带通采样定理证明

1、带通信号的采样与重建、带通采样定理的理论基础基带采样定理只讨论了其频谱分布在(0, fH)的基带信号的采样问题。作为接收机的模数转换来说：接收信号大多为已调制的射频信号。射频信号相应的频率上限远高于基带信号的频率上限。这时如果想采用基带采样就需要非常高的采样速率！这是现实中的A/D难以实现的。这时，低通采样定理已经不能满足实际中的使用要求。带通采样定理是适用于这样的带通信号的采样理论基础，下面给出定理带通采样定理：设一个频率带限信号 x(t)其频带限制在(f怙)内，如果其采样速率 fs满足式：式中,n 取能满足 fs2( fHL)的最大整数(0,1,2)，则用 fs进行等间隔采样所得到的信号采

2、样值 x(nTs)能准确的确定原信号 x(t)。带通采样定理使用的前提条件是：只允许在其中一个频带上存在信号，而不允许在不 同的频带同时存在信号，否则将会引起信号混叠。如图所示，为满足这一条件的一种方案，采用跟踪滤波器的办法来解决，即在采样前先进行滤波1，也就是当需要对位于某一个中心频率的带通信号进行采样时，就先把跟踪滤波器调到与之对应的中心频率f0n上,滤出所感兴趣的带通信号 Xn(t)，然后再进行采样，以防止信号混叠。这样的跟踪滤波器称之 为抗混叠滤波器图带通信号采样._ 2( fLfH)s2n 1(2-1)式（2-1）用带通信号的中心频率 fo和频带宽度B也可用式（2-2）表示:式中，f

3、oL fH.;2, n 取能满足 fs2B （B为频带宽度）的最大正 整数。当频带宽带B一定时，为了能用最低采样速率即两倍频带宽度的采样速率 （fs2B）,带通信号的中心频率必须满足 f0旦B。也即信号的最高或最低频率是信号的整数倍2带通采样理论的应用大大降低了所需的射频采样频率，为后面的实时处理奠定了基础但是从软件无线电的要求来看，带通采样的带宽应是越宽越好，这样对不同基带带宽的信 号会有更好的适应性，在相同的工作频率范围内所需要的“盲区”采样频率数量减少，有 利于简化系统设计。另外，当对于一个频率很高的射频信号采样时，如果采样频率设的太 低，对提高采样量化的信噪比是不利的。所以在可能的情况

4、下，带通采样频率应该尽可能 选的高一些，使瞬时采样带宽尽可能宽。但是随着采样速率的提高带来的一个问题是采样 后的数据流速率很高。因此一个实际的无线电通信带宽一般为几千赫兹到几百赫兹。实际 对单信号采样时采样率是不高的。所以对这种窄带信号的采样数据流降速是完全可能的。 多速率信号处理技术为这种降速处理实现提供了理论依据。二、带通采样过程待采样信号为中频是100MHz带宽为2MH的带通信号:fc0=100e6;/中频频率信号一的频率2n 1(2-2)fc仁99e6;/t=0:1/f0:1e-6;xt0=2*cos(2*pi*fc1*t)+4*cos(2*pi*fc2*t);待采样信号的波形和频谱如

5、图所示：图1原信号波形及频谱按照如上的三种采样频率对待采样信号进行采样，得到的三个信号及其幅度谱如图所示1)欠采样条件下得到的采样信号：图2欠采样信号的波形及幅度谱2)临界采样：图3临界采样信号的波形及幅度谱3)满足采样条件的采样信号图4正常采样信号的波形及幅度谱fc2=101e6;/信号二的频率fs1=3e6;/欠采样的采样频率fs2=4e6;/临界采样采样频率fs3=6e6;/大于2倍带宽的采样速率f0=250e6/用以模拟连续信号的离散信号采样速率(远大于率)nyquist、信号重建1)设计通带为99101MHZ勺4阶巴特沃兹一型IIR滤波器来作为信号恢复的模拟滤波器，滤波器的设计过程及

6、幅频响应特性如图所示：fs=250e6;N=4;figure(6);Wn = ;b,a=butter(N,Wn, bandpass );h,w=freqz(b,a);plot(w/pi*fs/2,abs(h); grid;title( Amplitude Response );xlabel( Frequency (Hz) ); ylabel( Amplitude );图1滤波器的幅度响应2)将三种采样信号的到的数据流通过信号恢复滤波器，即上述的巴特沃兹一型滤波器，得到的结果如下：图2欠采样恢复图3临界采样恢复图3正常采样恢复四、结果分析从结果可见：欠采样信号进行恢复时，从信号完整角度进行观察便

7、可以发现信号的不 同，缺少了原信号的部分信息。而临界采样信号的恢复，在信号周期上有一定的变化，比 原信号的信息有所丢失。正常采样下的信号可以恢复出原信号一个完整周期的频谱。但由 于所选取信号长度的问题， 没能恢复全部信号， 但这已经能够证明带通采样定理的正确性， 即采样后的信号没有丢失原信号的信息。附:%i20旷卩0 0%i DDeafc=100MHz,Doeaf1=99MHzoi f2=101MHz%2euueea3MHMH龙6MHz% B=2MHz,e2euezt土ieoDoX2%tclear all ; clc; close all ;fc0=100e6;fc仁99e6;%Do#lief

8、c2=101e6;%Doi2iefs仁3e6;t土2euefs2=4e6;%au2euyefs3=6e6;%oouty2euyef0=250e6; %i-Doy2euyee2euyeoey a%2eu_diy2e-诺為Do%t=0:1/f0:1e-6;N=1e-6*f0;xt0=2*cos(2*pi*fc1*t)+4*cos(2*pi*fc2*t);figure(1);subplot(2,1,1);plot(t,xt0);title( y2euDo2Dxlabel( x );ylabel( xt );yjw0=fft(xt0,N);absy0=abs(yjw0);f=(0:N-1)*f0/N;

9、subplot(2,1,2);plot(f,absy0);title( y2euDoX)xlabel( eyXe)；ylabel( ueX)7%2eu2DX%t=0:1/fs1:5e-5;N=5e-5*fs1;xts1=2*cos(2*pi*fc1*t)+4*cos(2*pi*fc2*t);figure(2);subplot(2,1,1);plot(t,xts1);title( 2euDo2Dxlabel( x );ylabel( xt );yjws1=fft(xts1,N);absys1=abs(yjws1);f=(0:N-1)*fs1/N;subplot(2,1,2);plot(f,abs

10、ys1);xlabel( eyXe)；ylabel(ueX)7title( 2euDoX)%i2eu2DX%t=0:1/fs2:5e-5;N=5e-5*fs2;xts2=2*cos(2*pi*fc1*t)+4*cos(2*pi*fc2*t);figure(3);subplot(2,1,1);plot(t,xts2);title( au2euDo2); Dxlabel( x );ylabel( xt );yjws2=fft(xts2,N);absys2=abs(yjws2);f=(0:N-1)*fs2/N;subplot(2,1,2);plot(f,absys2);xlabel( eyXe)；y

11、label( ueX)7title( au2euDo)X %ooudu2eUyeui 2eu2DX%t=0:1/fs3:5e-5;N=5e-5*fs3;xts3=2*cos(2*pi*fc1*t)+4*cos(2*pi*fc2*t);figure(4);subplot(2,1,1);plot(t,xts3);title( oouau2euDo2 D xlabel( x );ylabel( xt );yjws3=fft(xts3,N);absys3=abs(yjws3);f=(0:N-1)*fs3/N;subplot(2,1,2);plot(f,absys3);xlabel( eyXe)；ylabel( ueX)7title( oouau2euDoX% fs=250e6;N=4;figure(6);Wn = ;b,a=butter(N,Wn, bandpass );h,w=freqz(b,a);plot(w/pi*fs/2,abs(h); grid;title( Amplitude Response );xlabel( Frequency (Hz) ); ylabel( Amplitude );%2euDo%figure(7);yrets1=filter(b,a,xts1);plot(yrets1);title( 2eu 丫% 2euDo%figure(8