相应的法截弧方向。 西南石油大学建筑工程学院西南石油大学建筑工程学院 3）截面差改正）截面差改正g 在椭球面上，纬度不同的两点由于其法线不共面，所以在椭球面上，纬度不同的两点由于其法线不共面，所以在对向观测时相对法截弧不重合，应当用两点间的大地线代在对向观测时相对法截弧不重合，应当用两点间的大地线代替相对法截弧。这样将法截弧方向化为大地线方向应加的改替相对法截弧。这样将法截弧方向化为大地线方向应加的改正叫截面差改正，用正叫截面差改正，用 表示。表示。g截面差改正的计算公式截面差改正的计算公式:11221222sincos)2(12ABSeg

35、西南石油大学建筑工程学院西南石油大学建筑工程学院 在一般情况下，一等三角测量应加三差改正，二等三角测量在一般情况下，一等三角测量应加三差改正，二等三角测量应加垂线偏差改正和标高差改正，而不加截面差改正；三等和应加垂线偏差改正和标高差改正，而不加截面差改正；三等和四等三角测量可不加三差改正。但当四等三角测量可不加三差改正。但当 时或者时或者H2 000m时，则应分别考虑加垂线偏差改正和标高差改正。在特时，则应分别考虑加垂线偏差改正和标高差改正。在特殊情况下，应该根据测区的实际情况作具体分析，然后再做出殊情况下，应该根据测区的实际情况作具体分析，然后再做出加还是不加改正的规定。如下表所示：加还是不

36、加改正的规定。如下表所示：01 三差改正三差改正主要关系量主要关系量是否要加改正是否要加改正一等一等二等二等三、四等垂线偏差垂线偏差加加加加酌情标高差标高差截面差截面差不加不加,SH 西南石油大学建筑工程学院西南石油大学建筑工程学院3.3.电磁波测距边长归算椭球面电磁波测距边长归算椭球面 电磁波测距仪测得的长度是连接地面两点间的直线斜距，也电磁波测距仪测得的长度是连接地面两点间的直线斜距，也应将它归算到参考椭球面上。应将它归算到参考椭球面上。 在工程测量中边长一般都是几公里，最在工程测量中边长一般都是几公里，最长也不过十几公里，因此，所求的大地线的长也不过十几公里，因此，所求的大地线的长度可以

37、认为是半径长度可以认为是半径12122coscos1ABeNRA电磁波测距边长归算椭球面上的计算公式为：电磁波测距边长归算椭球面上的计算公式为：2322421AAmRDRHDDhDS)(2121HHHm式中式中 西南石油大学建筑工程学院西南石油大学建筑工程学院电磁波测距边长归算的几何意义几何意义：（1）计算公式中右端第二项是由于控制点之高差引起的）计算公式中右端第二项是由于控制点之高差引起的倾斜改正的主项，经过此项改正，测线已变成平距；倾斜改正的主项，经过此项改正，测线已变成平距；（2）第三项是由平均测线高出参考椭球面而引起的投影）第三项是由平均测线高出参考椭球面而引起的投影改正，经此项改正后

38、，测线已变成弦线；改正，经此项改正后，测线已变成弦线；（3）第四项则是由弦长改化为弧长的改正项。）第四项则是由弦长改化为弧长的改正项。2322241AAmRDRHhDS显然第一项即为经高差改正后的平距。显然第一项即为经高差改正后的平距。电磁波测距边长归算至椭球面上的计算公式还可用下式表达：电磁波测距边长归算至椭球面上的计算公式还可用下式表达： 西南石油大学建筑工程学院西南石油大学建筑工程学院附附：1. 1. 电磁波测距边归化到椭球面上的计算示例：电磁波测距边归化到椭球面上的计算示例：计算公式计算公式232121224111AAARDRHRHDHHDS式中式中D地面倾斜距离；地面倾斜距离； S椭

39、球面大地线长度；椭球面大地线长度； H1，H2大地高；大地高； RA沿观测方向的曲率半径。沿观测方向的曲率半径。1221221coscos1ABeNRA1221sin1BeaN 西南石油大学建筑工程学院西南石油大学建筑工程学院已知数值：已知数值：D=34884.181m， B1=3033， A12=12935，H1=3930.35m， H2=3879.54m。常数值：常数值：a=6378245m e2=0.00669342 e2=0.00673852解：解：RA=6371440m S=34862.821m 西南石油大学建筑工程学院西南石油大学建筑工程学院 示例：下图中示例：下图中ABC 为球面

40、三角形，其球面角用为球面三角形，其球面角用 ， ， 表示，边长按长度为单位用表示，边长按长度为单位用a，b，c表示之；表示之；ABC为以球面为以球面边长边长a，b，c为边的平面三角形，其中为边的平面三角形，其中 ， ， 称称为平面归化角。设平均纬度为平面归化角。设平均纬度Bm =34=345050，起算边长，起算边长BC=a=14862.821m，球面三角形的三个内角观测值，球面三角形的三个内角观测值 ， ， 列于下表，试求列于下表，试求b、c边长？边长？2 2按勒让德尔定理解算球面三角形按勒让德尔定理解算球面三角形 西南石油大学建筑工程学院西南石油大学建筑工程学院上式中上式中 、 、 为平差

41、后的球面角，为平差后的球面角，为球面角超，分为球面角超，分别按下列公式计算：别按下列公式计算：计算公式：计算公式：310310310sinsinsincba000sinsinsinfabfacfbc ( (当边长小于当边长小于9090km时时) )30w30w30w其中其中 ；w为三角形闭合差，即为三角形闭合差，即22 Rf)180()(0w 西南石油大学建筑工程学院西南石油大学建筑工程学院计算步骤：计算步骤：三角形概算和球面角超的计算三角形概算和球面角超的计算 f=0.002541 表表a a三角形编号三角形编号顶点名称顶点名称角度值角度值（ ）边边 长长（km）球面角超球面角超1 1A35

42、 54 4735 54 4714.86314.8630.8630.863B69 05 3669 05 3623.67123.671C74 59 3574 59 3524.47524.475W179 59 58179 59 58 西南石油大学建筑工程学院西南石油大学建筑工程学院椭球面三角形的解算椭球面三角形的解算顶顶点点名名称称球面上的角度球面上的角度观测观测( ( ) )角度平角度平差改正差改正数数()()平差后的球面平差后的球面角值角值( ( ) )平平 面面归化角归化角（）球面边长球面边长（m）球面球面角超角超ABC35 54 47.1835 54 47.1869 05 6.3169 05

43、 6.3174 59 35.4374 59 35.43+0.647+0.647+0.648+0.648+0.648+0.64835 54 47.82735 54 47.82769 05 36.95869 05 36.95874 59 36.07874 59 36.078-0.287-0.287-0.288-0.288-0.288-0.28847.54047.54036.67036.67035.79035.79014862.82114862.82123670.78723670.78724474.82724474.8270.8630.863闭闭合合差差 -1.943 -1.943179 59 58

44、.92179 59 58.923 西南石油大学建筑工程学院西南石油大学建筑工程学院习习 题题1试写出椭球的基本元素及其基本关系式。 2在控制测量的椭球解算中，常引用下列符号： 、 、 、 ，tWV3我国解放后主要采用哪两种参考椭球?其主要参数是什么?4绘图并说明表示椭球面上点位的三种常用坐标系统。5在报纸上经常看到X X号轮船在东经XXX度，北纬X X度遇险一6写出参考椭球体的五个基本元素及相互间的关系。7什么叫子午圈？什么叫平行圈？8参考椭球体扁率的变化，椭球体的形状发生怎样的变形？9简要说明并图示地面某一点的大地高、正常高以及大地水准面 差距的几何意义。10什么是大地测量的基本坐标系？有何

45、优点？11画图表示地心纬度坐标系和归化纬度坐标系，这两种坐标系 在大地测量中有何意义？12用公式表示空间直角坐标系和大地坐标系之间的关系。13何为大地纬度、归化纬度、地心纬度？三者间有何关系？试问它们之间函数关系的一个基本共同特点是什么？类的报导，试问这是指的什么坐标系，为什么? 西南石油大学建筑工程学院西南石油大学建筑工程学院14简要叙述M、N、R 三种曲率半径之间的关系。15大地坐标系和天文坐标系各以什么作基准面和基准线？16试推证卯酉圈、子午圈曲率半径的计算公式。17B00的平行圈是否有可能是法截线？为什么？ 18卯酉圈曲率半径N与子午圈曲率半径M何时有最大值？何时有最小值？19，为什么

46、说任意方向法截线曲率半径 随A的变化是以900为周期的？这 一结论对椭球问题的解算有什么意义？20什么是法线？什么是法截面？它们对椭球解算有什么意义？21当椭球元素确定之后，椭球面上任意方向法截线曲率半径的计算值 取决于哪两个变量？为什么？22已知欧拉公式：ARANAMRA22sin1cos1123研究平均曲率半径R对椭球解算有何意义？在我国中纬度地区R与的 最大差异是多少？试将它对距离化算（用R代替）的影响作一定量分析。 试由椭球基本元素及公式出发，用两种方法导出计算任意方 向法截线曲率半径的公式和平均曲率半径R的公式。 西南石油大学建筑工程学院西南石油大学建筑工程学院24在推导计算子午线弧长公式时，为什么要从赤道起算？若欲求纬度B1和B2间的子午线弧长( 0)，如何计算？25当子午线弧长不超过45km时，则可将其视为圆弧，试论证其计算精度的可靠性。26何谓椭球面上的相对法截