移动重叠构造全等

1、移动重叠构造全等摘要：辅助线的添加，一直是几何教学中的难点，而构 造全等三角形是一种常见的构造方法，就已知线段相等时， 通过经历移动重叠的探索过程，探究出构造全等三角形的一 些方法。关键词：辅助线；构造；重叠；全等三角形 人人都说几何难，难就难在添辅助线，如何让学生既快 又准地添加辅助线，一直是一个教学难点。当已知条件中含 有线段相等时，我们经常引导学生通过构造全等三角形来解 决问题。构造两字说起来简单，可对大部分学生来说却比登 天还难。如何突破构造全等三角形的难点？让移动重叠来揭 开它神秘的面纱吧！一、题目呈现和解答例1:如图1所示，四边形ABCD中，/ BAD=/ ACB=90°

2、 , AB=AD, AC=4BC,设CD的长为x,四边形ABCD的面积为y, 求 y 关于 x 之间的函数关系式。【分析】题目要求 y 关于 x 之间的函数关系式,而四边 形ABCD的形状为不规则四边形，因此需要把不规则图形利 用割或补的方法转化为规则图形。此题涉及全等三角形的性 质与判定、勾股定理、求二次函数解析式等知识。解此题的 关键在于如何通过添加辅助线，将求不规则四边形面积的问 题转化为规则图形的面积来求。通过构造全等三角形来转化， 可得如下解题方法。这是二次函数第一讲作业中的最后一题。从学生的完成 情况来看，全班 37 位学生，仅 3 位学生做正确，另有 2 位 学生把全等三角形构造

3、出来了，但将3 : 4 : 5对应错误，导致解题不完全正确。而大部分学生则是将题目空在那里，束 手无策。和学生交流后我发现学生的主要问题集中在不知道 如何去添辅助线，而此题的突破口就是通过构造一个全等三 角形，把不规则四边形面积问题转化为规则图形的面积来求。从例 1 及以往的经验，我们可以发现，构造全等三角形 是添加辅助线的一种常用方法。如何去构造全等三角形？为 什么这样去构造？只能这样构造吗？这就成了我们需要思 考的问题。为什么大部分学生总是构造不出来？是否可以把 更为简单的已知条件作为突破口让学生去尝试构造？既然 是构造全等，那就应该有最基本的线段或角相等，能否以此 为突破口，找到此类题型

4、添加辅助线的共同方法呢？二、移动重叠论构造在例1中，我们发现有已知条件线段 AB=AD,是否能以 此为思维突破口呢？既然这两条线段相等了，那么这两条线 段就可以重叠了。接下来是线段 AB不动，让线段AD及所在 图形（一般是三角形）移动过去重叠，还是线段AD不动，让线段 AB 及所在图形（一般是三角形）移动过来重叠呢？ 我们发现，这样的重叠图形都可以构造出 4 个，如图 3、图 4 所示。观察图 3 这四种移动方案，发现当移动到如图 3 所示的 AED时，能把已知条件中的/ BAD=90°利用起来，使点A、 E、C三点共线，根据全等三角形线段之间的关系，又能把已 知条件AC=4BC利用

5、起来，得到两直角边之比为 3 : 4的Rt CED,利用方程思想和勾股定理就能把不规则图形中的各边表示出来，进而表示四边形 ABCD的面积，因此确定构造 方案如图 2 所示；另外，我们还可以发现，当移动到如图 3 所示的 AE D时，不规则四边形 ABCD的面积问题可转 化为求梯形ACDE '的面积问题，根据全等三角形线段之 间的关系，结合勾股定理，把梯形上底D、下底AC、高AE分别用含x的代数式表示，可表示四边形 ABCD的 面积，所以还可以有如图 5 所示的构造方案。同样，观察图 4 这四种移动方案，发现同样有两种构造 方案有利于题目的解决，在这里不再一一展开。三、归纳与感悟 从上

6、面的探索中，我们可以发现，移动重叠的方法是一 个经历探索的过程。它是根据全等的性质对应边相等，联想 到线段相等就有可能是全等三角形的对应边，就可以重叠。 而线段重叠是学生比较容易操作和模仿的，关键在于带着图形（一般是三角形）去重叠时相等线段的端点如何去对应， 第三个端点在这条线段的哪个方向。于是就产生了 4 种构造 全等三角形的辅助线了。观察哪种图形更有利于沟通已知条 件与求解目标的内在联系，有时会有多种构造法，此时就产 生了一题多解，选择最优的构造方法，把构造出的图形用辅 助线的形式表述出来，完成求解过程。下面利用移动重叠的探索方法，让我们来感悟经典构造 法名称的由来，而不是如参考答案或教师

7、讲的突如其来的 “像是帽子里跑出一只兔子”式的证明方法。1.中线倍长法例2:如图6,已知 ABC中，AB=5, AC=3, BC上的中 线AD=2,求BC的长.【分析】此题涉及勾股定理及其逆定理，全等三角形的 判定和性质等知识点，解答此题的关键是根据题意做出辅助 线。由已知条件中线 AD,可得出BD=CD,进而想到尝试用 移动重叠的方法，当线段BD不动时，可得图7。观察这四种 移动方案，发现只有移动到如图7所示的 A' DB时，与已知图形中/ ADC形成对顶角模式，点 A、D、A'三点共线， 出现新的三边可知的 A' BA,利用勾股定理逆定理找出Rt A' BA

8、,找到Rt/ A',再利用勾股定理求出 BD,与求解 目标打通。因此确定构造方案如图 8 所示，所添辅助线为延 长AD到A'使得A' D=AD,联结BA'，这就是经典的中线倍长法的由来。2.旋转法例3 （2012?南充第14题）：如图9,四边形ABCD中， / BAD=Z BCD=90°,AB=AD,若四边形 ABCD的面积是 24 cm2, 求 AC 的长。【分析】此题涉及等腰直角三角形的性质与判定等知识， 同样是需要添辅助线才能解决问题，通过上面的探索方法， 发现条件中有 AB=AD,进而想到用移动重叠法来探索，如图 10所示，最后确定构造方法如图

9、11所示，所添辅助线ADC绕点A顺时针旋转90°使得点D与点B重合，点C的 对应点为C,这就是经典的旋转法构造全等三角形。四、直接应用例4:如图12,在等腰 ABC中，AB=AC顶角/ A=20° , 在边 AB上取点D,使AD=BC,求/ BDC的度数。【分析】此题涉及全等三角形、正三角形、等腰三角形 的性质和判定等知识点。学生解此题困难很大。但如果根据 本文的探索，发现条件 AD=BC进而想到移动重叠的方法进 行尝试的话，难度就不攻自破了。根据BC所在三角形有两个，考虑让BC不动，移动AD及AD所在三角形，如图13 所示，发现 C和C'点的构造方案出现了特殊图形

10、正三 角形，能够再次利用 AB=AC的条件，进而求解，最后确定构 造方案如图 14或图 15所示。以图 15为例,可得如下解题方法解：如图15，移动 ADC,使得点A与点B重合，点D 与点C重合，点C的对应点为 C，连结 AC。因为 AB=AC / BAC=20 ,所以/ ABC=Z ACB=80° .因为 ADC BCC ，所以/ CBC =20 °, AB=AC=BC .所以/ ABC =60°.所以 ABC 为正三角形.所以/ BAC =60 °, AC ' =AB=AC.所以/ CAC =40° .所以/ AC ' C=Z ACC =70° .所以/ BC' C=10° =Z ACD.所以/ BDC=Z DAC+Z ACD=30° .移动重叠不仅仅是构造全等的一种探索,它还包含了分 类讨论的思想、图形的变换等知识,也为以后学习相似的构 造做了铺垫,而在探索过程中出现的各种图形,都是全等三 角形章节中常见的基本图形。因此在我们的教学过程中,特 别是当几何中开始出现需要添辅助线构造全等时,要多给学 生提供这个经历移动重叠的探索过程的机会,使其在探索中 积累基本活动经验。这样学生才能真正明白构造两字的含义, 由慢到快地去