三角形数与平方数

1、同餘法找因數主題3-1 :三角形數與平方數、授課對象：七年級國中上學期學生撰寫者：陳昭地-311 -二、先備知識:（一）熟悉九九乘法。（二）瞭解自然數的運算。、教學目標（含核心概念或相關概念）:（一）理解三角形數的意義。（二）理解平方數的意義。（四）理解第n個三角形數就是1 + 2 + 3+ 口 =邑+1）。（五）強化自然數的數感。四、教學時間：45分鐘（一節課） 五、教學說明:以下用一個黑點或小圓圈代表自然數1,這些點或圈的個數代表自然數，用來認識三角形數及平方數，並探索三角形數與平方 數的關係。六、教學活動: 子題一：標記自然數 活動一：用點標記自然數第三章代數（一）步驟1:自然數1, 2

2、, 3,4, 5,用點標記成如下圖:自然數12345 1020100 點數12345 ()()() 步驟2:可用多少個點來表示6?(）個點可用多少個點來表示9?(）個點可用多少個點來表示99?(）個點活動二：對任意給定的自然數 n就可用（）個黑點或（）個小圓圈來表示子題二：何謂三角形數?活動三：用黑點（或小圓圈標記三角數）步驟3:三角形數1, 3, 6, 10, 15,用點（或圈）標記成下圖:1510三角形數第1個第2個第3個第4個第5個 數子136()() 步驟4:第7個三角形數為多少？()第8個三角形數為多少?第10個三角形數為多少?活動四:如果第99個三角形數為a,那麼第100個三角形數

3、如何用a表示？(般來說，第n個三角形數記作Tn,那麼下一個三角數Tn+1 如何用Tn表示？(活動五:三角形數的一般樣式第一個三角形數是1；第二個三角形數是+ 2，即 3；第三個三角形數是+ 2 + 3，亦即 6;第十個三角形數是+ 2 + 3 + + 9 + 10，即 55;子題三:第n個三角形數是+ 2 + 3 + + (n-1) + n何謂平方數?第三章代數（一）活動六:九九乘法中，知1 X 1=1, 2X 2=4, 3X 3=9, 4X 4=16, 5X 5=25, 6X 6=36, 7X 7=49, 8X 8=64, 9X 9=81這些都是平方數；前五個平方數點記成如下圖:1625活動

4、七:100200之間的平方數有哪些?10X 10=100, 11X 11=121, 12X 12=144, 13X 13=169 100200之間的平方數有100, 121, 144, 169, 196 等 5 個活動八:200400之間的平方數有哪些?14X 14=196 , 15X 15=225 , 16X 16=(),17X 17= () , 18X 18= () , 19X 19=(),20 X 20= () , 21 X 21=() 200400之間的平方數有 225, 256, 289, 324, 361 , 400 等 6 個。活動九:任意給定自然數n , n自乘二次：記作nX

5、n= n2;n2是平方數且為第n個平方數。由於 301+3=43+6=96+10=1610+15=25 歸納觀察出:=30X 30=900, 312=961, 322=1024,所以 11000之間最小的平方數是()，最大的平方數是_!共有()個平方數。子題四：三角形數與平方數之間的關係 活動十：三角形數依序為1, 3, 6, 10, 15, 21,列出相連兩個三角形數之和，發現:第1個三角形數1就是第1個平方數，第1個三角形數1加上第2個三角形數3就是第2個平方數4,第5個三角形數15加上第6個三角形數21就是第6個平方數36，同樣可得: 第6個三角形數21加上第7個三角形數()就是第7 個

6、平方數()活動:如下圖，標記兩個相連的三角形數:OO O O OO O O O OO O O O第三章代數(一)第(n-1)個三角形數1+2+(n-1)與第n個三角形數1+2+ +(n-1)+n之和為1+2+ +(n-1)+1+2+ +(n-1)+n= n 2如下圖所示:9 O III 0 -o * (一1): 0； ： 20：=nr * J|j * ?In故得出1+2+ +(n-1)+n+1+2+ +(n-1)+n = n 2+n21+2+ +(n-1)+n = n 2+n21+2+(n-1)+n=T(或 n(nr)於是第n個三角形數是2丄n + no2子題五：主題結論三角形數平方數1,1,

7、1,2,3,4,n2 + n2n2,-(二) 1100之間的三角形數:1, 3, 6, 10, 15, 21,28, 36, 45,55, 66, 78, 911100之間的平方數:1, 4, 9, 16, 25, 36,49, 64, 81,100(三) 101400之間的平方數:121, 144, 169, 196, 225, 256, 289, 324, 361, 400(四) 相連兩個三角形數之和一定是平方數。教學活動參考解答:步驟活動三：步驟步驟活動八：256,1：2：3：4：10, 20, 1006, 9, 9910, 1528, 36, 55289, 324, 361,活動二:活

8、動四:活動九:n, na+100, Tn+(n+1)1, 961, 31441活動十：28, 49七、指定作業:1. (1)第10個三角形數是多少?(2) 第20個三角形數是多少?第100個三角形數又是多少?2. (1)第10個平方數是多少?(2) 第20個平方數是多少?(3) 第100個平方數又是多少?3. (1)第9, 10兩個三角形數之和是多少?第三章代數(一)(2)第19, 20兩個三角形數之和是多少?(3) 第49, 50兩個三角形數之和是多少?(4) 第99, 100兩個三角形數之和又是多少?4. 五邊形數1, 5, 12, 22, 35,點記成如下圖表(黑點表示平方數，小圓圈表示

9、三角形數 ):OO OO O OO O O O122235般來說，第n個五邊形數定義成第n個平方數加上第(n-1)個三角形數。試回答下列各問題:(1) 第6個五邊形數是多少?(2) 第10個五邊形數是多少?第25個五邊形數是多少?(4) 第n個五邊形數是多少？(用n來表示)指定作業參考解答:1. (1)55 (2)210 (3)50502. (1)100 (2)400 (3)100003. (1)100 (2)4004. (1)62+56 =36+15 = 512(3) 2500 (4)10000(2) 102 +910 =100 + 45 = 1452252 + 2425. = 625+30

10、0 = 92522+2:2=2 2n(3n-1)八、教學注意事項:1.引起動機（2分鐘）:講述高斯小學老師給他做S=1+2+3+100求和的故事:2S=1 + 2 + 3 + 11(+99+100+ 100 + 99 + III + 3 + 2+1101 + 101 + 111+101+101=100X 101S=50502.教學活動、二各約 2分鐘教學活動三:4分鐘教學活動四:2分鐘教學活動五:4分鐘教學活動六、七、八、九各教學活動十約5分鐘教學活動十：5分鐘主題結論：5分鐘第三章代數（一）2分鐘指定作業含提示:5分鐘3. 在各活動間，教師宜巡堂走動，加強瞭解學生學習情形。4. 在各活動進行

11、時，可隨機指定學生作答。答對時給予言語上的獎勵，答錯時另請其他同學作答，再答錯老師應加強解說。5. 作業4有關五邊形數的定義方式亦可如下圖:OO OO O O OOO OO O。宀 。 。 O OO 0 O O - OO O <=>. 0 ° O O122225詳見如下教學參考資料2： O九、教學參考資料1. Posamentier A, Jay Ste pelman (1986), Teaching SecondarySchool Mathematics, 2 nd Ed., PP.353359(Sum Deviations with Arrays).2.大學入學考試中

12、心試題（民97年）o指考數學甲。htt p: /.tw/題目A.用大小一樣的鋼珠可以排成正三角形、正方形與正五邊形陣列，其排列的規律如下圖所示:已知m個鋼珠恰好可以排成每邊n個鋼珠的正三角形陣列與正方形陣列各一個；且知若用這m個鋼珠去排成每邊 n個鋼珠的正五邊形陣列時，就會多出9個鋼珠。則n=型，m=？第三章代數(一)試題動機：測驗學生觀察圖形規律的能力，以及能否充分運用等差級數求和。詳細解題說明:(1)排成邊n個鋼珠的正三角形陣列的鋼珠數為1+2 + |+"学(2)排成邊n個鋼珠的正方形陣列的鋼珠數為1+ 3 + 5 + * + (2n-1) = n ,n

13、+n 2m=+ n =126。2另解觀察每邊n個鋼珠時，正三角形陣列的鋼珠數與正方形陳列的鋼珠數之和恰好比正五邊形陣列的鋼珠數多出個，故n=9。(可排成邊n個鋼珠的正五邊形陣列的鋼珠數為3n2 n1 + 4 + 7 +出+ (3n- 2)=二2n2+n 2 3门2 - n由厂+ n =2+9，可解得n=9。於是，同餘法找因數6-313 -3.我們也可用下列圖示方式求出1 + 2 + | + n = n(n+1)f 0I ioI叶 n + 1|11(|O10o*:* =n(n +1)III n即 2(1 + 2 + n)=n(n+1)(1 + 2 + (|+n) = n(n+1)4.前 n 個平

14、方數之和 12+22+| + n2 = n（n+1）（2n+1）(n+1)3=n3+ 3n2+ 3n+13 n= (n-1)3+3(n-1)2*+ 3(n-1)+133=23+ 3x22+ 3% 2+123=13+ 3沢 12+ 3% 1+16+)(n+1)3 =13+3(12 +22 + | + n2) + 3(1 + 2 + | + n) + n1故 12+22 + n2 = -(n+1)3- (n +1)- 3(1 + 2 + | + n)33n(n+1)l-|(n+1)3- (n+1)-3L2(n+1)/ ，八2 , 3nl(n+1r -132 Jn(n+1)(2n+1)同餘法找因數第

15、三章代數(一)5. 前n個三角形數之和1 + 3 + 6 + III +咛!= n(n+1)(n+2),C C n(n+1) n j(j +1) 1 n 21n 2 n 、1 + 3+6+ 111 + - = Z - = -Z j +j +2 j Ij丄22 j21 jjJ丿_ 1 f n(n +1)(2n +1) n(n +1)、二一+21 6 2 丿_ n(n+1) r(2n+1)1、=+ 2 16 2 丿n(n+1) "2n+1)+3、=-In(n+1)(n +2)6.(1)第n個三角數與第n個平方數的比值為n+1 十 n+11,而 lim= 一 2n Y 2n 2符合直觀結果。由4、5得前n個三角數之和與前n個平方數之和的比值為n + 2 十 n + 21，而 lim=-2n+12n+127.(1)既是三角形數又是平方數，即三角平方數有如下無限多組解1 = 12,竺9 = 62,曲= 352,竺空89 = 2042,2 2 2 2168似 1682 = 11892,9800X 9801 = 693o2，。(2)既是三角形數又是五邊形數，即三角五角數有如下無限多組解:1X (1+1) 3X12_1 420(20 + 1) 3X122 -12 210I ,=厶 I