探索勾股定理(2)

1、课题名称：探索勾股定理教材版本：北京市义务教育课程改革实验教材15册13章11节教师姓名：任万燕学校：通州区第六中学教学背景分析（一）本课时教学内容的功能和地位本节的主要内容是：探索勾股定理.勾股定理是直角三角形的一条非常重要的性质，是几何中最重要的定理之一，它揭示了一个三角形三条边之间的数量关系.勾股定理可以解决直角三角形中的计算问题， 是解直角三角形的主要根据之一，在实际生活中用途很大.它是数形结合的代表，是用数学方法来解决几何问题的基础桥梁.还是一般三角形余弦定理和平面解析几何中的两点间距离公式等知识的必要基础.充分体现数学知识承前启后的紧密相关性和连续性.勾股定理不仅促进了数学的发展，

2、而且在科技进步中也发挥了不可估量的作用.是向学 生渗透“数形结合”这一数学思想方法很好的素材 .（二）学生情况分析学生已具备整式乘法，实数的混合运算和直角三角形的有关性质的知识基础.具有良好的协作学习习惯及自主学习能力，对勾股定理的学习有较浓厚的兴趣.初中阶段是智力发展的关 键时期，学生逻辑思维从经验型逐步向理论型发展，观察能力记忆力和想象能力也随着迅速 发展.本班学生基础较好，好表现，思维比较活跃，动手能力较强.抓住学生特点，我积极采用 形象生动，形式多样的教学方法和学生广泛积极参与的教学形式，让学生动手折纸，动脑证 明，小组合作交流，从而激发学生兴趣.（三）教学准备学生按小组准备大小不同的

3、正方形教学卡片，教学多媒体课件.教学目标根据新课标要求、教材特点，以及我校初中学生数学基础较好的实际情况， 我确定了如下的教学目标：1. 掌握勾股定理内容及勾股定理的证明.2. 经历探索勾股定理的过程，培养学生观察、动手、比较、分析、交流的能 力.通过对直角三角形三边关系的猜想验证，经历从特殊到一般的探索过程，进 一步发展合情推理，体会数形结合的思想.3. 通过介绍中国古代勾股方面的成就，激发学生爱国情感，培养他们的钻研 精神.教学重点和难点分析教学重点：探索勾股定理及证明方法，掌握勾股定理内容.教学难点：探索勾股定理的证明方法.（为学生提供问题探究情境，通过师生间、 学生之间的讨论、合作学习

4、，动手实践来突破难点 ）教学过程教学环节教师活动学生活动设计意图创设情境自然导入一.等腰直角三角形三边之间的关系展示折纸图片观察欣赏折叠的通过此环节图案.激发学生的学习兴趣.通过折纸我们可以得到很多精美的图案，折纸中还蕴含着很多数学知识，今天我们继续探索折纸中的数学问题.【活动一】：观察折叠”衣服”的第一步”向心折”，折叠方法是将正方形对折，再对折找到中心，然后将四个角分别向中心翻折请同学们动手作一次向心折，思考在折叠的过程中以小组为单位用课前准备好的正培养学生动手能力.涉及到了那些数学知识 ？1气Z?、J*'/ y方形纸，按要求动手折纸并思考问题.教学过程教师活动(1)折叠的4个三角

5、形都是等腰直角三角形，它们是全等的.(2)折叠后的图形仍然是正方形(3)折叠后的小正方形面积与四个直角三角形面积相等，等于原正方形面积的一半思考：如果正方形边长已知(如，边长分别是2、3、4、6,)你还能求出那些线段的长?如果边长等于 2，不难求出折叠的等腰三角形的两条直角边都为1，我们可以通过折叠后的小正方形的面积来求其边长.每个直角三角形面积为二分之一，四个直角三角形面积和为2,即折叠后的小正方形面积为2,学生活动折纸并思考问题小组讨论并回答问思考回答问题根据自己选取的正方设计意图由“折”至“思”培养学生的动手能力，勤于思考的习惯.正方形边长等腰三角形边长直角边直角边斜边21123333

6、22224222 26333 2JJJJ边长为2，等腰直角三角形的斜边为提出问题：请同学们仔细观察等腰直角三角形的三边的长度，你能归纳出等腰直角三角形三边的数量关系吗?等腰直角三角形斜边是直角边的形的边长计算折叠直角三角形的边长.观察并思考引导学生尝试两直角边的平方和等于斜边的平方提出新问题引导学生提出问题：是不是所有的直角三角形都有这个特点呢?举例说明如，含30度角的直角三角形,举例说明一般直角三角形没有“斜边是直角边的2倍”的特点,培养探究意识引发再探究.培养学生深入边是直角边的2倍，而不是 2倍.如，含30度角的直角思考的习惯,充分调动学生的积极性，使学生积极思考.利用折纸继续探究：直角

7、三角形两直角边体会从特殊到般的过程.的平方和等于斜边的平方 片段2 :直角三角形三边关系【活动二】：正方形纸，不向中心折，得到的 三角形是一般三角形.按图2的方法折直角三 角形，你还能折出正方形吗？（折叠的直角三角形不能重叠相邻两边不能有缝隙）尝试折叠很显然，不是随意都能折出正方形的。怎样展示才能准确的折出正方形呢?明确折叠出正方形的方法DFHBAE CE C在正方形的边上分别取点E, F, G，AH=BG=CE=DF，则 GA=FB=ED=HC 即折叠的四个直角三角形全等，这样就折叠出一个正方形。提出问题：对比向心折，从折叠的过程中,你又有什么发现呢?四个直角三角形中间的空隙仍是正方形折叠后

8、的正方形面积等于四个直角三角形的面积加上空隙正方形的面积提出问题：若设折叠的每个小直角三角形直角边分别为a,b斜边为C,你能利用面积关系推到a,b,c之间的关系吗?(a2+ b2 =c2)点评：证明方法通过折纸证明思考，动手操作训练学生思小组讨论交流维，培养学生的创新意识,合作意识.让学生体会“以形证数”数形巧妙结合的数学思想方体会从特殊到独立思考的基础上小组讨论交流写证明过程方法1：般的过程CbaIHac2 = ( b-a)2+2ab整理得方法2：(a+b)整理得a2 + b2=c22=c2+2ab2 2 2 a + b =c体会用面积法证明数量关系，证明方法的特殊性.【活动三】归纳总结：勾

9、股定理文字语言：在直角三角形中，两直角边的 平方和等于斜边的平方图形语言:归纳:符号语言:如图，在RtAACB中/ C=90°二a2 + b2 =c2 (勾股定理)(bc2+ac 2=ab2)2 2=c - a结论变形a2 =c2 -b2b22 2 2c = a + b?= ? - ?= ? - ? + ?简单介绍勾股定理的历史及其他证明方（一）阅读材料：勾股定理在西方被称为毕达哥拉斯定理，相传是古希腊数学家兼哲学家毕达哥拉斯于公元前550年首先发现的.但毕达哥拉斯对勾股定理的证明方法已经失传.其实我国古代劳动人民对这一数学定理的发现和应用远比毕达哥拉斯早得多.中国最早的一部数学著作

10、周髀算经（约公元前1000多年）就记载一段周公与商高关于“勾股术”的对话，并且还记载了勾 股定理的一般形式.公元前1100年人们已经知道“勾广三，股修四，径隅五”.（古 代把直角三角形中较短的直角边称为勾， 较长的称为股，斜边称为弦.）故将此定理命名为勾股定理又称商高定理 .（二）勾股定理的证明 证法1直角三角形性质：1. 角角关系：直角三角 形的两个锐角互余.2. 边角关系：在直角三 角形中如果一个锐角 为30。那么它所对的 直角边等于斜边的一半.3. 三边关系：在直角三 角形中两直角边的平 方和等于斜边的平方（勾股定理）培养学生严谨的思维习惯书写习惯把握时机向学生讲述勾股定理的探索历史，使

11、学生感受数的灵活学证明与精巧,股定理体会勾中蕴含的历史和文化.通过以上三个活动，学生经历了实际抽象、猜想探索、一般验证的探究过程，实现了从特殊到一般的思维跨越.教学过程教学环节教师活动学生活动设计意图归纳总结讲述勾股定理的把握时机向学生探索历史，使学生感受数学证明 的灵活与精巧， 体会勾股定理中 蕴含的历史和文通过以上三个活S正方形EFGH = S小正方形+ 48直角三角形c2= （ b-a）2+2ab整理得a2 + b2 =c2板书解题格式动，学生经历了实际抽象、猜想探索、一般验证证法2:4S直角三角形2 2(a+b) =c +2ab做练习订证答案的探究过程，实现了从特殊到一 般的思维跨越.

12、整理得a2 + b2 =c2证法3总统证法：美国第二十任总统伽菲尔德的证法在 数学史上被传为佳话.人们为了纪念他对勾股定 理的证明，就把这一证法称为“总统”证法简要说明证明方法.理? ?2 = ?+ 2? + ? = ?中，有的十分精彩，有的十分简洁，有的因为证 明者身份的特殊而非常著名。 勾股定理是中国几何的根源。中华数学的精髓.被誉为千古第一定(22?2?2= ；?+?证法5著名的希腊数学家欧几里得在巨著 几何原本中给出一个很好的证明。（图为欧几里得和他的证明图）证法4约公元263年，三国时代魏国的数学家 刘徽为古籍九章算术作注释时，用“出入相 补法”证明了勾股定理小结：勾股定理是几何学中

13、的明珠， 它充满魅力， 千百年来，人们对它的证明趋之若骛， 有资料表 明，关于勾股定理的证明方法已有500余种，这是任何定理无法比拟的。在这数百种证明方法教学过程教学环节教师活动学生活动设计意图直角三角形性质：及时对相1.角角关系：直角三角形的两个锐角互余关知识进行归2.边角关系：在直角三角形中如果一个锐角纳总结形成知为30°那么它所对的直角边等于斜边的一识体系半3.三边关系：在直角三角形中两直角边的平归纳总结方和等于斜边的平方（勾股定理）定理应用：1.求下列用字母表示的边的长度/b1 52.填空反直角 ACB中，/ C=90°板书解题格馈/ A=30° BC=1

14、 则 AB=()式及方法交AC=（）此三角形三边的比为流1： ( ) : 2等腰直角三角形腰长为1 ,则底边长巩固定理巩为（）此三角形三边比为1:1：（）固若等腰直角三角形底边长为1 ,则腰长做练习应是（）订证答案用3、小明想知道学校旗杆的高度，他发现旗杆上的绳子垂到地面时还多1米，当他训练学生把绳子斜着拉开后，发现下端正好接触地分析问题，把实面，此时，绳端距旗杆5米，求旗杆的高度？际问题抽象为数学问题的能力。读题理解题意寻求解题方进一步巩固勾股定理（演示绳子变化的过程）（板书解题过程）4.直角三角形ABC的两边分别为 求第三边？反思：应用勾股定理时应注意的条件3,案把实际问题转化为数学问题（

15、直角三角形问题）利用勾股定理解决问题分析思路分类讨论问题拓展延 伸，提高学生 分析能力.使 学生进一步 理解和掌握 勾股定理四、小结（一）知识： 直角三角形性质：1. 角角关系： 互余2. 边角关系： 一 个直角三角形的两个锐角在直角三角形中，如果锐 角 为30°那么它所对的直角边等于斜边的 一半3. 三边关系：在直角三角形中，两直 角边的平方和等于斜边的平方（勾股 定理）（二）思想方法：以形”证数”数形 结合，方程思想分类讨论五、作业基本作业：127页的第1，2题 实践作业：归纳总结谈感受教师与学生 共同反思小 结，把知识纳 入体系，促进 学生理解知 识分层作业?借助互联网资源，继

16、续探索证明勾股定理的方法.思考题：如图，在 ABC中，AB=10,BC=12 AC=6,求 ABC的面积巩 固 提 高C记笔记对不同程度 的学生因材 施教，体现了 以人为本的 思想学生活动的说明从学生年龄特点来看，初中生好奇、好动、好表现，抓住学生特点，积极采用形 象生动，形式多样的教学方法，引导学生深度参与教学活动，激发学生学习兴趣, 促进学生个性发展.学生通过画图，折纸，体会数形结合的思想和解决数学问题 的方法.小组合作交流、讨论为学生提供了一个合作交流互相启发促进的平台, 促进数学思考.通过本节课的教学，引领学生从不同的角度发现问题、用多样化 策略解决问题，体现以学生为主体，以促进学生发展为本的教学理念教学设计的说明勾股定理是直角三角形的一条非常重要的性质，是几何中