复变函数与积分变换经典PPT—复变函数44

1、x xy yz zs sn np p复变函数与积分变换复变函数与积分变换第四章第四章 级数级数1. 复数项级数复数项级数2. 幂级数幂级数3. 泰勒级数泰勒级数4. 洛朗级数洛朗级数5. 第四章小结与习题第四章小结与习题0zrr2r.z1k2k1r. 1r2r.0z第第四四节节 洛朗级数洛朗级数问题的引入问题的引入1洛朗级数的概念洛朗级数的概念2小结与思考小结与思考5典型例题典型例题4函数的洛朗展开式函数的洛朗展开式3 . , )( 00的幂级数的幂级数是否能表示为是否能表示为不解析不解析在在如果如果zzzzf 一、问题的引入一、问题的引入问题问题:nnnzzc)(. 10 双边幂级数双边幂级

2、数负幂项部分负幂项部分正幂项部分正幂项部分主要部分主要部分解析部分解析部分同时收敛同时收敛收敛收敛 nnnnzzc)(0nnnnnnzzczzc)()(0001 nnnzzc)(00 nnnzzc )(0110)( zz 令令nnnc 1收敛半径收敛半径收敛收敛时时,r 101rrzz 收敛域收敛域收敛半径收敛半径2r20rzz 收敛域收敛域:)1( 21rr 若若两收敛域无公共部分两收敛域无公共部分,:)2(21rr 两收敛域有公共部分两收敛域有公共部分.201rzzr r结论结论:的的收收敛敛区区域域为为双双边边幂幂级级数数nnnzzc)(0 .201rzzr 圆环域圆环域1r2r.0z常

3、见的特殊圆环域常见的特殊圆环域: :2r.0z200rzz 1r.0z 01zzr 00zz.0z:10 内内在圆环域在圆环域 z例如，例如，10)1(1)( zzzzzf及及在在都不解析都不解析,但在圆环域但在圆环域10 z及及110 z内都是解析的内都是解析的.)1(1)(zzzf 而而1,1112 zzzzzn2. 问题问题: :在圆环域内解析的函数是否一定能展开在圆环域内解析的函数是否一定能展开成级数成级数? ?,111zz 所以所以)1(1)(zzzf ,121 nzzzz即即在在)(zf10 z内可以展开成级数内可以展开成级数.内，内，在圆环域在圆环域110 z也可以展开成级数：也

4、可以展开成级数：)1(1)(zzzf .)1()1()1(1)1(121 nzzzz nzzzz)1()1()1(1112 )1(1111zz二、洛朗级数的概念二、洛朗级数的概念定理定理内内处处处处解解析析，在在圆圆环环域域设设 )( 201rzzrzf ,)()(0nnnzzczf cnnzfic d)()(21 10其中其中),1,0( nc为圆环域内绕为圆环域内绕 的任一正向简单闭曲线的任一正向简单闭曲线. 0z为洛朗系数为洛朗系数.内内可可展展开开成成洛洛朗朗级级数数在在那那末末dzf )( d21d21)(12 kkzfizfizf证证)()(1100zzzz 因因为为对于第一个积分

5、对于第一个积分: 00001nnzzzz 111100000zzzzzzzz 0zrr2r.z1k2k1r. ,)()(0100 nnnzzz nnnzzc)(00 d)(212 kzfi所以所以对于第二个积分对于第二个积分: d)(211 kzfi)()(11 00zzzz 因因为为 100zzz nnknzzzfi)(d)()(2100102 000111zzzzz 1010)()(nnnzzz ,)()(10110nnnzzz d)(211 kzfi则则其中其中 )(zrn d)()()(211010 knnnnzzfzi)()(d)()(21011101zrzzzfinnnnkn 下面

6、证明下面证明.0)(lim1外部成立外部成立在在 kzrnn 000 zzrzzzq 令令. 10, q无关无关与积分变量与积分变量 )()( 的连续性决定的连续性决定由由因为因为又又zfmf szzzzfzrknnnnd)(21)(1000 rqrmnnn 221.1qmqn ,)(01nnnzzc . 0)(lim zrnn所以所以 d)(21 1 kzfi于于是是nnknzzzfi )(d)()(2101101 d)(21d)(21)(12 kkzfizfizf则则nnnnnnzzczzc )()(0100.)(0nnnzzc ), 2, 1, 0(d)()(2110 nzficcnn

7、如果如果c为在圆环域内绕为在圆环域内绕 的任何一条正向简单的任何一条正向简单0znncc 与与闭曲线闭曲线 . 则则可用一个式子表示为可用一个式子表示为: 证毕证毕 nnnzzczf)()(0 说明说明:函数函数)(zf在圆环域内的在圆环域内的洛朗展开式洛朗展开式)(zf在圆环域内的在圆环域内的洛朗洛朗(laurent)级数级数. 1) 2) 某一圆环域内的解析函数展开为含有正、负某一圆环域内的解析函数展开为含有正、负幂项的级数是唯一的，幂项的级数是唯一的， 这就是这就是 f (z) 的洛朗级数的洛朗级数. 定理给出了将圆环域内解析的函数展为洛朗级数定理给出了将圆环域内解析的函数展为洛朗级数的

8、一般方法的一般方法. .三、函数的洛朗展开式三、函数的洛朗展开式常用方法常用方法 : 1. 直接法直接法 2. 间接法间接法 1. 直接展开法直接展开法利用定理公式计算系数利用定理公式计算系数nc), 2, 1, 0(d)()(2110 nzficcnn 然后写出然后写出.)()(0nnnzzczf 缺点缺点: 计算往往很麻烦计算往往很麻烦.根据正、负幂项组成的的级数的唯一性，可根据正、负幂项组成的的级数的唯一性，可用代数运算、代换、求导和积分等方法去展开用代数运算、代换、求导和积分等方法去展开 .优点优点 : 简捷简捷 , 快速快速 .2. 间接展开法间接展开法四、典型例题四、典型例题例例1

9、 1, 0 内内在在 z. )( 2展开成洛朗级数展开成洛朗级数将将zezfz 解解,)(nnnzczf 由定理知由定理知: d)()(2110 cnnzfic d213 cnei其中其中)2, 1,0(, )0(: nzc , 3 时时当当 n0 nc, 2在圆环域内解析在圆环域内解析zez故由柯西故由柯西古萨基本定理知古萨基本定理知:, 2 时时当当 n由高阶导数公式知由高阶导数公式知:022)(dd)!2(1 zznnezn)!2(1 n 2)!2()( nnnzzf故故 ! 4! 3! 211122zzzz z0 d213 cnneic另解另解 ! 4! 3! 21143222zzzz

10、zzez ! 4! 3! 211122zzzz本例中圆环域的中心本例中圆环域的中心 z = 0 既是各负幂项的奇点既是各负幂项的奇点,. 2的奇点的奇点也是函数也是函数zez例例2 2 : )2)(1(1)( 在圆环域在圆环域函数函数 zzzf;10)1 z;21)2 z.2)3 z内是处处解析的内是处处解析的,试把试把 f (z) 在这些区域内展开成洛朗级数在这些区域内展开成洛朗级数.解解,)2(1)1(1)(zzzf , 10 )1内内在在 zoxy1,1 z由于由于 nzzzz2111则则2112121zz )( zf所以所以)1(2 zz 421212zz 2874321zz12 z从

11、而从而 nnzzz22212122 , 21 )2内内在在 z12oxyzzz111111 21111zzz1 z由由11 z2 z12 z且仍有且仍有 2112121zz nnzzz22212122)( zf于是于是 21111zzz 2222121zz 842111121zzzzznn, 2 )3内内在在 z2oxy2 z由由12 z此时此时zzz211121 24211zzz, 121 zz此时此时仍有仍有zzz111111 21111zzz)( zf故故 24211zzz 21111zzz.731432 zzz注意注意:0 z奇点但却不是函数奇点但却不是函数)2)(1(1)( zzzf

12、的奇点的奇点 .本例中圆环域的中心本例中圆环域的中心是各负幂项的是各负幂项的说明说明:1. 函数函数)(zf在以在以0z为中心的圆环域内的洛朗级为中心的圆环域内的洛朗级数中尽管含有数中尽管含有0zz 的负幂项的负幂项, 而且而且0z又是这些又是这些项的奇点项的奇点, 但是但是0z可能是函数可能是函数)(zf的奇点的奇点,也可能也可能)(zf的奇点的奇点.不是不是2. 给定了函数给定了函数)(zf与复平面内的一点与复平面内的一点0z以后以后,函数在各个不同的圆环域中有不同的洛朗展开函数在各个不同的圆环域中有不同的洛朗展开式式 (包括泰勒展开式作为它的特例包括泰勒展开式作为它的特例).回答：不矛盾

13、回答：不矛盾 .朗展开式是唯一的朗展开式是唯一的)问题：这与洛朗展开式的唯一性是否相矛盾问题：这与洛朗展开式的唯一性是否相矛盾?(唯一性唯一性 : 指函数在某一个给定的圆环域内的洛指函数在某一个给定的圆环域内的洛. 0 sin 0洛朗级数洛朗级数的去心邻域内展开成的去心邻域内展开成在在将函数将函数 zzz解解 z0zzzfsin)( .)!12()1(02 nnnnz例例3 )!12()1(! 51! 3111253nzzzzznn例例4 4. 2 )2( 01展开成洛朗级数展开成洛朗级数的去心邻域内的去心邻域内在在将函数将函数 zzz解解 , 220 内内在在 z ) 2(1)(zzzf 2

14、2112121zz 011)2(2)1(nnnnz.2221)2(2132 zz) 2(2121 zz例例5 5: )1)(2(52)( 22在以下圆环域在以下圆环域求求 zzzzzf内的洛朗展开式内的洛朗展开式. ; 21 )1( z520)2( z解解 1221)(2 zzzf, 21 )1时时当当 z 221121221)(zzzzf 22111221121zzznnnnnzzz 20201)1(2221.2)1(201121 nnnnnnzz, 520 )2内内在在 z1221)(2 zzzf iziziz1121 )2()2(1)2()2(121iziziz iziiziiz221)2(1221)2(121 0022)1(2122)1(2121nnnnnniziiziiz.5)2()2()2()1(211110 nnnnnnziiiz 110)2(1)2(1)2()1(21nnnnniiziz五、小结与思考五、小结与思考 在这节课中，我们学习了洛朗展开定理和函在这节课中，我们学习了洛朗展开定理和函数展开成洛朗级数的方法数展开成洛朗级数的方法. . 将函数展开成洛朗级将函数展开成洛朗级数是本节的重点和难点数是本节的重点和难点. .