抛物线经典编辑性质情况总结

1、抛物线抛物线ly( fl2 2pxP 0)y(A2p2px0)x(y 102 2pyP 0)上xlx2 (F y2py )0)LlO/F定义平向内与一个定点F和一条定直线l日勺距离相等的点的轨迹叫做抛物线，点F叫做抛物线的焦点，直线l叫做抛物线的准线。m IMF |=点M到直线l的距离范围x0,y Rx 0,y Rx R, y 0x R,y 0对称性关于x轴对称关于y轴对称隹百八、八、(p,0)(a(0，i)。学焦点在对称轴上顶点0(0,0)离心率e=1准线方程x号x_p2y 1y 1准线与焦点位于顶点两侧且到顶点的距离相等。顶点到准线的距离2焦点到准P线的距离焦半径A(xi, yi)AF x

2、1 -2AF x1 2AFy1pAFyi p焦点弦长1ABi(Xi X2) p(Xi X2) p(yi y2)p(yi y2)p焦点弦AB的几条性质BM, y2)若AB的倾斜角为,则|AB 3-sin若AB的倾斜角为 ，则|AB 22 cos2P2XiX2yy2P4ii AF BFAB2AF BF AF ?BF AF ?BF p切线方程yy p(X X。)yyp(X Xo)XoXp(y y。)xxp(y y。)A(。y)以AB为直径的圆必与准线l相切1.直线与抛物线的位置关系直线/?二依+*抛物线= 2%y-bcb1消丫得./+2国-露/钟=0y 1 rzj y(1)当k=0时，直线l与抛物线

3、的对称轴平行，有一个交点；(2)当 kw0 时，A 0,直线l与抛物线相交，两个不同交点；A=0 ,直线l与抛物线相切，一个切点；A 0)的焦点为F,准线为1,经过F的直线与抛物线交于A、B两点，交准线于C点，点A在x轴上方，AKX1,垂足为K,若|BC| = 2|BF|,且|AF| = 4,则9KF的面积是()A. 4B. 3/3C. 4mD. 8例4、过抛物线y2 = 2px(p0)的焦点F的直线交抛物线于点A、B,交其准线1于点C,若|BC| = 2|BF|,且|AF| = 3则此抛物线的方程为()A. y2 = gxB. y2 = 9xC. y2 = jxD. y2=3x三、抛物线的综

4、合问题例5、(2011 江西高考已知过抛物线y2 = 2px(p0)的焦点，斜率为2，2的直线交抛物线于 A(xi, yi), B(x2, y2)(xi0)上，M点到抛物线C的焦点1F的距离为2 ,直线l: y= x+ b与抛物线C交于A, B两点.(1)求抛物线C的方程；若以AB为直径的圆与x轴相切，求该圆的方程.练习题1 .已知抛物线x .抛物线y= 4x2上的一点M到焦点的距离为1，则点M的纵坐标是 () = ay的焦点恰好为双曲线 y2 x2=2的上焦点，则a等于A. 1B. 4C. 8D. 1617A.一1615B.167C.一 1615D.一 163. (2011 辽宁高考已知F是

5、抛物线y2 = x的焦点,A,B是该抛物线上的两点,|AF| + |BF| = 3,则线段AB的中点到y轴的距离为B. 15 C.一47D.一44.已知抛物线y2 = 2px ,以过焦点的弦为直径的圆与抛物线准线的位置关系是A.相离B.相交C.相切D.不确定5 . (2012 宜宾检测已知F为抛物线y2 = 8x的焦点，过F且斜率为1的直线交抛物线于 A、 B 两点，则|FA| |FB|的值等于()A. 4屯B. 8 C. 8/2D. 166 .在y = 2x2上有一点P,它到A(1,3)的距离与它到焦点的距离之和最小，则点P的坐标是()A. ( 2,1)B. (1,2) C. (2,1) D

6、. (1,2)7 . (2011 陕西高考设抛物线的顶点在原点，准线方程为x= 2,则抛物线的方程是()A. y2 = 8x B. y2 = 8x C. y2 = 4xD. y2 = 4x8 . (2012 永州模拟以抛物线x2=16y的焦点为圆心，且与抛物线的准线相切的 圆的方程为9 .已知抛物线的顶点在原点，对称轴为 y轴，抛物线上一点Q(-3, m)到焦点 的距离是5 ,则抛物线的方程为 10 .已知抛物线y2 = 4x与直线2x + y 4 = 0相交于A、B两点，抛物线的焦点 为 F,那么 | Fur | 十| FBu | =.11 .过抛物线y2 = 4x的焦点作直线交抛物线于 A

7、(x1, y1), B(x2, y2)两点,若x1+x2=6,那么|AB|等于12 .根据下列条件求抛物线的标准方程：(1)抛物线的焦点是双曲线16x29y2 = 144的左顶点；过点P(2, -4).13 .已知点A(1,0), B(1, 1),抛物线C： y2 = 4x, O为坐标原点，过点 Auuuu的动直线l交抛物线C于M ,P两点，直线MB交抛物线C于另一点Q.若向量OMuuu九与OP的夹角为一，求4POM的面积.4参考答案:一、抛物线的定义及其应用例1、(1)如图，易知抛物线的焦点为F(1,0),准线是x=1.由抛物线的定义知：点P到直线x= 1的距离等于点P到焦点F的距离.于是，

8、问题转化为：在曲线上求一点 P,使点P到点A(1,1)的距离与点P到 F(1,0)的距离之和最小.显然，连结 AF交曲线于P点，则所求的最小值为|AF|, 即为-一 15.如图，自点B作BQ垂直准线于Q,交抛物线于点P1,则|P1Q|=|P1F|.则有 |PB| + |PF|P1 B|+ |P1Q| = |BQ| =4.即|PB| 十 |PF|的最小值为 4.例2、解析：圆心到抛物线准线的距离为 p,即p = 4,根据已 知只要|FM|4 即可.根据抛物线定|FM | = y0 + 2由y0 + 24 ,解得y02 ,故y0的取值范围 是(2, +oo).二、抛物线的标准方程和几何性质例3、设

9、点A(x1, y1)，其中y10.由点B作抛物线的准线的垂线，垂足为 B1.则|BF| = |BBi|;又|CB| = 2|FB|,因此有 |CB| = 2|BBi|, cos/CBBi|BBi|BC|1冗7tp, /CBBi=.即直线AB与x轴的夹角为占.又|AF| = |AK| = x+ = 4,因此y1 = 4sin；=2/3，因止匕AKF 的面积等于:|AK| y1 =；x4 X2，3 = 4a/3.例4.分别过点A、B作AAi、BBi垂直于l,且垂足分别为Ai、Bi,由已知条件|BC| 二 2|BF|得|BC| = 2|BBi|, .zBCBi = 30 , 4AAi| = |AF|

10、 = 3, .|AC| = 2|AAi| = 6,.|CF|=|AC|AF| = 6 3 = 3,F 为线段 AC 的中点.故点F到准线的距离为p=2|AAi| = 21，故抛物线的方程为y2 = 3x.三、抛物线的综合问题例5、直线AB的方程是y = 2/2(x 2),与y2=2px联立，从而有4x2 5px5P+ p2 = 0,所以：xi + x2=一,由抛物线定义得：|AB| = xi+x2+p = 9,4所以p=4,从而抛物线方程是y2=8x.由 p = 4,4x2 5px + p2 = 0 可简化为 x2 5x + 4 = 0,从而 xi = 1 , x2 = 4, yi=2/，y2

11、 = 4也，从而 A(1, -2/2), B(4,4/2)；设 OC = (x3, y3)=(1, 一 2田)+ 乂4,43)=(4 入 + 1,4迫 入一2必).又 y3 = 8x3,即2隹(2 人一1)2 = 8(4 入 + 1).即(2人1)2 = 4入 + 1.解得人=0,或入=2.例6、(1)设动点P的坐标为(x, y),由题意有x 1 2 + y2 |x|=1.化简得y2=2x+2|x|. 当 x0 时，y2=4x；当 x0)ffiy = 0(x8 + 4X2k2k2k2 1 = 16.k2uuur uuu当且仅当k2 = -,即k=1时，AD EB取最小值16. k2P例7、(1

12、)抛物线y2 = 2pX(p0)的准线为x= 2,由抛物线定义和已知条件可知P P|MF | = 1 (- 2)= 1 + 2= 2,解得P = 2,故所求抛物线C的方程为y2 = 4x.y 二一二x+b,(2)联立 2y2 = 4x消去x并化简整理得y2 + 8y 8b = 0.依题意应有 A= 64 + 32b0 ,解得 b2.设 A(xi , y1)，B(X2, y2),则 y1+ y2 = 8, y1y2 = 8b,设圆心 Q(xo,X1 + X2y1+y2y0),则应用 X0=2 ，y0=2 二一 4.因为以AB为直径的圆与X轴相切，所以圆的半径为r=|y0| = 4.又 |AB|

13、= y xi X2 2+ y 1 y2 2 = yj 1 + 4y1 一 y2 2 二yJ5yi + y22 4yiy2 =yj564 + 32 b所以 |AB| = 2r=0),则一 2 = -3,口=6, ,抛物线方程为 y2 = - 12x.=mx或x2 = ny ,代入P点坐标求得 m = 8,所求抛物线方程为y2=8x或x2= y.y2y213 .解：设点 MC4, y)，Pg, y2),.P, M, A三点共线,.kAM = kPM ,y1y1一y2y11即 2=22，即 2，二y2y2 y2y2+ 4 y1+y2+ 1 444uuuu unny2 y2uOM OP= + y1y2 = 5；.向量 O 4 4.| 揣什器 |cos：=5.，Szpom =；| OM? |n = 1,y1y2 = 4.撒与03的夹角为:， 4| OP | sin-=5.4 2(2)由于