广义S变换与薄互层地震响应分析

1、第46卷第4期2003年7月 地球物理学报CHINESEJOURNALOFGEOPHYSICS Vol.46,No.4 July,2003广义S变换与薄互层地震响应分析高静怀 陈文超 李幼铭 田 芳2中国科学院地质与地球物理研究所,北京 1000293大庆油田公司勘探开发研究院方法室,大庆 16371211231西安交通大学电子与信息工程学院波动与信息研究所,西安 710049摘 要 Stockwell等人提出的S变换虽然与Fourier谱能保持直接联系,然而,由于S变换中的基本小波不适用于地震资料处理.为此本文采用两个步骤对S变换加以推广,得到两种新变换(统称为广义S变换).首先,用带有4个

2、待定参数的调幅简谐波来代替S变换中的基本小波,定义广义S变换1,给出对应的逆变换;然后,以第一步中的基本小波的线性组合为新的基本小波,定义广义S变换2,并构造其逆变换公式.最后,分别使用S变换及广义S变换对几种典型的薄互层模型进行分析计算.结果表明,后者比前者有更强的探测能力,后者可准确地确定厚度为1P8波长的薄互层中波阻抗界面位置,但前者却不能.文中还用实际资料处理的结果,证明了广义S变换方法的有效性.关键词 S变换 广义S变换 小波变换 薄互层探测 地震响应分析文章编号 0001-5733(2003)04-0526-07 中图分类号 P631 收稿日期 2002-03-08,2003-03

3、-07收修定稿GENERALIZEDSTRANSFORMANDSEISMICRESPONSEANALYSISOFTHININTERBEDSGAOJINGHUAI1 CHENWENCHAO1 LIYOUMING2 TIANFANG31 InstituteofWaveandInformation,SchoolofElectronicandInformationEngineering,Xi.anJiaotongUniversity,Beijing710049,China2 InstituteofGeologyandGeophysics,ChineseAcademyofScience,Beijing1

4、00029,China3 InstituteofExplorationandExploitationforOil,DaqingOilFieldLimitedCompany,Daqing163712,ChinaAbstract Stransform(ST)proposedbyStockwelletal.istheuniquetransformthatprovidesfrequency-dependentresolutionwhilemaintainingadirectrelationshipwiththeFourierspectrum.Thisfeatureisveryimportantfora

5、pplications.However,theSTcan.tworkwellforseismicdataanalysissinceitsbasicwaveletisnotappropriate.Inthispaper,theSTisgeneralizedwithtwosteps,andtwokindsofnewtransformsareobtained,whicharecalledgeneralizedStransform(GST).First,thebasicwaveletinSTisreplacedbyamodulatedharmonicwavewithfourundeterminedco

6、efficients,andthenanewtransformanditsinversearegiven,calledGST1.Second,takingalinearcombinationofthebasicwaveletsinstep1asanewbasicwavelet,calledGST2,anditsinverseisconstructed.TocompareSTandGST,theSTandGSTmethodsareusedtoanalyzeseveraltypicalmodelsofthinbeds,respectively.TheresultsshowthatGSThasabe

7、tterresolutionthanST.TheGSTmethodscandeteminethelocationofinterfacesofacousticimpedanceinthinbedsofthicknessbeingonlyaneighthwavelength,whileSTmethodcan.t.Inthisstudy,theeffectivenessofGSTmethodisalsoverifiedbyrealdata.Keywords Stransform,GeneralizedStransform,Wavelettransform,Detectionofthinbeds,Se

8、ismicresponseanalysis.基金项目 国家自然科学基金项目(40174032),科技部和国家自然科学基金重大项目(49894190).作者简介 高静怀,男,1960年生,1997年于西安交通大学获博士学位,教授,博士生导师.主要从事复杂介质中地震波传播与成4期 高静怀等:广义S变换与薄互层地震响应分析527定义1 引 言Stockwell等提出的S变换是以Morlet小波为基本小波的连续小波变换的延伸.在S变换中,基本小波是由简谐波与Gaussian函数的乘积构成的,基本小波中的简谐波在时间域仅作伸缩变换,而Gaussian函数则进行伸缩和平移。这一点与连续小波变换不同.在连续

9、小波变换中,简谐波与Gaussian函数进行同样的伸缩和平移.与连续小波变换、短时Fourier变换等时间-频率域分析方法相比,S变换有其独特的优点,譬如:信号的S变换的时-频谱的分辨率与频率(即尺度)有关,且与其Fourier谱保持直接的联系,基本小波不必满足容许性条件等等.众所周知,信号的时间-频率域分布特性既与信号本身有关,也与所选用的基本小波有关.因此,根据对信号做时间-频率域分析的目的,恰当地选择或构造基本小波是十分重要的25,81wf(t)=exp(-tfP2-i2Pft)2P(3a)22=gf(t)exp(-i2Pft).其中,fexp(-tfP2),(3b)2P式中,wf(t)

10、为广义S变换中的小波函数(或称为核gf(t)=函数),gf(t)为其模,h(t)为待分析的信号(或函数),f、t和S均为实数.则(1)式可写为S(S,f)=Qh(t)g(t-fS)exp-i2Pdt.(4)h(t)的S变换谱与其Fourier变换谱有如下关系QS(S,f)dS=-h(f),这里,h(f)表示h(t)的Fourier变换.S变换的逆变换为h(t)=2P-.然而,S变换中基本小波是固定的,这使其在应用中受到限制,在有些情况下不适用.例如,在地震资料处理中,准确地确定反射界面的位置(即确定反射系数的位置)是十分重要的,用S变换进行薄层分析,效果不能令人满意(参见本文第4部分),因此,

11、有必要对S变换加以发展.本文将对S变换进行推广以得到广义S变换.构造一大类可用作广义S变换中基本小波的函数,给出相应的反变换公式;把S变换及广义S变换用于薄互层分析,通过算例对两种方法进行比较,文中还给出广义S变换方法用于实际资料处理实例,以检验其有效性.S(S,f)dexp(i2Pft)df.-(5)3 广义S变换针对地震信号的特点把基本小波推广为(t-B)-i2Pf0,w(t)=Aexp-A(6)式中,A为基本小波的幅度,A为能量衰减率(A>0)(在后面的数值算例中,取A=2R,R>0),B为能量延迟时间,f0为基本小波的视频率.定义wf(t)=Afexp-A(ft-B)-i2

12、Pf0f,=gf(t)exp(-i2Pf0ft),(7a)2 S变换Stockwell的S变换表述如下:设函数h(t)IL(R) (L(R)表示能量有限函数空间),h(t)的S变换定义为S(S,f)=1其中,gf(t)=Afexp-A(ft-B).(7b)广义S变换1:设函数h(t)IL(R),w(t)由(6)式给出,h(t)相对于w(t)的广义S变换定义为Qh(t)-(t-S)fP2-P(1)S(f,S)=Qg(t-ff0fdt,S)h(t)exp-i2P(8)i2Pftdt.在S变换中,基本小波函数为w(t)则广义S变换的反变换公式为=f0IFT(9)y(f)(t),f0Ay(h528地球

13、物理学报(ChineseJ.Geophys.) 46卷y(f)=Q-S(S,f)dS=A(ff0).(10)则,反变换为h其中y(f)=f0=f0IFT(y(f)(t),A(13)当wf(t)由(3a)及(3b)式定义时,(8)式归结到(1)式,广义S变换回到S变换.上述结论的证明见附录A.对第1种形式的广义S变换中的基本小波加以推广,有如下结果.广义S变换2:2设函数h(t)IL(R),取基本小波为w(t)=EAkkkh(ff0),k.k(14)A=EAkEAk-Ak(t-Bk)-i2Pf0t2k上述结论的证明见附录B.(11)=g(t)exp-i2Pf0,这里Ak、Bk与Ak均为待定参数,

14、g(t)=4S变换及广义S变换用于薄互层地震响应分析4.1 模型Ricker子波在地震资料分析中是很常用的子波,为了比较S变换及广义S变换的薄层分辨率,从考察单个Ricker子波在两种变换下的能量分布开始.EAk-Ak(t-Bk)kf2,函数h(t)相对于w(t)的广义S变换定义为S(S,f)=Qg(t-S)h(t)exp-i2Pf0dt,(12)图1 Ricker子波在S变换及广义S变换下的分布(a)细实线表示信号S(t)为Ricker子波,散点表示逆S变换的结果Sc(t);(b)S变换的结果;(c)s(t)-sc(t),重构信号的平均绝对误差为8.6810-4;(d)对应图b中频率为355

15、Hz分量;(e)对应图b中频率为475Hz的分量;(f)广义S变换的结果;(g)对应图(f)中频率为355Hz分量;(h)对应图(f)中频率为475Hz的分量.Fig.1 Thetime-frequencyenergydistributions(TFED)ofRickerwavelet4期 高静怀等:广义S变换与薄互层地震响应分析529图2 双反射界面模型的合成地震记录的S变换及广义S变换(a)反射系数序列,两个反射系数之间的间隔为5ms;(b)合成记录,地震子波为50Hz的Ricker子波;(c)图b的S变换;(d)图b的广义S变换;(e)图c中f=475Hz的频率分量;(f)图d中f=47

16、5Hz的频率分量.Fig.2 TFEDofsyntheticseismicdataoftworeflectioncoefficientsviaSTandGST图3 衰减余弦子波的广义S变换(a)50Hz衰减余弦子波w(t)=exp-f2c(t-LP2)cos(2Pfc(t-LP2),fc=50,L=1024ms;(b)广义S变换得到的能量分布;(c)对应图b中f=440Hz的频率分量.Fig.3 TFEDofattenuationcosinewaveletviaGST图1为Ricker子波在两种变换下的结果.由图可见,两种变换的逆变换精度都较高.为了对比分辨率,同时给出了S变换及广义S变换中频

17、率分别为355Hz及475Hz时的相应分量.对比相应分量可见,当频率较高时,S变换的能量分布曲线发生畸变,而广义S变换的能量分布曲线有很好的局部化特性.因此,广义S变换较S变换有更好的分辨率.为了进一步比较二者对薄层的分辨能力,制作了双反射界面,S变换方法无法确定反射系数的位置,而利用广义S变换方法可精确定位,说明广义S变换有更高的分辨率.前面的算例中,使用的地震子波均为Ricker子波,使用本文的方法可以准确地确定厚度为KP8(K为地震波的波长)的薄层中反射界面位置.Ricker子波的波峰及波谷较少,且主极大幅度值与次极大幅度值差别较9大,而实际记录中子波震荡周期数较多,主极大与次530地球

18、物理学报(ChineseJ.Geophys.) 46卷图4 衰减余弦子波合成地震记录的广义S变换(a)合成地震记录,其中地震子波同图3,两反射系数均为0.5,相距8ms,第一个反射系数位于500ms处;(b)用广义S变换得到的能量分布;(c)对应图(b)中f=350Hz频率分量;(d)图c中突变点附近部分的放大显示.(e)在广义S变换域定义新的测度而得到的图a的时-频域分布;(f)图e中对应频率为400Hz分量的放大显示.Fig.4 TFEDofsyntheticseismicdataviaGSTusingattenuationcosinewavelet(以下称为衰减余弦子波).图3示出了这类

19、子波在广义S变换下的能量分布特征,与Ricker子波相比,衰减余弦子波在时-频域支集宽,分辨率较Ricker子波低.图4(bd)示出了广义S变换对这类子波合成地震记录的处理结果.由图可见,当两个余弦子波相距8ms时,广义S变换方法能识别出两个反射波,但确定出的反射界面的位置误差较大(大于4ms).为了提高精度,可以在广义S变换域中定义新的度量参数.图4(e,f)为在广义S变换域定义一种新的参数得到的结果,该参数能细致地刻画不同尺度间信号的变化(关于这种新参数的定义及性质将专文讨论).由图4f可见,这种方法能精确地确定出反射界面的位置.图5是一个薄互层模型的例子,关于模型的详细说明见该图注.图中

20、箭头处薄层的厚度为3ms,图5 薄互层模型的广义S变换(a)反射系数序列,反射系数大小均为0.5,正负相间,反射系数间的时间间隔从上到下依次为:1、2、3、4、5、6、7、8、9ms等;(b)合成记录,其中地震子波采用主频为50Hz的Ricker子波;(c)广义S变换得到的能量分布;(d)检测出的反射系数的时间位置.即1P6视周期(KP12).由图可见,利用广义S变换方法可以把厚度大于KP12的层的相应的反射系数的位置精确地检测出来.4.2 实际资料图6是一个实际资料处理例子.图6a是某油田的一条水平叠加剖面的一部分,图6b是用广义S变换方法处理后的结果.对比处理前后两剖面上D(Fig.5 T

21、FEDofthininterbedsviaGST)tt22104期 高静怀等:广义S变换与薄互层地震响应分析531处)、地层的透镜状结构(B处)、透镜状结构加地层尖灭(C处)及地层间断(D处)非常清晰,但在原始剖面上,不能准确地定位及解释.图6 实测地震记录的广义S变换分析(a)地震记录;(b)经广义S变换方法处理后的结果.Fig.6 TherealseismicdatageologicalstructuredetectingvisGST心感谢.5 结 论附录A 广义S变换1的证明本文对S变换作了推广,给出的基本小波中含有四类待定参数(振幅、能量衰减率、能量延迟时间及视频率等).根据所处理问题

22、的需要,通过选择这些待定参数,可望构造出适合该问题的基本小波.文中的典型算例表明,恰当地选择基本小波,广义S变换可望成为地震资料处理中薄层(特别是薄互层)分析的有力工具.本文算例中地震子波采用零相位子波,在基本小波中取B=0,对非零相位子波或更复杂的子波,需恰当的选择A及B等参数,甚至需要用广义S变换2来解决问题.这方面的研究正在进行中.本文中举例只是为了说明广义S变换的有效性,没有讨论在广义S变换域如何得到更高的分辨率问题,也没有讨论广义S变换的性质及其与短时Fourier变换、小波变换的比较等问题,关于上述问题,将专文讨论.感谢大庆油田研究院陈树民总工程师、张尔华、单延明等对该项研究工作的

23、支持与合作.李世雄教y(f)=即注意到可得注意到8先考察QS(S,f)dS.事实上,QS(S,f)dS=AQh(t)fexp-i2PfQ-Af(t-S)-dt2dS,(A1)Q-Af(t-S)-2dS=22,(A2)QQh(t)-S(S,f)dS=Afexp-i2Pff0dt=Ah(ff0).h(ff0). (A3)Q-S(S,f)dS=AS(S,f)dS=A532则有h(f0f)=两边做Fourier逆变换,得IFT(h(f0f)(t)=IFT1A1Ay(f).地球物理学报(ChineseJ.Geophys.) 46卷参考文献(A4)1 StockwellRG,MansinhaL,LoweR

24、P.Localizationofthecomplexspectrum:theStransform.IEEETran.OnSignalProcessing,1996,17:99810012 FargeM.Wavelettransformsandtheirapplicationstoturbulence.Ann.Rev.FluidMech.,1992,24:3954573 GrossmannA,MartinentRK,MorletJ.ReadingandunderstandingcontinuouswaveletTransforms.2204 高静怀,汪文秉,朱光明等.地震资料处理中小波函数的选取

25、.地球物理学报,1996,39(3):392400GAOJinghuai,WANGWenbing,ZHUGuangming,etal.Onthechoiceofwaveletfunctionsforseismicdataprocessing,ChineseJ.Geophys.,1996,39(3):3924005 GAOJinghuai,LIYouming,CHENWenchao.Ontheinstantaneousattributesanalysisofseismicdataviawavelettransform.ExpandedAbstractsoftheTechnicalProgram,SEG68thAnnualMeeting,1998,10841087In:Wavelets,Time-frequencyMethodandPhaseSpace.1stInt.WaveletsConf.,Marseille,1989,y(f)(t),y(f)(t).(A5)根据Fourier变换的性质,由(A5)式可得h证毕.tf0