2019-2020学年高中数学人教A版选修2-2练习：1.4生活中的优化问题举例含解析

1、应用渠巩固提升A基础达标x小时，原油1.炼油厂某分厂将原油精炼为汽油，需对原油进行冷却和加热，如果第1O温度(单位：c)为f(x)=1x3x2+8(0WxW5),那么原油温度的瞬时变化率的最小值是()3A.8B.203C. 1D.8解析：选C.原油温度的瞬时变化率为f(x)=x22x=(x1)21(0wxw5),所以当x=1时，原油温度的瞬时变化率取得最小值-1.2.某商场从生产厂家以每件20元的价格购进一批商品.若该商品零售价定为P元，销售量为Q件，且销量Q与零售价P有如下关系：Q=8300-170P-P2,则最大毛利润为(毛利润=销售收入一进货支出)()A.30元B.60元C.28000元

2、D.23000元解析：选D.毛利润为(P20)Q,即f(P)=(P-20)(8300-170P-P2),f(P)=3P2-300P+11700=-3(P+130)(P-30).令f(P)=0,得P=30或P=130(舍去).又PC20,+8),故f(P)max=f(P)极大值,故当P=30时，毛利润最大，所以f(P)max=f(30)=23000(元).3.某工厂要围建一个面积为512m2的矩形堆料场，一边可以利用原有的墙壁(墙壁足够长)，其他三边需要砌新的墙壁，若使所用的材料最省，则堆料场的长和宽应分别为()A.32m,16mB.30m,15mC.64m,8mD.36m,18mx m,则长为

3、解析：选A.要使材料最省，则新砌的墙壁的总长度应最短.设堆料场宽为512 m,因此新墙总长 L(x) = 2x+ x16舍去）.故当x=16时,L（x）取得最小值，此时长为51216-=32(m) .4.某出版社出版一读物，一页上所印文字占去150 cm2,上、下要留1.5 cm空白，左、右要留1 cm空白，出版商为节约纸张，应选用的 尺寸为（）A.左右长12 cm,上下长18 cmB.左右长12 cm,上下长19 cmC.左右长11 cm,上下长18 cmD.左右长13 cm,上下长17 cm150解析：选A.设所印又字区域的左右长为x皿则上下长为g所以纸张的左右长为(x+ 2)cm ,上下

4、长为50+3 cm,所以纸张的面积 S=(x + 2);x0+3 = 3x+ 300+156.所以S = 3一等，令S = 0,解得x= 10.当x10时，S单调递增;当0vx10时，S单调递减.所以当x=10时，Smin=216（cm2）,此时纸张的左右长为12 cm,上下长为18 cm.故当纸张的边长分别为 12 cm, 18 cm时最节约.5.圆柱形金属饮料罐的体积一定，要使生产这种金属饮料罐所用的材料最省，它的高与底面半径之比为（）A. 2 ： 1B. 1 ： 2C. 1 ： 4D. 4 ： 1解析：选A.设其体积为V,高与底面半径分别为 h, r,则V= 0),则L(x)=2512.

5、令L(x)=0,解得x=16(x=xx6 .一房地产公司有50套公寓要出租，当月租金定为1000元时，公寓会全部租出去，当月租金每增加50元，就会多一套租不出去，而租出去的公寓每月需花费100元维修费，则租金定为元时可获得最大收入.解析：设没有租出去白公寓数为x,则收入函数f(x)=(1000+50x)(50x)100(50x),所以f(x)=1600100x,解得x=16,所以当x=16时，f(x)取最大值，把租金定为1800元时，收入最大.答案：18007 .甲、乙两地相距240km,汽车从甲地以速度v(km/h)匀速行驶到乙地.已知汽车每1小时的运输成本由固定成本和可变成本组成，固定成本

6、为160兀，可变成本为总qv3兀.为6400使全程运输成本最小，汽车应以km/h的速度行驶.解析：设全程运输成本为y元，由题意知240,13,小y=MC60+Gv。0)，1602V皿-/+百.I令y=0,得v=80,当v80时，y0;当0v80时，y0).由L(x)=；2x2+250=0,得x=25.令L(x)0,得0x25;令L(x)25,25一x得L(x)在区间(0,25)上单调递增，在区间(25,+8)上单调递减，所以当x=25时，总利润最高.答案：259 .某商店经销一种奥运纪念品，每件产品的成本为30元，并且每卖出一件产品需向税务部门上交a(a为常数，4Waw5)元的税收，设每件产品

7、的日售价为x(35wxw41)元，根据市场调查，日销售量与ex(e为自然对数的底数)成反比.已知每件产品的日售价为40元时，日销售量为10件.(1)求该商店的日利润L(x)元与每件产品的日售价x元的函数关系式；(2)当每件产品的日售价为多少元时，该商品的日利润L(x)最大，并求出L(x)的最大值.解：(1)设日销售量为4当日售价为40元，日销量为10件时，9O=10,所以k=10e40,ee10a40故日销售量为当一件.e10e(x30a)贝UH禾1J润L(x)=-x(35x41).e10e(31+ax)(2)由(1)可得L(x)=x,因为4a5,所以35a+3136.e令L(x)=0,得x=

8、a+31,故L(x)在35,a+31上为增函数，在a+31,41上为减函所以当x=a+31时，L(x)取得最大值，最大值为10e9-a10 .某地建一座桥，两端的桥墩已建好，这两墩相距m米.余下工程只需建两端桥墩之间的桥面和桥墩.经测算，一个桥墩的工程费用为256万元；距离为x米的相邻两墩之间的桥面工程费用为(2+出口万元.假设桥墩等距离分布，所有桥墩在桥面距离计算中都视为点，且不考虑其他因素，记余下工程的费用为y万元.试写出y关于x的函数关系式;(2)当m=640米时，需新建多少个桥墩才能使y最小?解：(1)设需要新建n个桥墩，则(n+1)x=m,即n=?-1,所以y=f(x)=256n+

9、(n+ 1)(2+x)x= 256256m 十 xm阪+2m-256(0xm).133(2)对第一问中函数f(x)求导得，f(x)=-7m+2mx2=27(x2-512)=r(x2-xNNxx512)(0x640).3令f(x)=0,解得x2=512,即x=64.当0x64时，f(x)0,f(x)在区间(0,64)上为减函数;当640,f(x)在区间(64,640上为增函数.所以f(x)在x=64处取得极小值，也是最小值，此时n=*1=鬻-1=9.故需新建9个桥墩才能使y最小.B能力提升11 .若球的半径为R,作内接于球的圆柱，则其侧面积的最大值为()2B.kR2-2C. 4 tR12D.2T

10、R解析：选A.设内接圆柱的高为h,底面半径为x,则x=_2h2R-7，所以S侧=2依卜=2而、Jr2h4=2兀;R2h2-：一,ooh4令t=R2h2I，则t=2R2h-h3,令t=0,得h=V2R(舍负)或h=0(舍去)，当0h0当42Rh2R时，t0,所以当h=2R时，圆柱的侧面积最大.所以侧面积的最大值为22R4=2近：故应选A.12.将边长为1 m的正三角形薄铁皮,沿一条平行于某边的直线剪成两块，其中一块是梯形记s=(SS则s的最小值是解析：如图，设AD=x(0x1),则DE=AD=x,所以梯形的周长为+2(1x)+1=3x.又S诙=x2,所以梯形的面积为巧-所以4/3x26x+93x

11、2(0x1),31-x8仙(3x1)(x3)11则s=-X2.令s=0,解得x=3或x=3(舍去).当x(0,)时,s0,s为增函数，故当x=；时，s取得极小值，也是最33小值，此时s的最小值为32 .3313.某学校拟建一座长60米，宽30米的长方形体育馆.按照建筑要求，每隔x米需打建一个桩位，每个桩位需花费4.5万元(桩位视为一点且打在长方形的边上且四个顶点各有60一个桩位),桩位之间的x米墙面需花(2+3X)x万元，在不计地板和天花板的情况下，当x为何值时，所需总费用最少？解：由题意可知，需打2(60+1)+2(301)=180(0*30)个桩位.墙面所需费用为(2+V3x)x180=1

12、80(2+啊)(0x9+180(2+啊)=180件+啊)xx22x+360(0x30).339.QSJ3(-3+(x2)令2次+限，则t=-27+2Vx=27，当0vx3时，t0;当3vx0.所以当x=3时，t取极小值为t=j4+*=2入392.99一而在(0,30)内极值点唯一，所以tmin=2.所以当x=3时，ymin=180X-+360=1170(万元)，即每隔3米打建一个桩位时，所需总费用最小为1170万元.14.(选做题)如图是某市在城市改造中的沿市内主干道城站路修建的圆形休闲广场，圆心为O,半径为100m,其与城站路一边所在直线l相切于点M,MO的延长线交圆。于点N,A为上半圆弧上一点，过点A作l的垂线，垂足为点B.市园林局计划在ABM内进行绿化，设ABM的面积为S(单位：m2).V月 川城站路(1)以/AON=6(rad)为自变量，将S表示成。的函数;(2)求使绿化面积最大时点A的位置及最大绿化面积.解：(1)由题意知，BM=100sinaAB=100+100cos。，故S=5000sin&1+cos9)(09nt)(2)因为S=5000sin9(1+cos0(00nt)所以S=5000(co