均值不等式公式完全总结归纳(非常实用)

1、均值不等式归纳总结1. (1)若 a,b 亡 R，则 a2 +b2 >2ab2 , 2 a +b(2)若 a，R '则 a2（当且仅当a = b时取=”）2. （1）若 a,b-R*，则乎>価(2)若 a,b 年 R*，贝y a 十 b > 2jab（当且仅当a = b时取=”fa +b 丫h J3.若xaO，则2 （当且仅当x=1时取=）X若x<0，则-2 （当且仅当x = -1时取=”X若a,b迂R*，则ab<（当且仅当a=b时取=”X + >2即 X + >2或 X + <-2 X（当且仅当a = b时取=）4.若ab>0，则

2、（当且仅当a = b时取=）b a若ab工0，则a +b > 2即a + b > 2或 a + b < -2(当且仅当a = b时取=)b a b a丄.2.25.若a,b壬R，则（Ub）2<g-（当且仅当a = b时取=”2 2PS.（1）当两个正数的积为定植时，可以求它们的和的最小值，当两个正数的和为定植时，可以求它们的积的最小值，正所谓“积定和最小，和定积最 大”（2）求最值的条件“一正，二定，三取等”（3）均值定理在求最值、比较大小、求变量的取值范围、证明不等式、解决实 际问题方面有广泛的应用应用一：求最值例1:求下列函数的值域1 y = 3x 2 + 2；：1

3、(2) y=x + x值域为当x>0时,当XV 0时,解: (1)y = 3x 2 k,-2 L2 ,+ 乂=2解题技巧技巧一：凑项例 已知X<5，求函数y=4x2十丄的最大值。右不是常数所以对44x5解：因4x-5<0，所以首先要“调整”符号，又4x2b4x-2要进行拆、凑项,:x<5j5-4x >0,y =4x2+ =-£4x+344x5I54x 丿当且仅当5-4x=1一，即x=1时，上式等号成立，故当x = 1时，ymax=1。5 -4x评注：本题需要调整项的符号，又要配凑项的系数，使其积为定值。例1.当USU4时，求y=x(8-2x)的最大值。解

4、析：由0<xv4知，8-2x>0，利用均值不等式求最值，必须和为定值或积为 定值，此题为两个式子积的形式，但其和不是定值。注意到2x + (8-2x)=8为定值, 故只需将y=x(8-2x)凑上一个系数即可。y = C8-2x) = l2x * (3 - 2x) < *严十;-込 2 = 8当2a=S-2x，即x = 2时取等号 当x = 2时，y=x(8-2x)的最大值为8。评注：本题无法直接运用均值不等式求解，但凑系数后可得到和为定值，从而 可利用均值不等式求最大值。变式：设0vx<|，求函数y=4x(3 2x)的最大值。|解: V0<2 .-1-20=4x(

5、3-2x) =2 ”2x(3-2x) <2当且仅当2x=3-2x,即X =-4(0,|时等号成立。技巧三：分离2(X-1)的值域。血 O + x +7x+10例3. 求y =X +1解析一：本题看似无法运用均值不等式，不妨将分子配方凑出含有(x+ 1 )的项，再将其分离。x + l1,即x+lnD时,丫工2丿(x+1)x丄中5=9 (当且仅当x = 1时取“=”号)。YX +1$X + 托 + 、/ 牙 + 技巧四：换元解析二：本题看似无法运用均值不等式，可先换元，令t=X + 1，化简原式在分离求最值。(t1)2 +7(t-1)+10 t2+5t+44y =t- +5ttt当 Q-l，

6、即 t"+l n 0 时，y 324 + 5 = 9 (当 t=2 即 X = 1 时取“=”号)。评注：分式函数求最值，通常直接将分子配凑后将式子分开或将分母换元后将式子分开再利用不等式求最值。即化为 y = mg(x + B(A A 0,B > 0) , g(x)恒正g(x)或恒负的形式，然后运用均值不等式来求最值。技巧五：在应用最值定理求最值时，若遇等号取不到的情况，结合函数f(x) = x+£x的单调性。X2 +5例：求函数厂手二的值域。Jx2 +4解：令 Jx2 +4 =t(t 2)，则 y_i+5 "x2! +_=tJ(t32)Jx2 +4Jx2

7、 +4 t因tZtl/，但t J解得t=±1不在区间2卞），故等号不成立，考虑单调性。 因为y =t £在区间1,址）单调递增，所以在其子区间2,址）为单调递增函数，故5y >。2所以,所求函数的值域为IT练习.求下列函数的最小值，并求取得最小值时,x的值.Qx + 3x +11y =,(x >O) (2) y = 2x + ,x>3xX 3(3) y = 2sin x+丄,X- (0,兀)sin x2.已知0vx<1，求函数y = Jx（1-x）的最大值.;3.0£x<3，求函数 y= Jx(2-3x)的最大值.条件求最值1.若实数

8、满足a+b=2，则3a+3b的最小值是分析：“和”到“积”是一个缩小的过而且3a农定值，因此考虑利用均值定理求最小值,解：3a和3b都是正数，3a +3b=6当3* =3b时等号成立，由a + b = 2及3* =3b得a = b = 1即当a = b = 1时，3* +3b的最小值是6.1 1变式：若Iog4x+log4 y =2，求- -的最小值.并求X,y的值X y技巧六：整体代换多次连用最值定理求最值时，要注意取等号的条件的一致性，否则就会出错。2:已知x：>0,y：>0，且-=1，求x + y的最小值。x y错解：T X >0, y >0 ,且丄 +? =1

9、,X y故.x + ydlx + yVx y丿(x + y min =12。错因：解法中两次连用均值不等式，在X + y工2jxy等号成立条件是X = y，在丄+92匡等号成立条件是丄二9即y=9x,取等号的条件的不一致，产生错误。因X y VxyX y此，在利用均值不等式处理问题时，列出等号成立条件是解题的必要步骤，而 且是检验转换是否有误的一种方法。正解：Tx A0,y A0,1+2 =1，二 X+ y =(x+ y Z1+3+空+10 >6+10 =16X y(x y 丿 X y当且仅当f =牛时，上式等号成立，又2十* "，可得X =4,y =12时，(x+ ykin

10、=16。变式:(1)若x,y- R十且2x+ y =1，求丄+丄的最小值X y(2)已知a,b,x, y忘r+且a + b =i，求x+ y的最小值x y技巧七已知X,y为正实数，且X 2 + J = 1,求 xy 1 + y 2的最大值.分析：因条件和结论分别是二次和一次,故采用公式同时还应化简寸1 + y 中y2前面的系数为xyjl + y 2 = X12- 即X寸1 + y 2技巧八:已知a,b为正实数,12b + ab+ a = 30，求函数y=的最小值.ab分析：这是一个二元函数的最值问题，通常有两个途径，一是通过消元，转化为一元函数问题，再用单调性或基本不等式求解，对本题来说，这种

11、途径是可行的；二是直接用基本不等式，对本题来说，因已知条件中既有和的形式，又有积的形式，不能一步到位求出最值，考虑用基本不等式放缩后，再通过解不等式的途径进行。30 2b 法一：* "b+T30 2b ab=b+ 12 b2 + 30 b b =b+1由 a> 0 得，0V b< 152t2 + 34t 31令 t= b+1 , 1 < t< 16, ab16 162（t+7）+ 34 t+7 216L = 8/. abwi81yA w当且仅当t.4，即b=3, a=6时，等号成立。30 ab = a + 2b 丁 a + 2b A2寸2 ab二 30 ab

12、A法二：由已知得：2 寸2 ab令 u=ylab贝J u2 + 2G u 30O, 5寸2 <U<3寸2, ab <18 ,y点评：本题考查不等式 ¥>庙(a,b迂R崭勺应用、不等式的解法及运算能力; 如何由已知不等式ab=a+2b+30( a,b汗出发求得ab的范围，关键是寻找到 ¥ >70 (a" R，这样将已知条件转a+b与ab之间的关系，由此想到不等式换为含ab的不等式，进而解得ab的范围.变式：1.已知a>0, b>0, ab （a + b） = 1,求a+ b的最小值。2.若直角三角形周长为1,求它的面积最大值

13、。技巧九、5、已知取平方X, y为正实数，3x+ 2y= 10，求函数W=寸二+A/2y的最值.解法一:a + b a 2+ b 2 若利用算术平均与平方平均之间的不等关系，厂,本题很简单品 +隔 Z2 P （伍）2 +（霸）2 =a/2 寸3x + 2y 2訴解法二：条件与结论均为和的形式，设法直接用基本不等式，应通过平方化函数式为积的形式，再向“和为定值”条件靠拢。W > 0 , W = 3x + 2y + 2a/3x= 10 + 2 /3x<10 +/aX )2 拓)2 = 10 + (3x + 2y)= 20 W </20 = 2p5变式：求函数y口+后陨1。詣)的最

14、大值。解析：注意到2x-1与5-2x的和为定值。y2 =(j2x-1 + j5-2x)2 =4+2j(2x-1)(5 -2x) <4+(2x-1) +(5-2x) =8又 y >0，所以 0 <y <242当且仅当2x-1 = 5-2x，即x=3时取等号。故yma2/2。评注：本题将解析式两边平方构造出“和为定值”，为利用均值不等式创造了条件。 总之，我们利用均值不等式求最值时，一定要注意“一正二定三相等”，同时还要 注意一些变形技巧，积极创造条件利用均值不等式。应用二：利用均值不等式证明不等式1.已知a,b,c为两两不相等的实数，求证:a? +ab + be + ca

15、1)正数 a，b，c 满足 a + b+ c= 1，求证：(1 a)(1 b)(1 c)为abc-丄一1 丫丄一1 丫丄一1>8 la人b Ac丿f 1例6:已知a、b、c亡r+，且a + b+c=1。求证：1分析：不等式右边数字8,使我们联想到左边因式分别使用均值不等式可得三个 2”连乘，又! 一仁口 =止>麵，可由此变形入手。a a a a解：a、b心 r+, a+b+ c = 1。. 1-1 =口aa=沁二还。同理丄猪2工遁。a abb cc上述三个不等式两边均为正，分别相乘,的普普普=8。当且仅当a=b = c = 3时取等号。应用三：均值不等式与恒成立问题例：已知xlyAO且=1，求使不等式x + y二m恒成立的实数m的取值范围。x y*1 Q 解：令 x + y =k, X ：>0, y >0, -+=1 , ”x ykx