不同杆尖对硬度计测试问题研究

1、 不同杆尖对硬度计的测试问题的研究目录1 提出问题11.1 问题的介绍11.2 问题的分析12基本概念13区组设计24统计分析44.1 获取数据44.2 统计模型44.3 方差分析54.4 区组检验64.5 多重比较74.6 模型检验95 总结10参考文献11附 录12121 提出问题1.1 问题的介绍硬度计把杆尖压入金属试件后显示的读数就是该金属硬度的测试值。考察4种不同的杆尖在同一台硬度计上是否得出不同的读数。取4块金属试件，让每个杆尖在每块试件上各压入一次。这样安排是含有4个处理（杆尖）和4个区组（金属试件）的随机化完全区组设计。实验数据见附录.（1） 计算各类平方和，写出方差分析表，若

2、取显著性水平=0.05，你从中的到什么结论？（2） 若4种处理方法间有显著差异，做多重比较，你从中的出什么结果？1.2 问题的分析此问题的试验设计包含4种处理和4个区间，并且要求计算各类平方和，写出方差分析表，做多重比较，这可以看成一个完全区组设计，所以我们可以利用完全区组设计的模型来解决此类问题。2基本概念区组设计由于试验条件不均匀，比如：试验场地、人员、设备、试验材料等存在一些差异，可能会对试验结果造成不良影响。为解决这样的问题，把全部试验单元分为若干个区组，使得每个区组内各试验单元之间的差异尽可能的小，而区组间允许存在一些差异，这样的试验设计称为区组设计。随机化完全区组设计设有v个处理需

3、要比较，有n 个试验单元用于试验。 第一步：把n个试验单元均分为k个组（k= n/v），使每个组内的试验单元尽可能相似，这样的组称为区组。第二步：在每个区组内对各试验单元以随机方式实施不同处理这样的设计称为随机化区组设计。若区组容量处理个数v，这样的设计称为随机化完全区组设计。即一般所称的随机区组设计。随机区组设计使用区组方法减小误差变异，即用区组方法分离出由无关变量引起的变异，使他不出现在处理效应和误差变异中，设计简单，容易掌握。多重比较在多个水平场合，同时比较其中任意两个水平均值间有无显著差异的问题称为多重比较问题。例如：若有r（r>2）个水平均值1，2，,r，则同时检验以下Cr2个

4、假设：H0ij: i=j i<j i,j=1,2,r的检验问题就是多重比较问题。3区组设计我们假定有v个处理和b个区组，共需要进行n=v*b次试验，其中在一个区组内的v个处理的次序是随机的。用yij表示第i个处理在第j个区间内进行试验所得到的观察值。表1列出随机化完全区组设计的数据.其中：v=b=4Ti=j=1byij T-i=Tib i=1，2，.,vBi=i=1vyij B-j=Biv j=1，2，.,b表1右侧列出了各处理下所有观察值之和Ti（行和）及其平均值-Ti ，该表下侧还列出了各区组内所有观察值之和Bj（列和) 及其平均值 -Bi，该表右下侧还列出了vb个数据的总和T及总平

5、均-y。表 1 随机化完全区组设计的数据 区组处理1 2 b和 平均12vy11 y12 y1by21 y22 y2b yv1 yv2 yvbT1 -T1T2 -T2 Tv -Tv和平均B1 B2 Bb-B1 -B2 -BbT=i=1Vj=1byij-y=T/vb将试验数据代入得到初步处理后的数据，见表2。表 2 初步处理后的数据 区组处理1 2 3 4和 平均12349.3 9.4 9.6 10.09.4 9.3 9.8 9.99.2 9.4 9.5 9.79.7 9.6 10.0 10.238.3 9.57538.4 9.637.8 9.4539.5 9.875和平均37.6 37.738

6、.9 39.89.4 9.425 9.725 9.951549.6254统计分析4.1 获取数据硬度计把杆尖压入金属试件后显示的读数就是该金属硬度的测试值。如今考察4种不同的杆尖在同一台硬度计上是否得出不同的读数。为了减少金属试件间的差异对硬度读数的影响，只取4块金属试件，让每个杆尖在每块试件上各压入一次。这样安排是含有4个处理（杆尖）和4个区组（金属试件）的随机化完全区组设计。实验数据见附录.4.2 统计模型随机化完全区组设计的统计模型是：yij=+ai+bj+ij i=1，2，,v j=1，2，,b其中：Ø yij为第i个处理在在第j个区间内的试验结果Ø 为总体均值，是

7、待估参数Ø ai为第i个处理的效应，是待估参数，且满足a1+a2+av=0Ø bj为第j个区组的效应，是待估参数，且满足b1+b2+bb=0Ø ij为试验误差，诸ij是相互独立同分布的随机变量，它们的共同分布为N(0,2),其中2为误差方差，是待估参数利用最小二乘法很容易获得各种效应的估计，它们是：=-yai=-Ti-y i=1,2,vbj=-Bj-y j=1,2,b 由此可得各拟合值与残差：yij=+ai+bj=-Ti+-Bj-yeij=yij-yij=yij-Ti-Bj+-y易知第i个处理在第j个区间内进行试验所得到的观察值yij服从正态分布N(+ai+bj,

8、2)，它们涉及vb个正态总体，这些总体的方差都相同，而它们的期望E(yij)=+ai+bj依赖于处理效应和区组效应。区组效应的设立是为了把它从随机误差中分离出来，以便更准确地估计误差方差2，从而使以后的方差分析结果更为可信。在随机化完全区组设计中我们需要关心的是v个处理效应是否彼此相等，即需要检验的一对假设是：H0: a1=a2=av=0H1:诸ai不全为零 （1） 这需要我们采用方差分析来检验这一对假设。4.3 方差分析由平方和分解式：ST=SA+SB+Se，fT= fA+fB+fe 以及定理2.2.4可以证明(1) 在处理效应皆为零时，SA/22(v-1)(2) 在区组效应皆为零时，SB/

9、22(b-1)(3) Se/22(v-1)(b-1)并且他们相互独立。因此检验处理效应皆为零的假设可用的检验统计量是：F=MSAMSe=SAfASefe在假设（1）为真时，它服从F分布F(fA ,fe).对给定的显著性水平，其拒绝域为：W=F>F1- (fA , fe)其方差分析表如下：表 3 随机化完全区组设计的方差分析表来源平方和 自由度 均方和 F比处理区组误差SA=1bi=1vTi2-T2vb fA=v-1 MSA=SA/fA F=MSAMSe SB=1vj=1bBj2-T2vb fB=b-1 MSB=SB/fB _Se=ST-SA-SB fe=(v-1)(b-1) MSe=Se

10、/fe总和ST=i=1Vj=1byij2-T2vb fT=vb-1将试验数据代入所建立的模型并进行方差分析:ST=9.32+9.42+9.62+102+10.22-1542/16=1.29 ,fT=15 SA=(38.32+38.42+37.82+39.52)/4-1542/16=0.385 ,fA=3SB=(37.62+37.72+38.92+39.82)/4-1542/16=0.825 ,fB=3Se=1.29-0.385-0.825=0.08 ,fe=9把这些平方和以及其自由度移至方差分析表上再进行F检验，见表4.表 4 方差分析表来源平方和 自由度 均方和 F比处理区组误差0.385

11、3 0.128 14.40.825 3 0.2750.08 9 0.0089 总和1.29 15若取显著性水平=0.05，则其临界值F0.95(3,9)=3.86,由于F>3.86，从而拒绝H0，故4种杆尖对金属试件的硬度测量结果有显著差异。另外，还可得到这个试验的误差方差2的估计：2=0.0089，其标准差的估计为=0.094。4.4 区组检验F=区组均方和误差均方和=0.2750.0089=30.90 仍给定显著性水平=0.05，其临界值为F0.05(3,9)=3.86 ,由于F>3.86，从而认为区组效应显著，当初设立区组是很有必要的。若不设立区组，区组平方和将并入误差平方和

12、，其方差如表5所示。表 5 不设立区组的方差分析表来源平方和 自由度 均方和 F比处理误差0.385 3 0.128 1.69720.905 12 0.0754 总和1.29 15若设显著性水平=0.05，那么该检验的临界值为F0.95(3,12)=3.49，由于F<3.49，故不能拒绝H0，即4种处理间没有显著差异。这一错误结论是没有重视区组作用而导致的。所以在试验中，凡是在试件中存在（或可能存在）明显差异时，都应运用区组概念去减少数据中的误差。4.5 多重比较在随机化区组设计中，若经方差分析处理因子是显著的，那对各处理间还需作多重比较，以便发现哪些处理值得重视。由于此次试验为随机化完

13、全区组设计，区组数b就是重复数，且各处理的重复数都相等，这时误差自由度fe=（r-1）（b-1）所以采用T法对此4种处理进行多重比较。重复次数相等情况的T法 这是Tukey在1953年提出的多重比较方法，简称T法，适用于重复数相等的情况，这里设重复数皆为m。直观考虑，当H0ij为真时，|-yi-yj|不应过大，过大就应该拒绝H0ij。因此在同时考虑Cr2个假设H0ij时，“诸H0ij中至少有一个不成立”就构成多重比较的拒绝域W，它应有如下形式：W=Ui<j-yi-yj>c这里-yi表示水平Ai下数据的平均值，i=1,2,r。如果给定显著性水平，就要确定这样的临界值c，使得上述Cr2

14、个假设H0ij都成立时，而犯第一类错误的概率P(W)=。下面来确定临界值c。 PW=PUi<j-yi-yj>c=1-Pi<j-yi-yjc =1-Pmaxi<j-yi-yjc=Pmaxi<j-yi-yj>c =Pmaxi<j-yi-yjMSem>cMSem=Pmaxi<j -yi-i-(-yj-j)MSem>cMSem =Pmaxi -yi-iMSem-mini -yi-iMSem>cMSem 其中MSe为方差分析中的误差均方和，它是方差2的无偏估计，并且与诸-yi相互独立，从而 -yi-i MSemt(fe)于是tr=maxi

15、 -yi-iMSem t1=mini -yi-iMSem分别是来自t(fe)分布的容量为r的样本的最大与最小次序统计量，从而 q(r,fe)=tr-t(1)是t(fe)的容量为r的样本极差，它被称为t化极差统计量，它的分布不易导出，但知它的分布只与t分布的自由度fe（即误差平方和的自由度）和样本量r（即因子A的水平数有关，因此可以用随机模拟法获得q(r,fe)分布的分位数，为使PW=Pq(r,fe)>cMSem=可取q(r,fe)的1-分位数，使 cMSem=q1-(r,fe)，从而显著性水平为的临界值为： c=q1-(r,fe)MSem 综上可知，其显著性水平为的拒绝域为：-yi-yj

16、>q1-r,feMSem i<j i,j=1,2,r 在本次试验中，经方差分析已确定4种杆尖间有显著差异。现用上述的T法对4种处理进行多重比较。在给定的显著性水平下，拒绝域应为：-Ti-Tj>q1-r,feMSeb i<j其中=0.05，r=4，b=4，fe=，MSe=0.0089，q0.95(4,9)=4.41,故当 -Ti-Tj> 4.41×0.0089 4 =0.208时，表示第i个处理与第j个处理间有显著差异。如今从表2可查得：-T1=9.575 -T2=9.6 -T3=9.875 -T4=9.45 它们两两之间差的绝对值分别为：-T1-T2=0

17、.425>0.208,-T1-T3=0.3>0.208, -T1-T4=0.125,-T2-T3=0.275>0.208,-T2-T4=0.15, -T3-T4=0.425>0.208,由此可见，除了第1种与第4种、第2种与第4种杆尖之间无显著差异外，其他各对之间均有显著差异。特别是第2种和第3种杆尖之间有显著差异。4.6 模型检验对于模型的检验涉及正态性假定和方差齐性等两个问题，而我们的此次试验缺少重复的情况，对误差方差齐性的检验还缺少方法，我们只能从数据的产生过程对误差方差齐性做些定性的判断。譬如此次试验所得数据是在相同的或类似的试验环境下产生的，可以认为误差方差近

18、似达到齐性。正态性诊断我们可以借助残差分析进行。在此次试验中，r-4，b=4，共进行16次试验，故有16个残差。考虑到区组效应显著，故残差计算公式为：eij=yij-Ti-Bj+-y可得16个残差，它们（按从小到大次序）是：-0.1 -0.075-0.075-0.075-0.05-0.05-0.025-0.0250 0.025 0.025 0.025 0.05 0.1 0.1 0.15这时残差的正态概率图如图1所示。从该图可以看出，没有非正态性的严重标志，可认为该组残差近似为正态分布。图 1 残差的正态概率图5 总结硬度是指材料抵抗其它较硬物体压入其表面的能力，是衡量材料软硬的一个指标，对不同的应用材料有不同的