7-3重积分的应用

1、第七章第三节二塞张今關疹用举例、平面图形的面积立体体积三、物体的质量物体的转动惯量jHIGH EDUCATION PRESS、平面图形的面积1、直角坐标系2、极坐标1、直角坐标系例1计算由两条抛物线/=X和v = V所围成的图形的面积.解 两曲线的交点(0,0) (1,1)3oA = J(：( x- x2)dx =选x为积分变量xw|O，l|面积元素dA = ( x - x2)dx1 yfxcA= dx dy.y0X2例2计算由曲线严=2乂和直线y = x-4所用 成的图形的面积.解两曲线的交点=> (2,-2), (&4).选丿为积分变量 丿丘1-2,4clA = y+ 4 d

2、y A = J 昇=1&y+4A=dy d 兀0 J/2例3计算由两条抛物线V'2 = 4.v和尸2x所围成的 图形的面积.12yxA= fdx dy = j0 2x2、极坐标系o+de型=（p（e）9 - ade设由曲线？ = 0（巾）及射线 e = a、 = 0围成一曲边扇 形，求其面积.这里，0（） 在M0上连续，且0（0）0.面积元素曲边扇形的面积昇=-r2d0.2例4求曲线(x2 + v2 )2二2a2(x2-y2)所围平面图形的面积.求双纽线，2cr cos20所围平面图形的面积.解由对称性知总面积=4倍第y = x_象限部分面积A = 4AA = 4J2a? co

3、s。f rdr = 2a2二、立体体积曲顶柱体的顶为连续曲面Z =v)gD,则其体积为例5:求z = l-4x2-y2与z = 0所围立体的体积.1/271-4x2V = 4 jrfx j(l-4x2 -y2)dy0 0例6:求球体x2 +j；2 +z2 < 4/被圆柱面x2 + y2 = 2ax （q0）所截得的（含在柱面内的）立体的体积.解:设 x = QCOS&,y = /?sin& 贝ij7TD:O<0 < 0< p<2acos 0,由对称性可知2V = 42J4/_ 严 d 兀dyD=4-p1pApAOD"/=4 2d0J 03

4、2 3=a2d cos &J 0yja2 -p2pdp(l-sin3)d = y«3例7:求z = x2 + 2y2-z = 6-2x2-y2所围立体的体积.z = X2 + 2y2-z = 6 2x2 y2 消去z得： x2 + y2=2,故所求立体在XOY面上的投影区域为:D: (x, y)x2 + y2 <2所求立体的体积等于两个曲顶柱体的体积之差：U =(6 2x2 y2) (x2 + 2y2)dxdyD2托V2=jj(6-3x2 -3y2)dxdy= j d6 (6-3r2)rdr = 67tD00例8:求x = O,x = l,y = 1四个平面所围柱体被平

5、面z = 0,z + 2x + 3j = 6所截的立体的体积.此立体为一曲顶柱体，底是xoy面上的闭区域D: (%, y)|0 < x < 1,0 < x < 1,顶是曲面z二6-2x-3丁因此所求的立体的体积为1 1三、物体的质量课本例5螺线心2&与直线0 = tv/2所围成的平面薄片D, 面密度为“二亍+于 求它的质量。M =y)dcr = jj(x2 + y2)dxdy = 5/40四、物体的转动惯量课本例6求半径为7?、总质量为M的质量均匀分 布的圆盘，绕中心轴旋转，求其转动惯量rr MJJd泵(x2 + y2)dcr=2” R r 2 d9 rrdr =VmW如果物体是平面薄片，面密度为“Cx,y), 则转动惯量的表达式是二重积分.r p2人,= x / (x, y) dxdy J J I)(x2 + y2)Atej)dxdy例7求半径为a