平面向量题型归纳

1、学习必备欢迎下载平面向量题型归纳.向量有关概念：【任何时候写向量时都要带箭头】I1. 向量的概念：既有大小又有方向的量，记作：AB或a。注意向量和数量的区别。向量常用有向线段来表示，注意 不能说向量就是有向线段，为什么？(向量可以平移)。I例：已知A (1,2), B (4,2),贝y把向量 AB按向量a =( 1,3)平移后得到的向量是2.向量的模：向量的大小(或长度)，记作:| AB I或 lai。3. 零向量：长度为0的向量叫零向量，记作:4. 单位向量：单位向量：长度为1的向量。0，注意零向量的方向是任意的；若e是单位向量，则帶。(与7B共线的单位向量是 +却；|AB|5. 相等向量：

2、长度相等且方向相同的两个向量叫相等向量，相等向量有传递性;6. 平行向量(也叫共线向量)：方向相同或相反的非零向量 / b,规定零向量和任何向量平行。a、b叫做平行向量，记作：a提醒:相等向量一定是共线向量，但共线向量不一定相等; 两个向量平行与与两条直线平行是不同的两个概念: 线，但两条直线平行不包含两条直线重合；I4 平行向量无传递性！(因为有0)；两个向量平行包含两个向量共三点A、B、C共线二 AB、AC共线;如图，在平行四边形 ABCD中，下列结论中正确的是 (A. AB =CDb.abTDJBDT T TC. AD +AB = ACD.7D+芯 0C7. 相反向量：长度相等方向相反的

3、向量叫做相反向量斗T彳a的相反向量是一a、AB jjBA。 例：下列命题：(1)若 a =|b，则 a = b。(2)若a =b,b=c，则 a = c。(6)若 a/bb/c ,则a/C(3)若h，则AD 是平行四边形。(4)若AD 是平行四边形，则A = DC。 其中正确的是题型1、基本概念1:给出下列命题:若|旨|=2|,则a=b；向量可以比较大小；方向不相同的两个向量一定不平行;若a=b, b=3，则 a=c ；若S/zb, b/C，则 a/C ；o a=o ； o a=o；其中正确的序号是2、基本概念判断正误：（1）共线向量就是在同一条直线上的向量。若两个向量不相等，则它们的终点不可

4、能是同一点。与已知向量共线的单位向量是唯一的。四边形ABCD是平行四边形的条件是 启 =CD O若AB =CD，则A、B、C、D四点构成平行四边形。因为向量就是有向线段，所以数轴是向量。(8)II若a与b共线,I4*若 ma =mb ,IIIIb与c共线，则a与c共线。(9)4maII（10）若a与b不共线，则a与b都不是零向量。（11）若 a 為a|.|b|，则：/： O4若 |a + b|=|a-b|，贝U a丄 b o二、向量加减运算8. 三角形法则:T T 4 T T M -H 4 T TAB+BC=AC ； AB+BC+CD +DE = AE ； AB AC = CB (指向被减数)

5、9. 平行四边形法则：以a, b为临边的平行四边形的两条对角线分别为a+b题型2.向量的加减运算T T T T J1 化简(AB +MB)+(BO+ BC)+OM =学习必备欢迎下载2、已知iOAz,iOBz,则|譎的最大值和最小值分别为3、在平行四边形ABCD中，若AB+AD =|ABADI，则必有A. AD =0B. AB=0或 AD=0C.ABCD是矩形D. ABCD是正方形题型3.向量的数乘运算4 44 41、计算：(1)3(a +b) -2(a+b)=耳+(2) 2(2a+5b-3C)-3(2a+3b-2C) =题型4.作图法求向量的和1、已知向量a,b，如下图，请做出向量3a+ib

6、 和 2：-3b。2 21、已知在 MBC中，D是BC的中点,请用向量 AB,AC表示AD 。题型5.根据图形由已知向量求未知向量学习必备欢迎下载2、在平行四边形 ABCD中，已知 AC =a,BD =b，求AB和 aD o题型6.向量的坐标运算1、设站=It则I i? + /)= (X| + Vj, F, + vJ! a-h = (v, -y) 加=(从珀2、设环习小：则愿=(七-小-r)只实质是将问量的起点移和唯柢丿奈点.1、已知扌= (1,7),b =(,8)，则 3； -b =2练习：若物体受三个力F,= (1,2) , F2 = (-2,3) ,= (1, 4)，则合力的坐标为2、已

7、知PS =(3,5) , P(3,7)，则点Q的坐标是3、已知 3 =(3,4) , b = (5,2)，求 a+b , a-b , 2； o2、已知 A(1,2), B(3,2)，向量扌= (x+2,x-3y-2)与 AB 相等，求 x,y 的值。5、已知0是坐标原点，A(2,-1),B(V,8)，且AB+ 3B =0，求oC的坐标。那么对该平面内三.平面向量的基本定理 ：如果ei和e2是同一平面内的两个不共线向量, 的任一向量a,有且只有一对实数 打、入2，使a=ei+ :迄a。基底：任意不共线的两个向量称为一组基底。题型7.判断两个向量能否作为一组基底4斗1已知ei,2是平面内的一组基底

8、，判断下列每组向量是否能构成一组基底:Th*A. ei +e2和e e2B.3e 2e2和4e2 -6eiC.ei +3e2和e 3ei练习：下列各组向量中，可以作为基底的是(A) =(o,o),e2 =(1,/)(B) 8=(-1,2)2=(5,7),.-r-(C) e =(3,5), e2 =(6,10)(D) e(2-3),e(i3)2、.已知a =(3,4)，能与a构成基底的是(3 44 3344a.(5,5)(5,5)Dzp3、知向量ei、e2不共线，实数(3x-4y)&+ (2x-3y)e2 =6ei+3e2侧x y的值等于4、设 e1,e?是两个不共线的向量，AB = 2e, +

9、 ke2,CB ：= e, + 3e2,C = 2e -e2，若 A、B、D三点共线，求k的值.5、平面直角坐标系中，HOB，其中a, 3c R且O为坐标原点，已知两点A(3,1),B(-1,3),若点C(x, y)满足oC = aOA+ 3 a+ 3=1，则x, y所满足的关系式为A . 3x+2y-11=02 2B . (x-1) +(y-2) =5 C. 2x-y=0 D . x+2y-5=0四.平面向量的数量积1.两个向量的夹角：-T T 4 T T对于非零向量a , b，作OA = a,OB=b , N AOB = T(0 日 0时，A a的方向与a的方向相同，当A 0时，A a的方

10、向与a的441方向相反，当入=0时，几a=0,注意：几a M0T TT T I 4 T例1、已知AD, BE分别是也ABC的边BC,AC上的中线，且 AD=a,BE=b,则BC可用 向量a, b表示为例2、已知心ABC中，点D在BC边上，且CD =2DB , CD = r AB + sAC，则r + s 的值是-4 T2.平面向量的数量积：如果两个非零向量 a , b ,它们的夹角为0 ,我们把数量I a |b| cos=ajjbco。规定：零向量与任一向量的数量积是 0,注意数量积是一个实数，不再是一个向量。3.向量的运算律：1交换律:-4444 a +b =b +a,彳4 H 44k(Pa

11、 )=(扎4 Ja , a .b =b ；2.结合律:4444444444 44444a +b +c =(a + b )+c,a b - c =a - (b +c ), ()“a )*b = A(a b ) = a (入b )；3.分配律:4bA +4 aA题型8:有关向量数量积的判断1：判断下列各命题正确与否:(1)(a+b)+c=a+(b+c)； (2)若 a b = a c，则 bHc 当且仅当 a=0 时成立;(a + b)C=ac +bc； (4) (a b) c = a (b c)对任意 a, b,c 向量都成立;(5)若a H0,a b=a c，则b =c ；(6)对任意向量a，

12、有a2。(7)m ( a+b) =ma +mb 其中正确的序号是2、下列命题中:T T T TT TTT TT TT T ab-c) = a 七- a 9 ; a、(b 9)= (a、b) -c ;T T 2 T 2(a-b)司 a|44a = c ； aT T T 2-2|a| |b|b|4 ；aTTTT4 i 4； 若ab = 0,则a = 0或b = 0 ；若ab=c b,贝9 斗耳2(a b)42 424 442442=a b ；(a-b) =a -2a b +b。其中正叫做a与b的数量积(或内积或点积)，记作：a b，即a b确的是题型9、求单位向量I4【与a平行的单位向量:i=X

13、】|a|1.与a =(12,5)平行的单位向量是。2.与m=(-1)平行的单位向量是2题型10、数量积与夹角公式:44I耳耳a b=| a p| b | cos日；cosT = -44-|a| jb|4向量的模：若a=(x,y),则 | a |= Jx2 + y2 , a扁2 ,|：石1 ABC 中，I AB 1=3 ,I AC |=4 , I BC |=5 ,2、已知 a =(1丄)；=(0,-1),C=a+kb,d =a-b ,2 2c与T的夹角为上，则k等于43、已知|a|=3,|b|=4，且a与b的夹角为60 ,求（1）a(2) a (a+b),a -b) b , (4) (2a-b)

14、 (3b)。24、已知a,b是两个非零向量，且a -b|，贝U a与a +b的夹角为5、已知6、已知2 =(/3,1),b =(-2虑2)，求 a 与 b 的夹角。A(1,0) , B(0,1) , C(2,5)，求 cos/BAC。7、已知非零向量a,b满足a = b ,b丄（b -2a）,则a与b的夹角为学习必备欢迎下载&已知 MBC中N ABC =50, ,BC = BA,则BA与AC的夹角为IIIIIIIJqrrr彳彳弓 a9：已知向量a与向量b的夹角为120 若向量c = a +b，且a丄c，则屮 的值为IIIIIII10： 已知|6|= 1|b|= 2, |a + b |= 2,则

15、b与2a-b的夹角余弦值为IIIIIIII11 ：已知向量I a I = j2, I b I =2, a和b的夹角为135，当向量a+A b与扎a+b的 夹角为锐角时，求 A的取值范围。题型11、求向量的模的问题如向量的模：若a = (x,y)，则|：|2 + y , r =|；|2,|a +b |= J(a+b)21、已知零向量 a =(2,i),a.b =ioa+b| =5J2，贝贝b =2、已知向量a, b满足aa =1, b = 2, a b =2,贝U a +b =3、已知向量a =(1, J3) , b = ( 2,0)，贝U a +b =4、已知向量a =(1,sin 0),b

16、=(1, cos),贝Ua -b的最大值为+ 25、设点M是线段BC的中点，点A在直线BC外,BC =16, AB + AC=AB AC ,则 AM =()(A) 8(B)4(C) 2(D) 1学习必备欢迎下载6、设向量a ,b 满足 a = b =1 及 4a -3b = 3，求 3a + 5b 的值练习：已知向量a,b满足 a=2b=5ab=-3求 a + b禾R a - b7、设向量a，b满足a =1,b =2,a丄（a-2b）,则2a+b的值为最小值是8、已知向量a、b满足3=1, |b|=4，则|a b|的最大值是题型12、结合三角函数求向量坐标1.已知O是坐标原点，点 A在第二象限

17、，|OA|=2 , Z xOA=150，求OA的坐标。2.已知0是原点，点 A在第一象限,|0A|=4j3，乙xOA=60，求 OA 的坐标。T +五、平行与垂直知识点：a / /b =T T Ia 丄bu a b =0= XiXyiy0题型13:向量共线问题1、已知平面向量a =(2,3x),平面向量b = ( - 2,-18),若a / b，则实数x2、设向量a=(2, , (2,3)若向量与向量c = (-4,- 7)共线，则Z =3、已知向量a (1, ,b (2, X)若a+ b与4b-2a平行，则实数x的值是()A. -2B. 04、已知向量 0A =(k,12),0B =(4,5

18、),OC =(k,10),且A, B, C三点共线, 则k =练习：设 PA=(k,12),PB =(4,5),PC =(10,k)，则 k =时，A,B,C 共线5、已知a,b不共线，c =ka +b, d = a - b，如果c / d，那么k= ,c与d的方向关系练习：已知 a=(1,1),b=(4, X), u =a+2b , v = 2a+b，且 U/v，贝U x=6、已知向量 a =(1,2), =( 2, m),且 a / b，贝U 2a +3b =题型14、向量的垂直问题1、已知向量a (x,b =(3,6)且3丄b，则实数x的值为2、已知向量a =(1, n) , b =(

19、T , n),若2ab与b垂直，则a =练习：已知a = (1, 2), b= (-3, 2)若ka+2b与2a-4b垂直，求实数k的值F 兀I- 1-r-3、已知单位向量 m和n的夹角为一，求证：(2n-m)丄m34、a (3,1),b =(1,3),c=(k,2),若(a Q 丄 b,则 k =练习：a =(1,2),b =(2,3),若向量 C满足于(C + a)/ b , C丄 G+b),则C =5、以原点 0和A(4,2)为两个顶点作等腰直角三角形OAB , NB =90，则点B的坐标是题型15、b在a上的投影为|b|cos8，它是一个实数，但不一定大于0。TTT T1、已知 I a

20、 1=3 , I b 1 = 5，且 a”b =12，则向量TTa在向量b上的投影为2、已知a =8 ,e是单位向量，当它们之间的夹角为II时，a在e方向上的投影为3-+if2 花练习：已知 =5, b =4, a与b的夹角6 =in3则向量b在向量a上的投影为题型16、三点共线问题1.已知 A(0, 2)，B(2, 2)，C(3,4)，求证：A, B, C 三点共线。2.设AB左(：+5【),吐鳥+8：,材=3爲)，求证：A B、D三点共线。2练习：已知AB鳥+2b,s5a+6b,c5=7a-2b，则一定共线的三点是3.已知A(1-3), B(8, -1)，若点C(2a-1,a + 2)在直

21、线AB上，求a的值。4.已知四个点的坐标0(0,0) A(3,4) , B(1,2) , C(1,1)，是否存在常数t ,使5: 0,62是平面内不共线两向量，已知AB =号_ke2，CB =2印+2, CD =3号e?，若A, B, D三点共线，则k =6： 设0是直线I外一定点，A、B、C在直线I上,且 OB =3OA +xOC，则 x =IIII7：设a , b是两个不共线向量，若 a与b起点相同,t R, t=II时，a , tb ,II3( a+b)三向量的终点在一条直线上。&如图，在 ABC中，点O是BC的中点，过点 0的直线分别交直线 AB、AC于不同的两点 M、N,若AB =

22、mAM, AC = nAN,贝U m+n的值为49:在OAB 的边 OA, OB 上分别取点 M , N,使 |Om| : |Oa|= 1 : 3, |ON| : |0 ；当P点P1P2的延长线上时 U 1；当P点在线段P2P1的延长线上时二-IVAVO ； 例1、若点P分AB所成的比为3，则A分BP所成的比为43线段的定比分点公式 ：设R(X1,y1)、F2(X2, y2), P(x, y)分有向线段PP2所成的2= 4X - !2比为几，则1人，特别地，当几=1时，就得到线段P1P2的中点公式I w + vo。L1 +九题型17、定比分点?1 ?2、若 M (-3, -2), N (6,

23、-1),且 MP= MN,则点 P 的坐标为33、已知A(a,0), B(3,2 +a)，直线y-ax与线段AB交于M，且 =2TMb ，则a等于2七、平移公式：如果点 P(x,y)按向量f(x, y)=0按向量a=(h,k )平移得曲线平常 左加右减”有何联系？ ( 2)向量平移具有坐标不变性,a=(h,k )平移至 P(x：y)，则 Jx = x+h ；曲线y = y+kf(x-h,y-k) =0.注意：(1)函数按向量平移与题型18、平移441、按向量a把(2,_3)平移到(1-2)，则按向量a把点(-7,2)平移到点2、函数y =sin2x的图象按向量 T平移后，所得函数的解析式是Ty

24、 = cos2x +1，贝y a =八、向量中一些常用的结论(1) 一个封闭图形首尾连接而成的向量和为零向量，要注意运用；444 44彳扌(2) |a| |b| 兰 |abWa|+|b|，特别地，当 a、b 同向或有I 444 彳 Tq呻 4；.纠2|%|冃a亍b|；当、2反向或有0= |aT*|卄 3|a +bl = a+b 共线二| a|卜b | ca ：4)| .2 0B ,其中仏，扎2亡R且人2 = 1，则点C的轨迹是题型19、判断多边形的形状r T T 4 T T1.若AB =3e , CD = 5e,且| AD|=|BC|,则四边形的形状是2.已知 A(1,0)，B(4,3) ,

25、C(2,4)，D(0,2)，证明四边形 ABCD 是梯形。3.已知A(2,1)，B(6, -3)，C(0,5)，求证：卫ABC是直角三角形。4、在 ABC中，若BA”BAAB CB = 0 ，则 ABC的形状为A .等腰三角形B.等边三角形C .等腰直角三角形D .直角三角形5、在平面直角坐标系内，0A = (1,8),0B =(_4,1), 0C = (1,3)，求证：iABC是等腰直角三角形。6、平面四边形ABCD中,AB=a, BC =b, CD=c, DA=d，且判断四边形ABCD的形状.题型20:三角形四心1已知MBC的三个顶点则点P是MBC的A、B、C及心ABC所在平面内的一点 P

26、,若()A .重心B .垂心 C.内心D .外心2.已知点0是三角形所在平面上一点，若 0A0A0B0C=0C0A则0是三角形ABC的(A)内心(B)外心(C)重心(D)垂心2 2 23、已知点0是三角形所在平面上一点， 若0A =0B =0C，则0是三角形 ABC的()(A)内心(B)外心(C)重心(D)垂心OB = OC ,NA + NB + NC =0 ,练习、已知 0, N, P 在iABC所在平面内，且 OA =且 PA PB = PB*PC =PC PA，则点 0, N, P依次是也ABC 的()(A)重心外心垂心(B)重心外心内心(C)外心重心垂心(D)外心重心内心4、在平面内有

27、T T T T T tMBC 和点 0,若 AB (OA+OB) =AC (0C +0A) =0 ,则点 0 是MBC 的A .重心B .垂心C .内心D .外心5、已知点0是平面上一个定点，A、B、C是平面内不共线三点，动点P满足OP =0A + a(AB +AC),几壬R，则动点P 定通过AABC的(A)内心(D)垂心(B)外心(C)重心动点P 满足 0P = 0A + A6、已知点0是平面上一个定点， A、B、C是平面内不共线三点,R，则动点P 定通过人ABC的( l|AB| |AC| 丿(A)内心(B)外心(C)重心(D)垂心7、已知点0是平面上一个定点， A、B、C是平面内不共线三点,动点P 满足 OP = 0A + AR，则动点P 定通过A ABC的(A)内心(D)垂心(B)外心(C)重心8、已知0平面上一个定点，A、日 0B + 0C( 一ABOP =+ 扎 I T + -2II AB I cosBAC I coC丿ACC是平面内不共线三点，动点P满足,k亡R，则动点P 定通过ABC的(A)内心(B)外心(C)重心(D)垂心题型21.平面向量与三角函数结合题Mx x1、已知向量 m =(2sin - ,cos)，42片X L7呻n =(cos-,/3)，设