全国高中数学联赛湖南预赛试题及答案A卷

1、2015年湖南省高中数学竞赛(A卷)(2015-06-27)、选择题(每个 5分，共6题)1.将选手的9个得分去掉1个最高分，去年1个最低分，7个剩余分数的平均分为91,现场做的9个分数的茎叶图有一个数据模糊, 差为A.116B.36C. 36无法辨认，在图中以x表示，则7个剩余分数的方d.622.半径为R的球的内部装有4个有相同半径r的小球，则小球半径r可能的最大值是A.一3 _R B.6. RC. 1_R D. 5, R2.33 .61 .32 ,53.已知数列an和bn对任意n,都有an时，数列an和bn的极限分别是A和B ,则A. A B B. A B C.AB D. A和B的大小关系

2、不确定4.对所有满足1 n m 5的m,n,极坐标方程A. 6 B. 9 C. 12 D. 151 ,一一 一 ，.，一， 二 表小的不同双曲线条数为 Cm cos5.使关于x的不等式Jx 3。6 x k有解的实数k的最大值是A. 63 B. 3 C. ,63 D. 6226 .设M | x y ,x,y Z,则对任息的整数 n,形如4n,4n+1,4n+2,4n+3的数中，不是M中的元素的数为A. 4n B. 4n+1 C. 4n+2 D. 4n+3二、填空题(每个 8分，共6题)7 .已知三边为连续自然数的三角形的最大角是最小角的两倍，则该三角形的周长为： 8 .对任一实数序列 A ( 1

3、, 2, 3,.),定义 A为序列(21, 32, 43,.),它的第n项是n1 n,假定序列( A)的所有项都是1,且1992 0,则1的值为：11 n9.满足使In=一 一尸i为纯虚数的最小正整数2 2.310 .将1, 2, 3, ., 9这9个数字填在如图所示的 9个空格中，要求每一行从左到右，每列从上到下分别依次增大，当3, 4固定在图中的位置时，填写空格的方法数为:11 .记集合 T 0，1,2,3,4,5,6，M 弓 72 a3 9ai T,i 123，4,将 M 中的元素按从大到小顺序排列，则第 2015年数是： 12 .设直线系M ：xcos (y 2)sin 1(02 ),

4、对于下列四个命题：M中所有直线均经过一个定点存在定点P不在M中的任一条直线上对于任意整数n(n 3)存在正n边形，其所有边均在 M中的直线上M中的直线所能围成的三角形面积都相等其中真命题的代号是： (写出所有真命题的代号)三、解答题(共4题，茜分72分)13 .(本小题满分16分)如图所示，AB为RtABC的斜边，I为其内心，若 IAB的外接圆的半径为 R, RtAABC 的内切圆半径为 r,求证：R (2 , 2) r.14.（本小题满分16分）22如图，A, B为椭圆与、a b2 x1 (a>b>0)和双曲线uuu线和椭圆上不同于 A、B的动点，且满足 APauur BP2y

5、bUULT (AQ1的公共顶点，P、Q分别为双曲uurBQ)( R,l I 1)求证：（I）三点O、P、Q在同一直线上；（n）若直线 AP、BP、AQ、BQ的斜率分别是ki、k2、k3、k4,则 ki+k2+k3+k4是定值。15 .（本小题满分20分）1已知整数列an, bn满足an 1 an 1, bn 1 一小 打，对于正整数A,定义函数2fn（X）X2 anX灯，证明：若存在某个fk（X）有两个整数零点，则必有无穷多个fn（x）有两个整数零点。16 .(本小题满分20分)已知 a 0,函数 f (x) ln x a(x 1),g(x) ex。(I )经过原点分别作曲线y f (x)和y

6、 g(x)的切线li和I2。已知两切线的斜率互为倒数,2求证：且J a e1 ee(n)设h(x) f (x 1) g(x),当x 0时，h(x) 1恒成立，试求实数 a的聚会范围。2015年湖南省高中数学竞赛答案（A卷）BBBADC11.286240112.13.A*B三1吊"|（一海+ /（铀卜，出瓶定理，目。，T以网半潴朱小思脚二仆】H号）期B5所不.AB为的稿刊.RMtA林C的内切回半校为t 求证述， 证叨w在中*Hsin 乙 Aili在Hl 八用"中设上孔邛 -W I，14.亚明J I ）因为。为原点、所以舒"神川硒阳 BQ二WQ 工4（京，网），放诉x

7、H，16.国？一"曲牯门行匕式X切式.即/一 二.印方函数八口厂对*/打4h七网子整数等©,且5九Sttg.fW.为克全w市苴法；*i I"L'：FJ1 ，二 ”iifFiTiPirriiiiiBwirf ira viJjjjkSJti.i.A i 11«r I | 中Ii比4 JU l: r 6/ 7 " S 4k I 门* '4 值*/b1 1 =幅 1 二/&rJf 二A，1v 弗WkiA- =+ zf* - >fc?E + 3m +1 1= ( rt; 4 1111*tg 知1士由si金如-港=产加-yH

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