电磁场理论复习题(含答案)

1、第12章 矢量分析 宏观电磁现象的基本规律1.设：直角坐标系中，标量场 u xy yz zx的梯度为A，贝U M (1, 1, 1 )处A =2?<2ey2ez2.已知矢量场 A( y z)y 4 xy 2 e?z xz，则在 M( 1,1,1 )处 A3.亥姆霍兹定理指出，若唯一地确定一个矢量场(场量为A),则必须同时给定该场矢量(a) (?yE0cos( wt 卩 Z(b) y wE0 cos( wt BZ的旋度 A 及散度 A4.写出线性和各项同性介质中场量 D、 E、B、所满足的方程(结构方5.电流连续性方程的微分和积分形式分别为6.设理想导体的表面 A的电场强度为E、磁场强度为

2、B，则(a)E、B皆与A垂直。(b)E与A垂直，B与A平行。(C)E与A平行,B与A垂直。程)：D E, B H , J E 。QJ dSS7.答案：BE、B皆与A平行。8.设自由真空区域电场强度E gyEoSin( wt BZ(V/m)，其中 E。、卩为常数。则两种不同的理想介质的交界面上,(A)rE1r rE2 , H1rH2(B)E1nE2n , H 1nH2n(C)E1tE2t , H 1tH2t(D)E1tE2t , H1nH2n答案：C空间位移电流密度 Jd (A/m 2)为:(c) gy w 0E0cos( wt p )(d)(?y pEcos(wt p) 答案：C9.已知无限大

3、空间的相对介电常数为r4，电场强度x2”)，其中0、d为常数。则x d处电荷体密度(a) -_0 ( b) -(c)dd十答案：d10.已知半径为R0球面内外为真空，电场强度分布为(er cos ? sin )ERoB(? 2 cose sin )r(r(rRo)Ro)求(1)常数B ；Sol. (1)球面上(2)球面上的面电荷密度;(3)球面内外的体电荷密度。由边界条件E1tE2t 得：sinRo(2)由边界条件DmD2ns 得:s0( E1nE2n)0 (E1r(3)由D得：0BsinRo2RoE2r)6 0cosRo1 (r2Er)0 T r即空间电荷只分布在球面上。10 r sin(E

4、 sin )(r Ro)(r Ro)11.已知半径为Ro、磁导率为 的球体，其内外磁场强度分布为2(? cos H A(er2cose sin ) (rr? sin ) (rRo)且球外为真空。求(1)常数A ；(2)球面上的面电流密度Js大小。Sol.球面上(r=Ro) : Hr为法向分量；H为法向分量(1)球面上由边界条件 BmB2n 得：H1r oH 2rA R；0(2)球面上由边界条件H1tH 2t J s 得Js (H1 H2 )|r Ro(2 一)sin0第3章 静电场及其边值问题的解法r r静电场中电位与电场强度E的关系为 E1.分别为6,和)的分界面上，电位满足的边界条件为;在

5、两种不同的电介质(介电常数22n 02.设无限大真空区域自由电荷体密度为P ,则静电场:3.4.电位和电场强度E满足的泊松方程分别为2E介电常数为的线性、各向同性的媒质中的静电场储能密度为Wm2 E225.6.如图，E,、E2分别为两种电介质内静电场在界面上的电场强度,307.8.Sol.60,|EiI/IE2I 二理想导体与电介质的界面上,关系为表面自由电荷面密度s与电位沿其法向的方向导数的n如图，两块位于X = 0和X = d处无限大导体平板的电位分别为0、U0,其内部充满体密度eXd )的电荷(设内部介电常数为)。(1)利用直接积分法计算 0<x <d区域的电位 及电场强度E

6、 ; (2) x= 0处导体平板的表面电荷密度。为一维边值问题：d2dx2(X)U。边界条件:(X0)0(1 exd)(X d) U。对于两种不同电介质的分界面， 电场强度的 切向 分量及电位移的法向 分量总是连续的。(1)直接积分得:/0 z X d(X)(e0d)d)x9.E(x)ex丄(exd x)0Uo0d0d(1 d2 小（2）由ns得： s0E(x)r 0U 00 0dx1 d2d(1Sol.（略）见教材第 82页例36110.如图所示，在由无限大平面和突起的半球构成的接地导体上方距离平面为 电荷q。利用镜像法求z轴上z > a各点的电位分布。d处有一个点Sol.空间电荷对导

7、体表面上部空间场分布的影响等效于:无限大接地导体平面 +接地导体球边界条件:使平面使球面平面球面 00，弓I入镜像电荷：z 0，弓I入镜像电荷：2a,q1d, qq。ZiZ2d2a|z |adqo2 a 孑q2a訐0内填空气。已知侧壁和底面的电位为零，而如图所示横截面为矩形的无限长直导体槽，顶盖的电位为 V0。写出导体槽内电位所满足的微分方程及其边界条件，并利用直角坐 标系分离变量法求出该导体槽内的电位分布。Xz轴上z > a各点的电位:q。4 0q0|z d |1|z d|qiq2z Z12a3z2d2 a4Z211.已知接地导体球半径为位置如图所示。利用镜像法求（R0，在x轴上关于原

8、点（球心）对称放置等量异号电荷 +q、-q ,1）镜像电荷的位置及电量大小；（2 ）球外空间电位；（3）x轴上x>2R）各点的电场强度。Sol. (1)引入两个镜像电荷:X1q2X2RL R2R02Ro2R0Ro(x,y,z)q_生R1R2(略)RoR J(x 2R0)2 y2 z2，RiR2 J(X R0/2)2 y2 z2，R(3)X轴上x>2R0各点的电场强度：E(X 2R0)2 (X R0 /2)2V(x R0/2)2J(X 2R0)q/2(X R0/2)2q(X 2R0)212.如图所示，两块半无限大相互垂直的接地导体平面， 两块导体间的电位分布。(1)各镜像电荷的位置及

9、电量;在其平分线上放置一点电荷q,求Sol. ( 1)qiq2q3qo，(a, 0, 0) qo，(0, a, 0) qo，(a, 0,(X,y,z)1q。q_q240R0R1R2(略)其中：R。Jx2(ya)22 zRiJ(Xa)22y2 zR2(ya)2z2R3J(Xa)22y2 z0)q3R第4章 恒定电场与恒定磁场1.线性和各项同性的均匀导电媒质内部电荷体密度等于 在该导电媒质的表面上。，净余电荷只能分布2.线性和各项同性的均匀导电媒质中,3.在电导率不同的导电媒质分界面上，E1tE2t、J1n J2no为:4.5.6.7.电场强度E和电流密度J的边界条件在电导率为的导电媒质中，功率损

10、耗密度pc与电场强度大小 E的关系为PcE O恒定磁场的矢量磁位 A与磁感应强度B的关系为_B2aj对线性和各项同性磁介质（磁导率设为-H22度WmA ; A所满足的泊松方程）,恒定磁场（磁场强度大小为 H ）的磁能密1 2,V空间磁能Wm =? H dV已知恒定电流分布空间的矢量磁位为:满足库仑规范。求（1）常数C ; （2）（直角坐标系中:A exx2y 耳 y2x ?,Cxyz ,C 为常数，且 A电流密度J ; （3）磁感应强度B Oay）臥axSol. （1）库仑规范:AxzAyayezx于）2amJ8. （P .136.习题 4.2）x gx2y 2A 7 -yeyy2xA 2xy

11、zg4xyz 得:2A2AT2y zex4xz ?y4yz ez（y2 x2）2xyCxy 01-ex2y ?y2x1, 1和在平板电容器的两个极板间填充两种不同的导电媒质（2）,其厚度分别为a和d2。若在两极板上加上恒定的电压u。试求板间的电位v、 v、电场强度 E、电流密度j以及各分界面上的自由电荷密度。Sol.用静电比拟法计算。用电介质（E1 d1E2 d2U 0D1D21 E12 E2E2）替代导电媒质，静电场场强分别设为ex2d11d 21U 0/ （d1 x d2）2d11d2（0 xdjE1、E2ex电位移：D1 D21E1?1 2U 02d11d2(x)静电比拟:E(x)E1x

12、2U2d 1E2(x2U0x2d11d 21X ( 21)d12d1 du。2d11d 2did2d101d2di)(0(d1(0(0 xdi)1X ( 2 1 )2d1 1d2(Tdi)d2)di)Uo (d1 x d2)则导电媒质中的恒定电场:U 02d11 2U 02d 11d2ex1d 2(d1d2)12d1(x)2n x d1可知：非理想电容器两极上的电荷密度为才有电容定义。2U01d 21U 01d222d1d1(1 22 1 )U 01d22d1非等量异号x d1d2。只有理想电容器9. 一横截面为正方形的扇形均匀导电媒质， 如图建立圆柱坐标，若电位 以及恒定电场的电场强度 E

13、；（2）该情况下导电媒质的直流电阻其内、外半径分别为_ U0 （常量）及20 0。(1)Sol.由边界条件可知，导电媒质上电位仅与坐标有关，即(1) 2上02d 20Uo及2U02a ,电导率为 。 导电媒质上电位分布0 a 2ZX（第 9题图）I2U0 1egrdS2aJ (a d2aS (ad ) dn2直流电阻：RUoI2 aln210. 一横截面为正方形的扇形均匀导电媒质，其内、外半径分别为 如图建立圆柱坐标，若电位以及导电媒质上恒定电场的电场强度a U0rE（常量）及2aa、2a ,电导率为。0。求（1）导电媒质上电位分布；（2）该情况下导电媒质的直流电阻Sol.由边界条件可知，导电

14、媒质上电位仅与坐标有关，即（1）1_dddudAlnUo及2aU0In 2撷2a)i-.V.'h（第 10题图）0 a 2axrdS直流电阻：RU0 1In 2J (aF)aU。2ln 2UoI2ln 2I0第5章电磁波的辐射1.复数形式的麦克斯韦方程中两个旋度方程为2.坡印亭矢量S的瞬时表示式是，平均值是3.自由空间中时变电磁场的电场满足的波动方程为2E& k2僅 0 。2e0 ,这个方程在正弦 t电磁场的情况下变为4.在无损耗的均匀媒质2H中，正弦电磁场的磁场满足的亥姆霍兹方程为5.6.7.8.9.(A)(C)k2Hk2k2(B) k2(D) k2在时变电磁场中，磁感应强度

15、电场强度E与位的关系为已知某一理想介质流复矢量为J&drex J 0 cos(A) ex -cosnye jj a(C) Ex 虫sin nye j j a电偶极子天线的功率分布与(a) sin22(c) cos自由空间的原点处的场源在 函数(a) t(b) tc在球坐标系中,.2/ 、 sin(a)B与位的关系为E r上 t01中)时谐电磁场的角频率为nyejza、Jo皆为常数。则电场强度复矢量，位移电書为(B)(D)r J0 n excos 一 ej4 0 arJ0.nexSin 一 eXj4 0答案:的关系为(b) sin(d) cost时刻发生变化，此变化将在时刻影响到r处的位

16、(c)(d)任意c电偶极子的辐射场(远区场)sin(b)r(c)的空间分布与坐标的关系是sinsin2(d)-T-10. 一均匀平面波垂直入射至导电媒质中并在其中传播，则(A)不再是均匀平面波。(B)空间各点电磁场振幅不变(C)电场和磁场不同相。(D)传播特性与波的频率无关。答案：C11.下列电场强度所对应的电磁波为线极化方式的是（A）&10 e j z ery10j e（C）E& 6x10 e j z &10 e j(B)(D)H e 10 e j zH 6x10 e j zey10j e j zey10 e j z 答案：C12、已知真空中某时谐电场瞬时值为复矢量表

17、示式和功率流密度矢量的平均值。E(x, z,t)e sin(10 x) cos(t kzZ）。试求电场和磁场解：所给瞬时值表示式写成下列形式E(x,z,t) Re(?ysin(10 x)e jkzzej t因此电场强度的复矢量表示为E（x,z） ey sin（10 x）e jkzz由麦克斯韦方程组的第二个方程的复数形式可以计算磁场强度的复矢量为exE&zxH e Hy j 0 xyEyzEz sin (100x) ez 卫-cos(10 x) e jkzz0功率流密度矢量的平均值Sav等于复坡印廷矢量的实部，即Sav Re(S) 1Re(E& t&)1 e Re E2

18、H* :1Re(e：EyHZ lReex5±z2: jezsin2(10 x)2 0ezEyH：)sin(20 x)0ez13、已知真空中时变场的矢量磁位为 求：（1）电场强度E和磁场强度A(z,t)H ； (2)解：（1）把矢量磁位的瞬时值表示为A(乙 t)ez Ez Hzsin2(10 x)0ExAo cos（ t kz）坡印廷矢量及其平均值。Re(?xA0e jkzej t?Ae验A之间关系可以求出则矢量磁位的复数形式为Au)根据磁场强度复数形式H&与矢量磁位复数形式2SavRe(S 2Re(# 职ez严exeyezH(z)-(0A)丄yA&zA&ey(

19、 jkAo)e jkz磁场强度的瞬时值为根据麦克斯韦方程组的第一个方程 间关系为H(z,t)re (kAo)cos(Hr kz 2) D&，此时J0，电场强度与磁场强度之E(z)丄(H5电场强度的瞬时值为E(z,t)RerexreyrezyHxHyzHzH&ye,e jkzz I2ex 仏 cos(t kz 2)(2)坡印廷矢量为I 3八2 k Ao2cos ( t kz -) e?z2.3.2k A02 , X I、cos ( t kz )坡印廷矢量的平均值为第6章、均匀平面波的传播1.则它们两个同频率、同方向传播，极化方向相互垂直的线极化波的合成波为圆极化波, 的振幅 相同

20、 ，相位相差/ 2 O2.均匀平面波垂直入射到理想导体表面上, 相位相差反射波电场与入射波电场的振幅相等3.均匀平面波从空气垂直入射到无损耗媒质射系数为1 / 5r 2.25, r 1,0表面上，则电场反4.在自由空间传播的均匀平面波的电场强度为E ex100cos20 z V/m，则波的5.传播方向为+Z ，频率为 3X109 HzrX方向的线极化波，对应的磁场为Hr r 5000", 2 亭矢量sav为 %o均匀平面波电场方向的单位矢量eE 磁场方向的单位矢量 即以及传播方向的单位矢量r r ren eE eH_，波长为 0.1mCQS t 20 z A/m ，平均坡印，波的极化

21、方式为沿6.e三者满足的关系是损耗媒质的本征阻抗为，表明损耗媒质中电场与磁场在空间同一位置存在着 相位差，损耗媒质中不同频率的波其相速度不同，因此损耗媒质又称为 色散 媒质。7.设海水的衰减常数为，则电磁波在海水中的穿透深度为,在此深度上电场的振1幅将变为进入海水前的e o8.在良导体中，均匀平面波的穿透深度为(a) F(c)产« 4(d) J 9.在无源的真空中，已知均匀平面波的 常矢量，则必有 C OE E0e j z和 HHoej z，其中的E0和H0为10.r ezE。0；(b) ezH00;(c) E。H&00; (d)E0 H。0以下关于导电媒质中传播的电磁波的叙

22、述中，正确的是 不再是平面波电场和磁场不同相振幅不变以TE波的形式传播(b)(c)(d)11、已知空气中存在电磁波的电场强度为EeyE0 cos(6试问：此波是否为均匀平面波？传播方向是什么？求此波的频率、波长、相速以及对应 的磁场强度H。108t 2 z) V/m解：均匀平面波是指在与电磁波传播方向相垂直的无限大平面上场强幅度、 同的电磁波。电场强度瞬时式可以写成复矢量E&= kyEoe验E相位和方向均相该式的电场幅度为 E0，相位和方向均不变，且 传播方向为沿着由时间相位波的频率 波数krez0 E& ez，此波为均匀平面波。波长相速Vp由于是均匀平面波,z方向。t 6f2

23、2Vdzdt因此磁场为108t6108108 Hz10 m/s亠e E)ZWexzwE0ejkz12、在无界理想介质中，均匀平面波的电场强度为r质的r 1，求r，并写出H的表达式。解：根据电场的瞬时表达式可以得到2exE0si n(2108t 2 z)，已知介Jr r J 0 0108，k2 ，而kc电场强度的瞬时式可以写成复矢量为E& exE0e j2 z j波阻抗为Zw 匸40，则磁场强度复矢量为j2因此磁场为ZWj2r E0ey 莎sin(2108t 2z)13、铜的电导率5.8 107 S/m， r波长、透入深度及其波阻抗。f 1MHz ； (2) f 100 MHz ；36求

24、下列各频率电磁波在铜内传播的相速、(1)10GHz解：已知10 9 F/m 和 0410 7 H/m，那么1.044 1018(1)当 f1 MHz 时,1.044 10121，则铜看作良导体，衰减常数 和相位常数 分别为15.132jf 15.132 103相速：Vp4.152 10 4Jf0.4152 m/s波长:4.152 10 4 m2波阻抗：ZWh(1j)2.6110 7(1j)jf 2.6110 4(1j)(2)当 f100 MHz时,1.04410101，则铜仍可以看作为良导体，衰减常数相位常数分别为J215.132jf 15.132 104相速：Vp4.15210v?4.152

25、 m/s波长：24.152105 m透入深度：1-6.6106 m波阻抗：ZWIj)2.6110 7(1j)jf 2.6110 3(1j)透入深度:1.044 1081 ,则铜看作良导体,衰减常数和相位常数当f 10 GHz时,别为16.6 10 5 m相速：V P 4.15210V?41.52 m/s波长：24.152106 m透入深度：1-6.6107m波阻抗：ZW上（1j)2.6110 7(1 j)jf 2.61 10 2(1 j)1054S/m，衰减常数和波阻抗。r 81，15.132/?15.13214、海水的电导率 电磁波的波长、1036解：已知10 9 F/m 和(1)当 f10 kHz 时,18f 9109 8相位常数分别为r 1，求频率为 10 kHz、10 MHz 和 10 GHz10 7 H/m，那么待 109。1051，则海水可看作良导体， 衰减常数片彳9710 V?0.397相速：Vp1.582 10