现代控制理论知识点复习

1、第一章 控制系统的状态空间表达式状态空间表达式x Ax Buu: r 1 y:m 1 A:n n B:n r C:m n D :m r y Cx DuA 称为系统矩阵，描述系统内部状态之间的联系；B为输入（或控制）矩阵，表示输入对每个状态变量的作用情况；C 输出矩阵，表示输出与每个状态变量间的组成关系，D 直接传递矩阵，表示输入对输出的直接传递关系。2 .状态空间描述的特点考虑了“输入状态输出”这一过程，它揭示了问题的本质，即输入引起了状态的变化，而状态决定了输出。状态方程和输出方程都是运动方程。状态变量个数等于系统包含的独立贮能元件的个数，n 阶系统有n 个状态变量可以选择。状态变量的选择不

2、唯一。从便于控制系统的构成来说，把状态变量选为可测量或可观察的量更为合适。建立状态空间描述的步骤：a 选择状态变量；b 列写微分方程并化为状态变量的一阶微分方程组；c 将一阶微分方程组化为向量矩阵形式，即为状态空间描述。状态空间分析法是时域内的一种矩阵运算方法，特别适合于用计算机计算。3 .模拟结构图（积分器 加法器 比例器）已知状态空间描述，绘制模拟结构图的步骤：积分器的数目应等于状态变量数，将他们画在适当的位置，每个积分器的输出表示相应的某个状态变量，然后根据状态空间表达式画出相应的加法器和比例器，最后用箭头将这些元件连接起来。4 .状态空间表达式的建立 由系统框图建立状态空间表达式：a

3、将各个环节（放大、积分、惯性等）变成相应的模拟结构图；b 每个积分器的输出选作x i ，输入则为xi ； c 由模拟图写出状态方程和输出方程。 由系统的机理出发建立状态空间表达式：如电路系统。通常选电容上的电压和电感上的电流作为状态变量。利用 KVL 和 KCL 列微分方程，整理。由描述系统的输入输出动态方程式（微分方程）或传递函数，建立系统的状态空间表达 式，即实现问题。实现是非唯一的。方法：微分方程系统函数模拟结构图状态空间表达式。注意： a 如果系统函数分子幂次等于分母幂次，首先化成真分式形式，然后再继续其他工作。b 模拟结构图的等效。如前馈点等效移到综合反馈点之前。c 对多输入多输出微

4、分方程的实现，也可以先画出模拟结构图。5 状态矢量的线性变换。也说明了状态空间表达的非唯一性。不改变系统的特征值。特征多项式的系数也是系统的不变量。特征矢量pi 的求解：也就是求（ i I A）x 0的非零解。状态空间表达式变换为约旦标准型(A为任意矩阵)：主要是要先求出变换矩阵。a互异根时，各特征矢量按列排。b有重根时，设3阶系统，1= 2, 3为单根，对特征矢量Pl , P3求法与前面相同，P2称作1的广义特征矢量，应满足(lI A)P2 Pl。系统的并联实现：特征根互异；有重根。方法：系统函数部分分式展开模拟结构图状态空间表达式。6 .由状态空间表达式求传递函数阵 W(s)W(s) C(

5、sI A) 1 B D m r的矩阵函数Wj Wj表示第j个输入对第i个输出的传递 关系。W(s) o方法：画出状态空间表达式不唯一，但系统的传递函数阵 W(s)是不变的。子系统的并联、串联、反馈连接时，对应的状态空间表达及传递函数阵 系统结构图，理清关系，用分块矩阵表示。第二章 控制系统状态空间表达式的解.线性定常系统齐次状态方程(xAx)的解：x(t)Atex0.矩阵指数函数状态转移矩阵1.(t) eAt表示x(0)到x(t)的转移。5个基本性质。a定义；b变换为约旦标准型(或J)1AtT AT ,e TetT 1 或 TeJtT 1c用拉氏反变换eAt L1(sI A)1记忆常用的拉氏变

6、换对11 at1;1(t)-;t ;eats s;tnn! j at f；怕s1 人；T?；sin(s a)-2； cos tsd应用凯莱-哈密顿定理.线性定常系统非齐次方程(x Ax Bu)的解：x(t) (t)x(0)(t )Bu( )d。先求eAt ,然后可由拉氏变换法证明(当然给出拉氏变换法的求解思路)。求解步骤: 将B和u代入公式即可。特殊激励下的解。第三章 线性控制系统的能控性和能观性.能控性及能观性定义(线性连续定常).线性定常系统的能控性判别(具有一般系统矩阵的多输入系统)判别方法(一)：通过线性变换x Ax Bu z T 1ATz T 1Bu1 .若A的特征值互异，线性变换（

7、x Tz）为对角线标准型,T 1 AT ，能控性充要条件：T 1B没有全为0的行。变换矩阵T的求法2 .若A的特征值有相同的，线性变换（x Tz）为约当标准型，J T 1AT ,能控性充要条件：对应于相同特征值的部分，每个约当块对应的T 1B中最后一行元素没有全为 0的。 T 1B中对应于互异特征根部分，各行元素没有全为 0的。变换矩阵T的求法这种方法能确定具体哪个状态不能控。但线性变换比较复杂，关键是求T 、 T 1 、1T 1B。判别方法（二）：直接从A, B判别x Ax Bu 能控的充要条件是能控性判别矩阵M （B,AB,A eAt的计算:B, An 1B） 的秩为n。而多输入系统，M

8、是一个 nnr 的矩阵，可通过rankM rank ( MM T )在单输入系统中，M 是一个 n n 的方阵；三.线性定常系统的能观性判别判别方法（一）：通过线性变换x Axy Cxz T 1ATz y TCzT 1 AT ，能观性充要条1 .若A的特征值互异，线性变换（x Tz）为对角线标准型,件： TC 中没有全为0 的列。 变换矩阵T 的求法。2 .若A的特征值有相同的，线性变换（x Tz）为约当标准型，J T 1AT ,能控性充要条件：对应于相同特征值的部分，每个约当块对应的TC中第一列元素没有全为0的。对应于互异特征根部分，对应的 TC中各列元素没有全为0的。变换矩阵 T的求法。这

9、种方法能确定具体哪个状态不能观。但线性变换比较复杂，关键是求T 、 T 1 、TC 。判别方法（二）：直接从A, C判别CCA能观性的充要条件是能观性判别矩阵N CA 的秩为n。n1CA在单输入系统中，N 是一个 n n 的方阵；而多输入系统，N 是一个 nm n 的矩阵，可通过rankM rank（MM T ）六能控性与能观性的对偶原理1 .若 A2 AT, B2 CT, C2 B；,则 i（Ai,Bi,Ci）与 2（4,B2,C2）对偶。对偶系统的传递函数阵是互为转置的。且他们的特征方程式是相同的2 .1与2对偶，则1能控性等价于2能观性，1能观性等价于2能控性。七.能控标准型和能观标准型

10、对于状态反馈，化为能控标准型比较方便；对于观测器的设计及系统辨识，能观标准型 比较方便。1 .能控标准I型（如果已知系统的状态空间表达式）判别系统的能控性。计算特征多项式| I A| n an1 n1a1a。，即可写出Ao求变换矩阵Tc1P1rAn 1 _.P1 0,0, ,1b, Ab, A BT1 1 ,计算n 1PATci01b0cTd,也可以验证是否有1 .ATc1 ATc1。能观标准n型判别系统的能观性。计算特征多项式| IA|an 1a1即可写出求变换矩阵To2Ti,ATi, ,An1Ti , TiccA求T02,计算b T02ccT020 01 ,也可以验证是否有 AT02 AT

11、02。3.如果已知传递函数阵，可直接写出能控标准I型和能观标准II型的状态空间表达。0100000100Abc 000010a。a1a2an 110 00a001 00a11A0 10a2bc 0 0n 20 01an 1n 1能控标准I型:1能观标准n型:1八.线性系统的结构分解1.按能控性分解（状态不完全能控，即 rankMn1 n)通过非奇异变换x Rc完成。Rc Ri R2RniRn ,前ni个列矢量是M中1个线性无关的列，其他列矢量保证Rc非奇异的条件下是任意的。2,按能观性分解（状态不完全能观，即 rankN n n）,通过非奇异变换x几刀完成。RiR2Ro 1，前ni个行矢量是N

12、中ni个线性无关的行，其他行矢量保证 R 1非奇异的条件RniRn下是任意的。3.按能控性和能观性分解（系统是不完全能控和不完全能观的），采用逐步分解法，虽然 烦琐，但直观。步骤：首先按能控性分解（Xc能控状态，xc不能控状态）。对不能控子系统按能观性分解（Xco不能控能观状态，Xco不能控不能观状态）。将能控子系统按能观性分解（Xco能控能观状态，Xco能控不能观状态）。综合各步变换结果，写出最后的表达式。另一种方法：化为约当标准型，判断各状态的能控性能观测性，最后按 4种类型分类排列。九.传递函数阵的实现问题i.实现的定义：由 W（s）写出状态空间表达式，甚至画出模拟结构图，称为传递函数阵

13、的实现问题。条件：传递函数阵中每个元的分子分母多项式都是实常数；元是s的真有理分式。注意：如果不是有理分式，首先求出直接传递矩阵D lim W（s）os2,能控标准型和能观标准型实现单入单出系统，W（s）是有理分式，可直接根据分子分母多项式系数写出能控标准i型和能观标准2型实现。3.最小实现（维数最小的实现）x Ax Bu为W（s）最小实现的充要条件是 （A,B,C）是完全能控能观的。y Cx步骤：对给定的W（s）,初选一种实现（能控标准型或能观标准型），假设选能控标准型，判断是否完全能观测，若完全能观测则就是最小实现；否则进行能观性分解，进一步找出能控能观部分，即为最小实现。注意：传递函数阵

14、W（s）的实现不是唯一的，最小实现也不是唯一的。十.传递函数W(s)中零极点对消与能控性和能观性之间的关系对单输入系统、单输出系统或者单输入单输出系统，系统能控能观的充要条件是传递 函数没有零极点对消。而对多输入多输出系统，传递函数阵没有零极点对消只是最小实现 的充分条件，也就是说，即使存在零极点对消，系统仍有可能是能控能观的(p147例3-19)。对单输入单输出系统，若传递函数出现了零极点对消，还不能判断到底是不能控还是 不能观，还是既不能控又不能观。第四章 稳定性与李雅普诺夫方法1. 稳定性的定义李雅普诺夫给出了对任何系统都普遍适用的稳定性定义。1 .平衡状态X f(X,t)为齐次状态方程

15、。满足对所有 t,都有f(Xe,t) 0成立的状态矢量Xe称为系统的平衡状态。稳定性问题都是相对于某个平衡状态而言的。通常只讨论坐标原点处的稳定性。2 .稳定性的几个定义李雅普诺夫意义下稳定(相当于自控里的临界稳定)；渐近稳定(相当于自控里的稳 定)；大范围渐近稳定，大范围渐近稳定的必要条件是整个状态空间只有一个平衡状态； 不稳定。2. 李雅普诺夫第一法(间接法)1.线性定常系统的稳定判据状态稳定性：平衡状态Xe 0渐近稳定的充要条件是A的所有特征值具有负实部。输出稳定性：充要条件是传递函数的极点位于 s的左半平面。 2,非线性系统的稳定性线性化处理。x A X ; A ，若A的所有特征值具有

16、负实部，则原非线性系 X X Xe统在平衡状态Xe渐近稳定。若A的所有特征值至少有一个具有正实部，则原非线性系统在平衡状态Xe不稳定。若若A的所有特征值至少有实部为零，则稳定性不能有特征值的符号来确定。三.李雅普诺夫第二法(直接法)借助于一个李雅普诺夫函数来直接对平衡状态的稳定性做出判断。1.预备知识V(x)是由n维矢量X定义的标量函数，且在X 0处，恒有V(x) 0,对任何非零矢量X,如果V(x) 0,则称之为正定；如果V(x) 0,则称之为负定；如果 V(x) 0则称之为半正定或非负定；如果 V(x) 0则称之为半负定或非正定；如果 V(x) 0或V(x) 0,则称之为不定。V(x) xT

17、Px为二次型标量函数，P为实对称阵。要判别V(x)的符号只要判别P的符号 即可。P的定号判据(希尔维特斯判据)：首先求出P的各阶顺序主子式i ,若所有的i 0 ,则P (V(x)正定；若i偶数的i 0 , i奇数的i 0则P (V(x)负定； 2.李雅普诺夫函数对于一个给定系统，如果能找到一个正定的标量函数V(x),而V(x)是负定的，则这个系统是渐近稳定的，这个标量函数V(x)叫做李雅普诺夫函数。李雅普诺夫第二法的关键问题就是寻找李雅普诺夫函数V(x)的问题。3 .稳定性判据设x f(x),平衡状态为 xe 0,如果存在标量函数V(x)是正定的，即 x 0时，有V(x) 0, x 0时，有V

18、(x) 0,且满足V(x) 0,则称原点平衡状态是渐近稳定的；如果当网 时，V(x) ,则系统是大范围渐近稳定的。设x f(x),平衡状态为 xe 0,如果存在标量函数V(x)是正定的，即 x 0时，有V(x) 0, x 0时，有V(x) 0,且满足V(x) 0 ,但除x 0外，即x 0, V(x)不包等于0,则称原点平衡状态是渐近稳定的；如果当 | x 时，V(x) ,则系统是大范围渐 近稳定的。设x f(x),平衡状态为 xe 0,如果存在标量函数V(x)是正定的，即 x 0时，有V(x) 0, x 0时，有V(x) 0,且满足V(x) 0 ,但任意的x 0, V(x)恒等于0,则称 原点

19、平衡状态是李雅普诺夫意义下稳定的。设x f(x),平衡状态为 xe 0,如果存在标量函数V(x)是正定的，即 x 0时，有V(x) 0, x 0时，有V(x) 0,且满足V(x) 0,则称原点平衡状态是不稳定的。需要注意：这些判据定理知识充分条件，也就是说，没有找到合适的李雅普诺夫函数来证明原点的稳定性，不能说明原点一定是不稳定的。如果 V(x)是可找到的，那么通常是非唯一的，但不影响结论。 V(x)最简单的形式是二次型标量函数，但不一定都是简单的二次型。构造V(x)需要较多技巧。四.李雅普诺夫方法在线性系统中的应用一一线性定常连续系统渐近稳定判据定理：x Ax,若A是非奇异的，原点Xe 0是

20、唯一的平衡点。原点大范围渐近稳定的充要条件是对任意对称实正定矩阵 Q ,李雅普诺夫方程AT P PA Q ,存在唯一的对称正定 解P。该定理等价于A的特征值具有负实部。但高阶系统求解特征值复杂。步骤：选定正定矩阵Q,通常为Q I ,代入李雅普诺夫方程，确定出 P,判断是否正定，进而做出系统渐近稳定的结论。五.非线性系统的李雅普诺夫稳定性分析一一雅可比矩阵法步骤：x f(x),写出f(x),计算雅可比矩阵 J(x)，对给定正定矩阵 P (通常 XP I), Q(x)J(x)TP PJ(x)为正定的。并且V(x) fT(x)Pf (x)为系统的一个李雅普诺夫函数。第五章线性定常系统的综合一.线性反

21、馈控制系统的基本结构及其特性1 .状态反馈将系统的每一个状态变量乘以相应的反馈系数，然后反馈到输入端与参考输入相加，作为受控系统的控制输入。K称为状态反馈增益阵，r n0 设原受控系统0(A,B,C) , D=0O状态反馈闭环系统的状态空间表达式x (A BK)x Bv 简称 y Cxk (A BK,B,C)与原受控系统 0 (A,B,C)比较，状态反馈增益阵K的引入，并不增加系统的维数,但可以通过K的选择改变闭环系统的特征值，从而使获得所要求的性能。2 .输出反馈由输出端y引入输出反馈增益阵H (r m),然后反馈到输入端与参考输入相加，作为受控系统的控制输入。状态空间表达式为x (A BH

22、C )x Bvy Cx简称h (A BHC,B,C)通过H的选择也可以改变闭环系统的特征值，从而改变性能，但可供选择的自由度远 比K小(通常m n)。3 .从输出到状态变量导数x的反馈 从输出y引入反馈增益阵G (n m )到状态变量的导数x,所得状态空间表达式为x (A GC)x Bu简称h (A GC,B,C)y Cx通过G的选择也可以改变闭环系统的特征值，从而改变性能。以上三种反馈的共同点是，不增加新的状态变量，系统开环与闭环同维，其次，反馈增 益阵都是常数矩阵，反馈为线性反馈。4 .闭环系统的能控性与能观性a状态反馈不改变受控系统0 (A,B,C)的能控性，但不保证系统的能观性不变。b

23、输出反馈不改变受控系统0 (A,B,C)的能观性，但不保证系统的能控性不变。二.极点配置问题就是通过选择反馈增益矩阵，将闭环系统的极点恰好配置在根平面所期望的位置，以获得所希望的动态性能。只讨论单输入单输出系统1 .采用状态反馈对系统0 (A,b,c)任意配置极点的充要条件是完全能控。给定 (A,b,c),给定期望的极点，设计状态反馈控制器的方法：能控规范型法，适合于n 3。首先判断是否完全能控，是，则存在状态观测器。通 过线性变换x TiX化为能控标准1型，得到 一(A,b,C)。加入状态反馈增益矩阵K k0,ki, ,kn iL得到闭环系统一k (A bK,b,C)状态空间表达式，求出对应

24、的闭环特征多项式f( ) | I (A bK)| o由给定的期望极点，求出期望的闭环特征多项式* * * 一*、 一 一 f ( )( i )。将f()与f ()比较，即可得到K k,ki， ,kmo把对应与的K,通过K KTci 1k0,ki, ,kn io进一步画出模拟结构图。当阶次较低时，n 3 ,可直接由反映物理系统的A,b矩阵求状态反馈增益矩阵 K k0,k1, ,kn1,不通过非奇异变换，使设计工作简单。首先判断是否完全能控，是，则存在状态 观测器。加入状态反馈增益矩 阵K k0,k1, ,kn1,得到闭环系 统K (A bK,b,c)状态空间表达式，求出对应的闭环特征多项式f(

25、) | I (A bK)|。- - - 一 一 1. 一 - * * * 由给定的期望极点，求出期望的闭环特征多项式f ( )( i)。将f()与f ()比较，即可得到K k,k1, ,kn 1 o进一步画出模拟结构图。 注意，如果给定的是传递函数，则先画出其要求的模拟结构图，写出状态空间描述，然 后做其他工作。2 .米用输出反馈 不能任意极点配置，正是输出线性反馈的基本弱点。3 .采用从输出到 x的反馈 对系统 (A,b,c)任意配置极点的充要条件是完全能观。 、一、 . - . . 设计从输出到x的反馈阵G的问题就是其对偶系统设计状态反馈阵K的问题。方法：(1)能观标准型法，适合于n 3。

26、首先判断是否完全能观，是，则存在输出 反馈G。通过线性变换 x To2x化为能观标准2型，得到 一(A,b,c)。加入输出反馈增益矩阵G g0,g1, ,gn1:得到闭环系统一g (A Gc,b,C)状态空间表达式，求出对应的闭环特征多项式f( ) | I (A Gc)|。由给定的期望极点，求出期望的闭环特征多项式f()( i )。将f ()与f ()比较，即可得到G go，gi， ,gnJ。把对应与 的G,通过G %2Ggo,gi, ,gni。进一步画出模拟结构图。当阶次较低时，n 3 ,可直接由反映物理系统的A,c矩阵求状态 反馈增益矩阵 G go,gi, ,gni,不通过非奇异变换，使设

27、计工作简单。首先判断是否完全能观，是，则存在输出反馈G。加入从输出到 X的反馈增益矩阵G go，gi， ,gniL得到闭环系 统G (A Gc,b,c)状态空间表达式，求出对应的闭环特征多项式 f( ) | I (A Gc)|o 由给定的期望极点，求出期望的闭环特征多项式 f ( ) ( i )。将f()与f () 比较，即可得到G go，gi，,gmo进一步画出模拟结构图。三.系统镇定问题所谓系统镇定，是对受控系统0 (A,B,C)通过反馈使其极点均具有负实部，保证系统为渐近稳定。镇定问题是极点配置问题的一种特殊情况，它只要求把闭环极点配置在根平面的左侧， 而并不要求将闭环极点严格地配置在期

28、望极点上。状态反馈能镇定的充要条件是其不能控子系统为渐近稳定。输出反馈能镇定的充要条件是结构分解中能控能观子系统是输出反馈能镇定的，其余子 系统是渐近稳定的。输出到x的反馈实现镇定的充要条件是不能观子系统为渐近稳定。五.状态观测器作用：闭环极点的任意配置、系统解藕以及最优控制系统都离不开状态反馈。但状态变 量并不是都能直接检测，有些根本无法检测，这就提出状态观测或状态重构问题。龙伯格 提出的状态观测器理论，解决的状态重构问题，使状态反馈成为一种可实现的控制律。1 .定义：动态系统？以0的输入u和输出y作为输入量，产生一组输出量 ？逼近于x ,即 lim |x X| 0,则称？为0的一个状态观测

29、器。构造原则：0必须是完全能观或不能观子系统是渐近稳定的；？的输出？应以足够快的速度渐近于x； ?在结构上尽可能简单(具 有尽可能低的维数)，以便于物理实现。2 .等价性指标动态系统Ax Bu c?原系统x AxBuy cxx ? A(x ?)得至U x x eAt(x0 ?0)只要系统是稳定的，即A的特征值具有负实部，就可做到 ？与x是稳态等价的 3 .重构状态方程原因：系统的状态是不能直接量测的，因此很难判断是否有欠逼近于X；不一定能保证A的特征值均具有负实部。克服这个困难，用对输出量的差值 y ?的测量代替对状态误差 x 9的测量，当 lim |x 2| 0,有 lim|y 夕| lim

30、|cx c?| lim |c(x X) | 0。 tttt同时，引入反馈阵G,使系统的特征值具有负实部。状态重构方框图为p213 5.16(a)要求熟练记忆，这种状态观测器称为渐近观测器。状态观测器方程为A9Bu G(y ?)(A GC)欠Gy Bu 记为 ? C5? (A GC,B,G)这里的G称为输出误差反馈矩阵。可以证明，如果 A GC的特征值具有负实部，那么 状态误差x 2将逐渐衰减到0 ,即估计状态 0逼近于实际的状态x。逼近的速度取决于 G 的选择，即A GC的特征值的配置。4 .观测器的存在性对于完全能观测的线性定常系统，其观测器总是存在的。观测器存在的充要条件是0不能观子系统是

31、渐近稳定的。5 .观测器的极点配置定理：线性定常系统 0 (A, B,C),其观测器？ (A GC,B,G)可以任意配置极点，即具有任意逼近速度的充要条件是0 (A, B,C)完全能观测。极点配置方法：(1)能观标准型法，适合于n 3。首先判断是否完全能观，是，存 在观测器可以任意极点配置。通过线性变换x Tx化为能观标准2型，得到 一(A,b,C)。加入输出误差反馈阵 G g0,g1, ,gn/T,得到闭环系统状态空间表达式x) (A Gc)? Bu Gy),求出对应的闭环特征多项式 f( ) | I (A Gc)|0由给定的、 . * . * * .期望极点，求出期望的闭环特征多项式 f ( ) ( i )。将f()与f ()比较，即可 得到G g0,g1, ,gnJT。把对应与一的G,通过G tg g0,g1, ,gn/。得观测器方程，？ (A Gc)? Bu Gy或？ A? Bu G (y y) ,进一步画出模拟结构图。当阶次较低时，n 3,可由特征值不变原理求状态反馈增益矩阵 G g0,g1, ,gn 1,不 通过非奇异变换，使设计工作简单。首先判断是否完全能观，是，则存在观测器可以任 意极点配置。引入输出误差反馈矩阵G g0,g1, ,gn 1,得到观测器系统? (A Gc,B,G)状态空间表达式 ?