上课教材 第6章无限脉冲响应数字滤波器课件

1、第第6 6章章 无限长单位冲激响应无限长单位冲激响应(IIR)(IIR)滤波器滤波器6.1 引言引言6.2 模拟滤波器的设计模拟滤波器的设计6.3 冲激响应不变法冲激响应不变法6.4 双线性变换法双线性变换法6.5 数字频率变换法数字频率变换法6.1 6.1 引言引言一、滤波器的分类二、滤波器的技术指标三、三、IIR数字滤波器的技术特点数字滤波器的技术特点四、四、IIR数字滤波器的设计方法概述数字滤波器的设计方法概述一、滤波器的分类一、滤波器的分类1、从功能上分低低通通滤波器滤波器高高通通滤波器滤波器带带通通滤波器滤波器带带阻阻滤波器滤波器通通：输入信号中允许通过的频率成分输入信号中允许通过的

2、频率成分阻阻：输入信号中阻止（不允许）通过的频率成分输入信号中阻止（不允许）通过的频率成分例如：例如：高通，即高通，即输入信号中允许通过的频率成分为输入信号中允许通过的频率成分为高频高频 数字滤波器的理想数字滤波器的理想幅频特性是周期为幅频特性是周期为 的偶函数，的偶函数，只需在区间只需在区间 上研究即可！上研究即可！ 0, 2一、滤波器的分类一、滤波器的分类2、从单位冲激响应上分（1）无限长单位冲激响应）无限长单位冲激响应(IIR)滤波器滤波器 其单位冲激响应其单位冲激响应 h(n)延伸到无穷长，结构上是递归型的（延伸到无穷长，结构上是递归型的（有反馈环节）有反馈环节）（2）有限长单位冲激响

3、应）有限长单位冲激响应(FIR)滤波器滤波器其单位冲激响应其单位冲激响应 h(n)为有限长序列，结构上是非递归型的为有限长序列，结构上是非递归型的（没有反馈环节）（没有反馈环节）二、滤波器的技术指标 理想滤波器由于从通带到阻带之间的过渡具有突变，因而理想滤波器由于从通带到阻带之间的过渡具有突变，因而其其单位冲激响应单位冲激响应是非因果的，是物理不可实现系统。需要是非因果的，是物理不可实现系统。需要设计一个因果的物理可实现的滤波器来逼近理想滤波器的设计一个因果的物理可实现的滤波器来逼近理想滤波器的频率响应。频率响应。 这种因果的、物理可实现的滤波器的技术指标通常以这种因果的、物理可实现的滤波器的

4、技术指标通常以频率响应的频率响应的幅频特性幅频特性的允许误差来表征。下面以低通滤波的允许误差来表征。下面以低通滤波器为例，具体说明物理可实现的滤波器的技术指标。器为例，具体说明物理可实现的滤波器的技术指标。p低通滤波器的幅度特性指标sc0ps11(1)()(1)jH e2()jH e通带截止频率阻带截止频率3dB通带截止频率通带频率范围阻带频率范围ps过渡带 1 ： 通带容限通带容限(最大误差最大误差)； 2 ：阻带容限：阻带容限 0()20 lg()()pjpjH eRdBH e0()20lg()()sjsjH eRdBH e120lg()20lg(1)()pjpRH edB 220lg()

5、20lg()sjsRH edB 通带最大衰减阻带最小衰减0()jH e如果将 归一化为1，则有：当 时，()2 /20.707cjH e称 为 3dB通带截止频率。3pRdBc三、三、IIR数字滤波器的技术特点数字滤波器的技术特点 IIRIIR滤波器的差分方程为滤波器的差分方程为 N N为滤波器的阶数，一般采用递归型的实现结构为滤波器的阶数，一般采用递归型的实现结构00()()NMkkkka y nkb x nk01()1MkkkNkkkb zHzazIIRIIR滤波器的系统函数为滤波器的系统函数为IIR滤波器的系统函数滤波器的系统函数H(z)在在Z平面平面上不仅有零点，而且有极点上不仅有零点

6、，而且有极点 。四、四、IIR数字滤波器的设计方法概述数字滤波器的设计方法概述 1 1、概念、概念 IIR数字滤波器的设计，是指数字滤波器的设计，是指按照给出的滤波器的技术指标要求，用一个因果稳定的离散LTI系统的系统函数H(z)逼近这些性能指标，并求出该系统函数H(z)的系数ak, bk 2、IIRIIR数字滤波器设计方法数字滤波器设计方法概述概述 根据给出的滤波器的技术指标要求，先设计出一个模拟滤波器，得根据给出的滤波器的技术指标要求，先设计出一个模拟滤波器，得到其系统函数到其系统函数Ha(s) ，然后再按一定的算法，然后再按一定的算法( (冲激响应不变法或双线性冲激响应不变法或双线性变换

7、法变换法) )， 将将Ha(s) 转换成满足预定指标要求的数字滤波器的系统函转换成满足预定指标要求的数字滤波器的系统函数数H(z)。 该设计方法的该设计方法的实质：是一个实质：是一个S S平面到平面到Z Z平面的复变函数的映射变换平面的复变函数的映射变换 ，即有，即有注意，注意， 该映射变换必须要满足以下该映射变换必须要满足以下2 2个条件：个条件： （1 1）S S平面虚轴平面虚轴 jj必须映射到必须映射到Z Z平面的单位圆平面的单位圆e ej j上上 （2 2）S S平面的左半平面必须映射到平面的左半平面必须映射到Z Z平面单位圆的内部平面单位圆的内部| |z z|1|1下面先讨论下面先讨

8、论模拟滤波器的设计模拟滤波器的设计方法，再介绍由模拟滤波器变换为方法，再介绍由模拟滤波器变换为IIRIIR数字数字滤波器的两种映射变换：滤波器的两种映射变换：冲激响应不变法冲激响应不变法和和双线性变换法双线性变换法 。1()()() |sGzHzHs6.2 模拟滤波器的设计模拟滤波器的设计一、一、 理想模拟滤波器的幅频特性理想模拟滤波器的幅频特性二、二、 模拟滤波器的典型类型模拟滤波器的典型类型三、三、 低通模拟滤波器的设计低通模拟滤波器的设计四、四、 高通模拟滤波器的设计高通模拟滤波器的设计五、五、 带通模拟滤波器的设计带通模拟滤波器的设计六、六、 带阻模拟滤波器的设计带阻模拟滤波器的设计6

9、.2 模拟滤波器的设计模拟滤波器的设计一、一、 理想模拟滤波器的幅频特性理想模拟滤波器的幅频特性)(jaH低通带通带阻高通)(jaH)(jaH)(jaH000c巴特沃斯（Butterworth）滤波器：具有单调下降的幅度特性在通带内有最大平坦的幅度特性。切比雪夫（ Chebyshev ）滤波器：通带或阻带有波动，可以提高选择性。贝赛尔（ Bessel ）滤波器：通带内有较好的线性相位特性椭圆（Ellipse0滤波器：选择性相对其它三种是最好的, 但在通带和阻带内均有等波纹的幅频特性。二、二、 模拟滤波器的典型类型模拟滤波器的典型类型6.2 模拟滤波器的设计模拟滤波器的设计三、模拟低通滤波器的设

10、计设计指标ppss210lg()papHjdB 210lg()sasHjdB 通带截止频率阻带截止频率通带衰减阻带衰减低通滤波器的幅度特性c3dB截止频率2*()()()()()( )()aaaaaaasjHjHjHjHjHjHs Hs 按给定的技术指标，设计出模拟滤波器的系统函数( )aHs模拟滤波器设计含义模拟滤波器的设计原则方法：按给出的幅频平方函数逼近，不考虑相位。前提：冲激响应前提：冲激响应 ha(t) 是是实函数实函数式中式中Ha(s)是系统函数是系统函数 ；Ha(j)是频率响应是频率响应； |Ha(j)|是幅频特性是幅频特性 问题：如何根据Ha(s)Ha(-s) 求 Ha(s)

11、？ 思路：冲激响应ha(t) 是实函数，所以 Ha(s)Ha(-s)的极、零点是成象限对称分布的 确定Ha(s)的极点：要求Ha(s)必须稳定，因此其极点必定落在s平面的左半平面！确定Ha(s)的零点：零点的分布只和滤波器的相位特征有关，如无特殊要求，可将 以虚轴为对称轴的对称零点的任意一半作为（应为共轭对）取为Ha(s)的零点，虚轴上的一半零点（以原点为对称轴）归为Ha(s)的零点。再根据Ha(s) 的极、零点可确定其增益常数，最终得到系统函数Ha(s) 222( )()()aaasHs HsHj 2()( )()aaasjHjHs Hs ( )()aaHs Hs( )()aaH s Hs（

12、1）由幅度平方函数求得象限对称的S 平面函数（2）将 因式分解，得到Ha(s)的零、极点( )()aaHs Hs（3） 求解Ha(s)的增益常数（4）由零、极点及增益常数，得( )aHs2()( )aaHjHs由确定的方法总结：总结：222( )()()aaasHs HsHj 例例2 在在MATLAB中设计一个中设计一个4阶巴特沃斯（阶巴特沃斯（Butterworth）模拟低通）模拟低通滤波器，其滤波器，其3dB截止频率为截止频率为0.3rad/s 。MATLAB程序如下：程序如下：b,a=butter(4,0.3,low,s); freqs(b,a)；右图是所设计的右图是所设计的4阶巴特沃斯

13、阶巴特沃斯（Butterworth）模拟低通滤波器模拟低通滤波器的频率响应曲线。的频率响应曲线。10-210-1100101-200-1000100200Frequency (rad/s)Phase (degrees)10-210-110010110-1010-5100Frequency (rad/s)Magnitude例例3 在在MATLAB中设计一个中设计一个6阶椭圆低通模拟滤波器，要求通带最阶椭圆低通模拟滤波器，要求通带最大衰减大衰减3dB，阻带最小衰减，阻带最小衰减 30dB，其截止频率为，其截止频率为100rad/s 。MATLAB程序如下：程序如下：b,a=ellip(6,3,30

14、,100,low,s); freqs(b,a);右图是所设计的右图是所设计的6阶椭圆阶椭圆低通模拟滤波器低通模拟滤波器的频率响应曲线。的频率响应曲线。101102103-200-1000100200Frequency (rad/s)Phase (degrees)10110210310-410-2100Frequency (rad/s)Magnitude四、四、 高通模拟滤波器的设计高通模拟滤波器的设计方法：先设计出低通模拟滤波器，再通过频率变换转换成要方法：先设计出低通模拟滤波器，再通过频率变换转换成要求类型求类型(高通高通,带通等带通等)，而低通是通过幅度平方函数来设计的。，而低通是通过幅度

15、平方函数来设计的。()()ccHLpsHsHp低通模拟滤波器的系统函数低通模拟滤波器的系统函数高通模拟滤波器的系统函数高通模拟滤波器的系统函数( )HHs()LHp低通模拟滤波器的低通模拟滤波器的3dB通带截止频率cc高通模拟滤波器的高通模拟滤波器的3dB通带边界频率cc 频率变换关系例例4 在在MATLAB中设计一个中设计一个24阶贝赛尔（阶贝赛尔（ bessel ）高通模拟滤波）高通模拟滤波器，其器，其3dB通带边界频率为通带边界频率为100rad/s 。MATLAB程序如下：程序如下：b,a=besself(24,100,high,s);freqs(b,a)；右图是所设计的右图是所设计的

16、24阶贝赛尔（阶贝赛尔（ bessel ）模拟高通滤波器模拟高通滤波器的频率响应曲线。的频率响应曲线。100101102103-200-1000100200Frequency (rad/s)Phase (degrees)10010110210310-2010-10100Frequency (rad/s)Magnitude五、带通模拟滤波器的设计五、带通模拟滤波器的设计方法：先设计出低通模拟滤波器，再通过频率变换转换成所方法：先设计出低通模拟滤波器，再通过频率变换转换成所要设计的带通模拟滤波器。要设计的带通模拟滤波器。220()()BLspsHsHp 低通模拟滤波器的系统函数低通模拟滤波器的系统

17、函数带通模拟滤波器的系统函数带通模拟滤波器的系统函数( )BHs()LHp低通模拟滤波器的低通模拟滤波器的3dB通带截止频率c012 带通模拟滤波器的带通模拟滤波器的3dB通带几何中心频率220频率变换关系12 、带通模拟滤波器的带通模拟滤波器的3dB通带上、下边界频率21-cB = B 是带通模拟滤波器的是带通模拟滤波器的3dB通带例例5 在在MATLAB中设计一个中设计一个20阶巴特沃斯带通模拟滤波器，其阶巴特沃斯带通模拟滤波器，其3dB通带频率为通带频率为100-1000 rad/s 。MATLAB程序如下：程序如下：b,a=butter(20,100,1000, s);freqs(b,

18、a)；右图是所设计的右图是所设计的20阶巴特沃斯阶巴特沃斯带通模拟滤波器带通模拟滤波器的频率响应曲线。的频率响应曲线。10-210-1100101102103104-200-1000100200Frequency (rad/s)Phase (degrees)10-210-110010110210310410-10010-50100Frequency (rad/s)Magnitude六、带阻模拟滤波器的设计六、带阻模拟滤波器的设计方法：先设计出低通模拟滤波器，再通过频率变换转换成所方法：先设计出低通模拟滤波器，再通过频率变换转换成所要设计的带阻模拟滤波器。要设计的带阻模拟滤波器。20220()(

19、)SLspsHsHp 低通模拟滤波器的系统函数低通模拟滤波器的系统函数带阻模拟滤波器的系统函数带阻模拟滤波器的系统函数( )SHs()LHp低通模拟滤波器的低通模拟滤波器的3dB通带截止频率，且20cB012 带阻模拟滤波器的带阻模拟滤波器的3dB阻阻带几何中心频率20220 频率变换关系12 、带阻模拟滤波器的带阻模拟滤波器的3dB通带上、下边界频率2121-c B 是带阻模拟滤波器的是带阻模拟滤波器的阻阻带带宽21-B c例例6 在在MATLAB中设计一个中设计一个24阶切比雪夫阶切比雪夫I型的带阻模拟滤波器，型的带阻模拟滤波器，其其3dB阻带的阻带的上、下边界频率分别为为100 rad/

20、s和和1000 rad/s 。通带最大衰减为通带最大衰减为3dB 。MATLAB程序如下：程序如下：b,a=cheby1(12,3, 100,1000, stop , s); freqs(b,a);右图是所设计的右图是所设计的24阶切比雪夫阶切比雪夫I型型带阻模拟滤波器带阻模拟滤波器的频率响应曲线。的频率响应曲线。100101102103104105-200-1000100200Frequency (rad/s)Phase (degrees)10010110210310410510-3010-2010-10100Frequency (rad/s)Magnitude6.3 冲激响应不变法冲激响应

21、不变法一、设计一、设计原理原理二、映射关系三、主要特点与适用范围四、例子6.3 冲激响应不变法冲激响应不变法一、设计一、设计原理原理根据给出的数字滤波器的技术指标要求，先设计出一个模拟滤波器，得到其系统函数Ha(s) ，然后再按冲激响应不变法，将模拟滤波器的系统函数Ha(s) 转换成满足预定指标要求的数字滤波器的系统函数H(z)。 冲激响应不变法的基本思想是：使数字滤波器的单位冲使数字滤波器的单位冲激响应激响应h(n)与相应的模拟滤波器的冲激响应与相应的模拟滤波器的冲激响应ha(t)，在采样点，在采样点处的量值相等，即有：处的量值相等，即有：h(n)=ha(nT) ，T 是采样周期是采样周期一

22、、设计一、设计原理原理具体的转换过程如下：具体的转换过程如下：模拟滤波器数字滤波器1( )NiaiiAHsss1( )( )iNs taiih tAe u tis( )aHs是 的单阶极点，得到对 进行等间隔采样，采样间隔为T，得到： ( )ah t1()( ) |()iNs n Tatn Tiih nhtA eun T对 进行Z变换，得到数字滤波器的系统函数为：( )h n1011011( )( )(,1,2,.)1iiiiNNnns Ts TnniinniinNs Tis TiH zh n zA ezAezAzMax eiNez 二、映射关系对模拟滤波器全是单极点情况，即对模拟滤波器全是单

23、极点情况，即例1：解：已知模拟滤波器的系统函数为用冲激响应不变法求数字滤波器的系统函数 。给定采样间隔T=1s24( )56aHsss( )H z( )aH s的极点1223ss ，444( )(2)(3)23aHsssss21213112312131213144( )1114441111iisTTTiAH zezezezeeze ze ze ze z（-）（）（）根据冲激响应不变法，求得数字滤波器的系统函数为： sz( )( )( )( )sTsTsnTnaz ez ennHsh n eh n zH zsTzesj 0,1r0,1r映射关系2()jM TTTj TsTTeeeeez对于任意整

24、数M,都有：sz平面是多对一的映射T 频率是线性关系！冲激响应不变法平面的映射关系Trejzre0,1rsTTjTjzeeere, 平面与 平面之间的映射关系sTzesz多对一的映射冲激响应不变法的映射关系冲激响应不变法的映射关系 sTzes平面中每一个平面中每一个带状区带状区的左半边映射到的左半边映射到Z平面的单位圆内；平面的单位圆内；s平面中每一个平面中每一个带状区带状区的右半边映射到的右半边映射到Z平面的单位圆外部平面的单位圆外部 。s平面的虚轴映射到平面的虚轴映射到Z平面的单位圆上平面的单位圆上 。带状区的宽度为带状区的宽度为2 /T由采样序列的Z变换与原模拟信号的拉氏变换的关系，得到

25、数字滤波器与模拟滤波器的频率响应间的关系为12()jakHeHjkTTT 数字滤波器的频率响应是模拟滤波器频率响应的周期延拓，周期为 只有当模拟滤波器的频率响应是限带的，且满足采样定理时，数字滤波器的频率响应才不产生频率混叠失真 提高采样频率为fs，可减小频率响应的混叠效应 冲激响应不变法的缺点冲激响应不变法的缺点-频率频率混叠失真混叠失真()02saHjT 2 /T数字滤波器的频响在折叠频率内重现模拟滤波器的频响而不产生混迭失真：1()jaHeHjTT冲激响应不变法中的频响混叠现象 32)j(aHoo23 T)(ejHT2TTT2不是带限信号频响混叠现象 三、冲激响应不变法的特点主要特点与适

26、用范围优点：T ， 与 呈线性关系，数字滤波器能很好地重现原模拟滤波器的频响；缺点：数字滤波器在 附近存在频率混叠现象，严重时使数字滤波器不满足给定的技术指标，适用范围：只适合设计低通和带通滤波器。不适合设 计高通和带阻滤波器。例例2 在在MATLAB中用冲激响应不变法设计一个中用冲激响应不变法设计一个4阶巴特沃斯低通数字阶巴特沃斯低通数字滤波器，要求：模拟滤波器的截止频率为滤波器，要求：模拟滤波器的截止频率为0 .3 rad/s ,采样频率为采样频率为10Hz,比较数字滤波器和模拟滤波器的单位冲激响应。比较数字滤波器和模拟滤波器的单位冲激响应。MATLAB程序如下：程序如下：b,a=butt

27、er(4,0.3,s); %首先设计首先设计3阶巴特沃斯低通模拟滤波器阶巴特沃斯低通模拟滤波器bz,az=impinvar(b,a,10) %对模拟滤波器的冲激响应进行对模拟滤波器的冲激响应进行10Hz采样采样sys=tf(b,a); %求模拟滤波器的系统函数求模拟滤波器的系统函数subplot(1,2,1); impulse(sys); %绘制模拟滤波器的冲激响应绘制模拟滤波器的冲激响应title(模拟滤波器的冲激响应模拟滤波器的冲激响应);grid on ;subplot(1,2,2);dimpulse(bz,az); %绘制数字滤波器的冲激响应绘制数字滤波器的冲激响应title(数字滤波

28、器的冲激响应数字滤波器的冲激响应);grid on ;所设计的数字滤波器和模拟滤波器的单位冲激响应曲线所设计的数字滤波器和模拟滤波器的单位冲激响应曲线6.4 双线性变换法双线性变换法一、设计一、设计原理原理二、映射关系三、主要特点与适用范围四、双线性变换法双线性变换法设计举例五、总结：用模拟滤波器设计总结：用模拟滤波器设计IIR数字滤波器的步骤。数字滤波器的步骤。一、设计一、设计原理原理 为了克服冲激响应不变法的频率混叠现象，提出了双线为了克服冲激响应不变法的频率混叠现象，提出了双线性变换法，它采用非线性的频率压缩方法，首先性变换法，它采用非线性的频率压缩方法，首先将整个频率将整个频率轴的频率

29、范围压缩到轴的频率范围压缩到-/T/T之间，再用之间，再用z=esT转换到转换到Z平面平面上，上，使使S平面与平面与Z平面建立起一一对应的单值映射关系。具体平面建立起一一对应的单值映射关系。具体的的变换变换规则如下：规则如下：（1）频率压缩：将整个）频率压缩：将整个S平面压缩变换到某个中介平面压缩变换到某个中介S1平面的平面的一横带里（宽度为一横带里（宽度为 ，即从，即从 到到 ） 。（2）数字化：将数字化：将S1 平面通过变换关系式平面通过变换关系式 映射到整映射到整个个Z Z平面上。这样，平面上。这样， S S平面与平面与Z Z平面就建立起了一一对应的单平面就建立起了一一对应的单值映射关系

30、，无多值性，消除了频谱的混叠失真。见下图值映射关系，无多值性，消除了频谱的混叠失真。见下图2 /T(/ )T( / )T1sTze二、二、映射关系映射关系上图映射关系的数学表示：上图映射关系的数学表示：频率压缩：将频率压缩：将S平面上整个频率平面上整个频率 轴映射到轴映射到S1平面的横平面的横带里（即从带里（即从 到到 ） ，可采用如下变换关系：，可采用如下变换关系： 其中其中c为常数。为常数。 /T/T1tan()2Tc j1:/TT 数字化：数字化： 由由 得到：得到：11111111111/ 2-/ 2/ 2-/ 2/ 2-/ 2/ 2-/ 2tan()2sin(/ 2)cos(/ 2)

31、 /(2) / 2jTjTjTjTjTjTjTjTTjjcTjcTeejjceeeecee 1tan()2Tc 用欧拉公式展开用欧拉公式展开1111/ 2-/ 2/ 2-/ 2jTjTjTjTeejcee 得到：得到：将上述关系式延拓到整个将上述关系式延拓到整个S S平面和平面和S1S1平面，即：平面，即：11,js js 111111111111s/2-s/2s/2-s/2-s/2s/2-s/2-s-s/2s/2-s/2-s()1()1TTTTTTTTTTTTeesceeeeeecceeee二、二、映射关系映射关系再将再将S1 平面通过变换关系式平面通过变换关系式 映射到整个映射到整个Z Z

32、平面上。平面上。得到：得到：1sTze111-1-11111-s Ts Ts Tezcszescczezcs 或：所谓所谓“双线性双线性”变换，是指变换公式：变换，是指变换公式：-1-111-zcssczzc s 或：中中s s与与z z的关系无论是分子部分，还是分母部分都是的关系无论是分子部分，还是分母部分都是“线性线性”的。的。总结：双线性变换法的变换公式为：总结：双线性变换法的变换公式为：1111( )( )zasczH zHstan2()()jacH eHj 频率响应：频率响应：二、二、映射关系映射关系关于上述关系式中变换常数关于上述关系式中变换常数c的选择，有的选择，有2 2种常用方

33、法：种常用方法：方法方法1 1：根据模拟滤波器和数字滤波器在低频处的频率近似：根据模拟滤波器和数字滤波器在低频处的频率近似相等，即有：相等，即有：将这一近似关系代入到将这一近似关系代入到111,tan22TT 1tan2Tc 得到：得到：11111tan222,22sTTccTccfT（采样频率）（采样频率）二、映射关系二、映射关系严格对应。严格对应。例如例如1 1：按照按照3dB3dB截止频率来严格对应，得到：截止频率来严格对应，得到：方法方法2 2：使模拟滤波器的某一频率和数字滤波器的相应：使模拟滤波器的某一频率和数字滤波器的相应数字频率按照频率变换公式：数字频率按照频率变换公式：11ta

34、ntan(,)22TccT 模 拟 频 率数 字 频 率ta n/ ta n22cccccc 例如例如2 2：按照通带频率来严格对应，得到：按照通带频率来严格对应，得到：ta n/ ta n22ppppcc 例如例如3 3：按照阻带频率来严格对应，得到：按照阻带频率来严格对应，得到：ta n/ ta n22sssscc 三、主要特点与适用范围优点：不存在频率混叠现象，几乎适合所有的滤波器（低通、优点：不存在频率混叠现象，几乎适合所有的滤波器（低通、带通、高通和带阻）；带通、高通和带阻）；缺点：缺点： 即模拟频率和数字频率之间是非线性关系，会产生相即模拟频率和数字频率之间是非线性关系，会产生相频

35、特性失真，影响数字滤波器模仿模拟滤波器频响的逼真程频特性失真，影响数字滤波器模仿模拟滤波器频响的逼真程度。如果对滤波器的相频特性要求较高，则不适合采用双线度。如果对滤波器的相频特性要求较高，则不适合采用双线性变换法。性变换法。ta n2c三、主要特点与适用范围优点：不存在频率混叠现象，几乎适合所有的滤波器（低通、优点：不存在频率混叠现象，几乎适合所有的滤波器（低通、带通、高通和带阻）；带通、高通和带阻）；缺点：缺点： 即模拟频率和数字频率之间是非线性关系，会产生相即模拟频率和数字频率之间是非线性关系，会产生相频特性失真，影响数字滤波器模仿模拟滤波器频响的逼真程频特性失真，影响数字滤波器模仿模拟

36、滤波器频响的逼真程度。如果对滤波器的相频特性要求较高，则不适合采用双线度。如果对滤波器的相频特性要求较高，则不适合采用双线性变换法。性变换法。ta n2c四、双线性变换法双线性变换法设计举例当模拟滤波器的系统函数的表达式为有理分式时，即：当模拟滤波器的系统函数的表达式为有理分式时，即： 20112012( )NNaNNAA sA sA sHsBB sB sB s采用双线性变换法，得到数字滤波器的系统函数的表达式为：采用双线性变换法，得到数字滤波器的系统函数的表达式为：1111120121212( )( )|1azs czNNNNH zH saa za za zbzb zb z上式中上式中a(s

37、)的系数与的系数与H( (z) )的系数之间的关系，见下表的系数之间的关系，见下表 例例1 1 采用双线性变换法设计三阶巴特沃思数字低通滤波器，采用双线性变换法设计三阶巴特沃思数字低通滤波器，采样频率为采样频率为fs=4 kHz=4 kHz，其，其3dB3dB截止频率为截止频率为fc=1 kHz=1 kHz。 三阶模三阶模拟巴特沃思滤波器的系统函数为拟巴特沃思滤波器的系统函数为 32)/()/(2)/(211)(cccassssH是模拟滤波器的是模拟滤波器的3dB3dB截止频率截止频率c解解: : 把把3dB3dB截止频率截止频率fc=1kHz =1kHz 转化成对应的数字频率转化成对应的数字

38、频率c=2fcT=2fc /fs=0.5由于采用双线性变换法，则对应的模拟滤波器的截止频率为由于采用双线性变换法，则对应的模拟滤波器的截止频率为 0.5tantan22ccccc 将将cc代入到三阶模拟巴特沃思滤波器的代入到三阶模拟巴特沃思滤波器的Ha(s)，得到，得到 231( )12( / )2( / )( / )aHss cs cs c采用双线性变换法，得到数字滤波器的系统函数为采用双线性变换法，得到数字滤波器的系统函数为11111123111232( )( )1=12( /)2( /)( /)1 133=23azsczzsczH zHss cs cs czzzz数字滤波器的频率响应为数

39、字滤波器的频率响应为2321133()=( )=23jjjjjjz eeeeH eH ze1.00.500.5)(ejH01.02.0f / kHz 用双线性变换法设计得到的三阶巴特沃思数字低通滤波器的幅频特性 例例2 2 已知模拟低通滤波器的系统函数为已知模拟低通滤波器的系统函数为 其其3dB3dB通带角频率通带角频率 。用双线性变换法设计对应。用双线性变换法设计对应的数字低通滤波器，给定其采样角频率为的数字低通滤波器，给定其采样角频率为 ， 3dB 3dB通带角频率通带角频率 1()1aHss解解: : 把数字低通滤波器的把数字低通滤波器的3dB3dB通带角频率转化成对应的数字频率通带角频

40、率转化成对应的数字频率由于采用双线性变换法，求出系数由于采用双线性变换法，求出系数c c为：为：1tan3.0776840.22tantan22ppppcc1/prad s1000/srads100/rads22100(/ ) ( )1001000.21000psrad s T s采用双线性变换法，得到数字滤波器的系统函数为采用双线性变换法，得到数字滤波器的系统函数为11113.07768411111( )( )=11114.0446842.0776843.077684110.245237(1)10.2452370.50952510.509525azzssczzH zHsszzzzzzzz-1

41、-1113.07768411zzsczz五、总结：用模拟滤波器设计总结：用模拟滤波器设计IIR数字滤波器的步骤数字滤波器的步骤 (1)确定数字滤波器的技术指标：例如通带截止频率p、通带衰减p、阻带截止频率s、阻带衰减s等。 (2)将数字滤波器的技术指标转换成模拟低通滤波器的技术指标。 如果采用双线性变换法，则：如果采用冲激响应不变法，则：/T tan()2c (3)按照模拟滤波器的技术指标设计模拟滤波器。 (4)用冲激响应不变法或双线性变换法，将模拟滤波器Ha(s)从s平面转换到z平面，得到数字滤波器的系统函数H(z)和频率响应。和频率响应。6.5 数字频率变换法数字频率变换法一、原理二、数字

42、频率变换的计算公式数字频率变换的计算公式三、举例一、原理数字频率变换数字频率变换法分两步法分两步：1、先将归一化的将归一化的模拟原型模拟原型低通滤波器滤波器(通带截止频率通带截止频率c=1)通过冲激响应不变法或双线性变换法转换为数字低通滤波器；通过冲激响应不变法或双线性变换法转换为数字低通滤波器；2、然后通过数字域的频、然后通过数字域的频率率变换，把变换，把数字低通滤波器数字低通滤波器转换为转换为所需类型（数字低通、数字高通、数字带通、数字带阻等）所需类型（数字低通、数字高通、数字带通、数字带阻等）的数字滤波器。的数字滤波器。 其中第其中第1步前面已经讨论了，下面主要讨论第步前面已经讨论了，下

43、面主要讨论第2步如何实现。步如何实现。表示表示原型数字低通滤波器的系统函数，数字低通滤波器的系统函数，表示转换后的其他类型的数字滤波器的系统表示转换后的其他类型的数字滤波器的系统函数，则转换函数可以表示成函数，则转换函数可以表示成:1( Z)zG- 11L()Hz1()dHZ其中其中 ：z 表示原来的表示原来的原型数字低通滤波器所在的数字低通滤波器所在的z 平面，平面， Z 表示新的其他类型的数字滤波器所在的表示新的其他类型的数字滤波器所在的z 平面。平面。1111()()|dLzG ZHZHz问题：原型数字低通滤波器如何转换成其他类型的数字滤波器？数字低通滤波器如何转换成其他类型的数字滤波器

44、？设转换关系为：设转换关系为：二、数字频率变换的计算公式数字频率变换的计算公式条件条件1 1：由于数字滤波器的由于数字滤波器的系统函数都是复变量的系统函数都是复变量的有理函数，有理函数，所以转换后的所以转换后的系统函数系统函数仍要是仍要是Z Z-1-1 的有理函数，即要求的有理函数，即要求转换转换函数函数G(G(Z Z-1-1) )也必须是也必须是Z Z-1-1 的有理函数；的有理函数；条件条件2 2：转换后要保证数字滤波器还是稳定的因果系统，即：转换后要保证数字滤波器还是稳定的因果系统，即：原来的原来的 z z 平面单位圆内的点映射到新的平面单位圆内的点映射到新的Z Z平面之后平面之后, ,还在单还在单位圆之内位圆之内; ;条件条件3 3： 频率轴应能对应起来频率轴应能对应起来, ,即：原来即：原来z z平面的单位圆还能平面的单位圆还能映射到新的映射到新的Z Z平面的单位圆上。平面的单位圆上。1）转换函数转换应满足的条件：）转换函数转换应满足的条件：按按条件条件3，在单位圆上，有：,jjzeZearg()()|() |jjjjjGeeG eG ee即 ：1-1|() |jjzeZezG Z|()| 1,arg()jj