北师大版数学八年级下册1.4 第1课时 角平分线

1、教育精选.14角平分线角平分线第第 1 1 课时课时角平分线角平分线1复习角平分线的相关知识，探究归纳角平分线的性质和判定定理；(重点)2能够运用角平分线的性质和判定定理解决问题(难点)一、情境导入问题：在S区有一个集贸市场P，它建在公路与铁路所成角的平分线上， 要从P点建两条路，一条到公路，一条到铁路问题 1：怎样修建道路最短？问题 2：往哪条路走更近呢？二、合作探究探究点一：角平分线的性质定理【类型一】 应用角平分线的性质定理证明线段相等如图，在ABC中，C90，AD是BAC的平分线，DEAB于E，F在AC上，BDDF.求证： (1)CFEB； (2)ABAF2EB.解析：(1)根据角平分

2、线的性质，可得点D到AB的距离等于点D到AC的距离，即CDDE.再根据 RtCDFRtEBD，得CFEB；(2)利用角平分线的性质证明ADC和ADE全等得到ACAE，然后通过线段之间的相互转化进行证明证明： (1)AD是BAC的平分线，DEAB，DCAC，DEDC.在 RtDCF和 RtDEB中，BDDF，DCDE，RtCDFRtEBD(HL)CFEB；(2)AD是BAC的平分线，DEAB，DCAC，CDDE.在ADC与ADE中，CDDE，ADAD，ADCADE(HL)，ACAE，ABAEBEACEBAFCFEBAF2EB.方法总结： 角平分线的性质是判定线段相等的一个重要依据， 在应用时一定

3、要注意是两条“垂线段”相等变式训练： 见 学练优 本课时练习“课后巩固提升”第 6 题【类型二】 角平分线的性质定理与三角形面积的综合运用如图，AD是ABC的角平分线，DEAB，垂足为E，SABC7，DE2，AB4，则AC的长是()A6B5C4D3解析：过点D作DFAC于F，AD是ABC的角平分线，DEAB，DF教育精选.DE2，SABC124212AC27，解得AC3.故选 D.方法总结： 利用角平分线的性质作辅助线构造三角形的高， 再利用三角形面积公式求出线段的长度是常用的方法变式训练： 见 学练优 本课时练习“课后巩固提升”第 3 题【类型三】 角平分线的性质定理与全等三角形的综合运用如

4、 图所 示，D是 ABC外 角ACG的平分线上的一点DEAC，DFCG，垂足分别为E，F.求证：CECF.解析：由角平分线上的性质可得DEDF，再利用“HL”证明 RtCDE和 RtCDF全等， 根据全等三角形对应边相等证明即可证明：CD是ACG的平分线，DEAC，DFCG，DEDF.在 RtCDE和 RtCDF中，CDCD，DEDF，RtCDERtCDF(HL)，CECF.方法总结：全等三角形的判定离不开边， 而角平分线的性质是判定线段相等的主要依据，可作为判定三角形全等的条件变式训练： 见 学练优 本课时练习“课堂达标训练”第 4 题探究点二：角平分线的判定定理【类型一】 角平分线的判定如

5、图，BECF，DEAB的延长线于点E，DFAC于点F，且DBDC，求证：AD是BAC的平分线解析：先判定 RtBDE和 RtCDF全等，得出DEDF，再由角平分线的判定可知AD是BAC的平分线证明： DEAB的延长线于点E，DFAC于点F， BEDCFD， BDE与CDF是直角三角形在 RtBDE和 RtCDF中，BECF，BDCD，RtBDERtCDF(HL)，DEDF.DEAB，DFAC，AD是BAC的平分线方法总结： 证明一条射线是角平分线的方法有两种： 一是利用三角形全等证明两角相等； 二是角的内部到角两边距离相等的点在角平分线上变式训练： 见 学练优 本课时练习“课堂达标训练”第 7

6、 题【类型二】 角平分线的性质和判定的综合如图所示，ABC中，ABAC，AD是BAC的平分线，DEAB，DFAC，垂足分别是E、F.下面给出四个结论，AD平分EDF； AEAF； AD上的点到B、C两点的距离相等；到AE、AF距离相等的点，到DE、DF的距离也相等其中正确的结论有()A1 个B2 个C3 个D4 个解析：由AD平分BAC，DEAB，DFAC可 得DEDF， 由 此 易 得ADEADF，故ADEADF，即AD平分EDF正确；AEAF正确；中垂线上的点到两端点的距离相等， 故正确； 到AE、AF距离相等的点， 在BAC的角平分线AD上， 到DE、DF的距离相等的点在EDF的平分线D

7、A上， 两者同一条直线上， 所以到DE、DF的距离也相等正确，故正确；都正确故选 D.方法总结： 运用角平分线的性质或判定时，可以省去证明三角形全等的过程，可以直接得到线段或角相等变式训练： 见 学练优 本课时练习“课教育精选.后巩固提升”第 4 题【类型三】 添加辅助线解决角平分线的问题如图，ABC的ABC和ACB的外角平分线交于点D.求证：AD是BAC的平分线解析：分别过点D作DE、DF、DG垂直于AB、BC、AC，垂足分别为E、F、G，然后利用角平分线上的点到角两边的距离相等可知DEDG， 再利用到角两边距离相等的点在角平分线上来证明证明：分别过D作DE、DF、DG垂直于AB、BC、AC

8、， 垂足分别为E、F、G.BD平分CBE，DEBE，DFBC，DEDF.同理DGDF，DEDG，点D在BAC的平分线上， AD是BAC的平分线方法总结：在遇到角平分线的问题时，往往过角平分线上的一点作角两边的垂线段，利用角平分线的判定或性质解决问题变式训练： 见 学练优 本课时练习“课后巩固提升”第 7 题【类型四】 线段垂直平分线与角平分线的综合运用如图，在四边形ADBC中，AB与CD互相垂直平分，垂足为点O.(1)找出图中相等的线段；(2)OE，OF分别是点O到CAD两边的垂线段，试说明它们的大小有什么关系解析： (1)由垂直平分线的性质可得出相等 的 线 段 ； (2) 由 条 件 可 证 明AOCAOD，可得AO平分DAC，根据角平分线的性质可得OEOF.解：(1)AB、CD互相垂直平分，OCOD，AOOB，且ACBCADBD；(2)OEOF，理由如下：在AOC和AOD中，ACAD，OCOD，AOAO，AOCAOD(SSS) ， CAO DAO. 又OEAC，OFAD，OEOF.方法总结： 本题是线段垂直平分线的性质和角平分线的性质的综合， 掌握它们的适用条件和表示方法是解题的关键三、板书设计1角平分线的性质定理角平分线上的点到这个角的两边的距离相等2角平分线的判定定理在一个角的内部， 到角的两边距离相等的点在这个角的平分线上本节课由于采用了动手操作