初中数学里常用地几种经典解题方法介绍

1、总共三部分：一、初中数学里常用的几种经典解题方法二、中考经典错题集三、综合知识讲解初中数学里常用的几种经典解题方法介绍1、配方法所谓配方，就是把一个解析式利用恒等变形的方法，把其中的某些项配成一个或几个多 项式正整数次幕的和形式。通过配方解决数学问题的方法叫配方法。其中,用的最多的是配 成完全平方式。配方法是数学中一种重要的恒等变形的方法，它的应用十分非常广泛，在因 式分解、化简根式、解方程、证明等式和不等式、求函数的极值和解析式等方面都经常用到 它。2、因式分解法因式分解，就是把一个多项式化成几个整式乘积的形式。因式分解是恒等变形的基础, 它作为数学的一个有力工具、一种数学方法在代数、几何、

2、三角等的解题中起着重要的作用。 因式分解的方法有许多，除中学课本上介绍的提取公因式法、公式法、分组分解法、十字相 乘法等外，还有如利用拆项添项、求根分解、换元、待定系数等等。3、换元法换元法是数学中一个非常重要而且应用十分广泛的解题方法。我们通常把未知数或变数 称为元，所谓换元法，就是在一个比较复杂的数学式子中，用新的变元去代替原式的一个部 分或改造原来的式子，使它简化，使问题易于解决。4、判别式法与韦达定理一元二次方程ax2+bx+c=0 （a、b、（:属于R , a#0 ）根的判别，=b2-4ac ,不仅用 来判定根的性质，而且作为一种解题方法，在代数式变形，解方程（组），解不等式，研究函

3、 数乃至几何、三角运算中都有非常广泛的应用。韦达定理除了已知一元二次方程的一个根，求另一根；已知两个数的和与积，求这两个 数等简单应用外,还可以求根的对称函数，计论二次方程根的符号,解对称方程组，以及解 一些有关二次曲线的问题等，都有非常广泛的应用。5、待定系数法在解数学问题时，若先判断所求的结果具有某种确定的形式其中含有某些待定的系数, 而后根据题设条件列出关于待定系数的等式，最后解出这些待定系数的值或找到这些待定系 数间的某种关系，从而解答数学问题，这种解题方法称为待定系数法。它是中学数学中常用 的方法之一。6、构造法在解题时，我们常常会采用这样的方法，通过对条件和结论的分析，构造辅助元素

4、，它 可以是一个图形、一个方程（组）、一个等式、一个函数、一个等价命题等，架起一座连接条 件和结论的桥梁，从而使问题得以解决，这种解题的数学方法，我们称为构造法。运用构造 法解题，可以使代数、三角、几何等各种数学知识互相渗透，有利于问题的解决。7、反证法反证法是一种间接证法，它是先提出一个与命题的结论相反的假设，然后，从这个假设 出发，经过正确的推理，导致矛盾，从而否定相反的假设，达到肯定原命题正确的一种方法。 反证法可以分为归谬反证法（结论的反面只有一种）与穷举反证法（结论的反面不只一种）。用 反证法证明一个命题的步骤，大体上分为：（1）反设；（2）归谬；（3）结论。反设是反证法的基础，为了

5、正确地作出反设，掌握一些常用的互为否定的表述形式是有 必要的，例如：是/不是；存在;不存在；平行于/不平行于；垂直于/不垂直于；等于/不等 于；大（小）于/不大（小）于；都是/不都是；至少有一个/一个也没有；至少有n个/至多有（n -1）个；至多有一个/至少有两个；唯一/至少有两个。归谬是反证法的关键，导出矛盾的过程没有固定的模式，但必须从反设出发，否则推导 将成为无源之水，无本之木。推理必须严谨。导出的矛盾有如下几种类型：与已知条件矛盾； 与已知的公理、定义、定理、公式矛盾；与反设矛盾；自相矛盾。8、面积法平面几何中讲的面积公式以及由面积公式推出的与面积计算有关的性质定理，不仅可用 于计算面

6、积，而且用它来证明平面几何题有时会收到事半功倍的效果。运用面积关系来证明 或计算平面几何题的方法，称为面积方法，它是几何中的一种常用方法。用归纳法或分析法证明平面几何题，其困难在添置辅助线。面积法的特点是把已知和未 知各量用面积公式联系起来，通过运算达到求证的结果。所以用面积）去来解几何题，几何元 素之间关系变成数量之间的关系，只需要计算，有时可以不添置补助线，即使需要添置辅助 线，也很容易考虑§1。9、几何变换法在数学问题的研究中，常常运用变换法，把复杂性问题转化为简单性的问题而得到解决。 所谓变换是一个集合的任一元素到同一集合的元素的一个映射。中学数学中所涉及的变 换主要是初等变

7、换。有一些看来很难甚至于无法下手的习题，可以借助几何变换法，化繁为 简，化难为易。另一方面，也可将变换的观点渗透到中学数学教学中。将图形从相等静止条 件下的研究和运动中的研究结合起来，有利于对图形本质的认识。几何变换包括：（1）平移；（2）旋转；（3）对称。10.客观性题的解题方法选择题是给出条件和结论，要求根据一定的关系找出正确答案的一类题型。选择题的题 型构思精巧，形式灵活，可以比较全面地考察学生的基础知识和基本技能，从而增大了试卷 的容量和知识覆盖面。填空题是标准化考试的重要题型之一，它同画革题一样具有考查目标明确，知识复盖面 广，评卷准确迅速，有利于考查学生的分析判断能力和计算能力等优

8、点，不同的是填空题未 给出答案，可以防止学生猜估答案的情况。要想迅速、正确地解选择题、填空题，除了具有准确的计算、严密的推理外，还要有解 选择题、填空题的方法与技巧。下面通过实例介绍常用方法。(1)直接推演法：直接从命题给出的条件出发,运用概念、公式、定理等进行推理或 运算，得出结论，选择正确答案，这就是传统的解题方法，这种解法叫直接推演法。(2)验证法：由题设找出合适的验证条件，再通过验证，找出正确答案，亦可将供选 择的答案代入条件中去验证，找出正确答案，此法称为验证法(也称代入法)。当遇到定量 命题时，常用此法。(3)特殊元素法：用合适的特殊元素(如数或图形)代入题设条件或结论中去，从而

9、获得解答。这种方法叫特殊元素法。(4)排除、筛选法：对于正确答案有且只有一个的选择题，根据数学知识或推理、演 算，把不正确的结论排除，余下的结论再经筛选，从而作出正确的结论的解法叫排除、筛选 法。(5)图解法：借助于符合题设条件的图形或图象的性质、特点来判断，作出正确的选 择称为图解法。图解法是解选择题常用方法之一。(6)分析法：直接通过对选择题的条件和结论，作详尽的分析、归纳和判断，从而选 出正确的结果，称为分析法.下载可编辑.第二章应知应会知识点2.1代数篇一数与式(-)有理数1有理数的分类2数轴的定义与应用3相反数4倒数5绝对值6有理数的大小比较7有理数的运算（二）实数8实数的分类9实数

10、的运算10科学记数法11近似数与有效数字12平方根与算术根和立方根13非负数14零指数次幕负指数次帚（三）代数式15代娄斌代娄斌的值16歹U代数式（四）整式17整式的分类18整式的加减乘除的运算19嘉的有关运算性质20乘法公式21因式分解（五）分式22分式的定义23分式的基本性质24分式的运算（六）二次根式25二次根式的意义26根式的基本性质27根式的运算二方程和不等式（-）一元一次方程28方程方程的解的有关定义29 一元一次的定义30 一元一次方程的解法31列方程解应用题的一般步骤（二）二元一次方程32二元一次方程的定义33二元一次方程组的定义34二元一次方程组的解法（代入法消元法 加减消元

11、法）35二元一次方程组的应用（三）一元二次方程36 一元二次方程的定义37 一元二次方程的解法（配方法 因式分解法 公式法 十字相乘法）38 一元二次方程根与系数的关系和根的判别式39 一元二次方程的应用(四)分式方程40分式方程的定义41分式方程的解法(转化为整式方程 检验)42分式方程的增根的定义43分式方程的应用(五)不等式和不等式组44不等式(组)的有关定义45不等式的基本性质46 一元一次不等式的解法47 一元一次不等式组的解法48 一元一次不等式(组)的应用三函教(-)位置的确定与平面直角坐标系49位置的确定50坐标变换51平面直角坐标系点的特征52平面直角坐标系点坐标的符号与点的

12、象限位置53对称问题：P(x,y)-Q(xy )关于x轴对称P(x,y)-Q(- x,y)关于y轴对称P(x,y)-Q(-y)关于原点对称54变量自变量因变量函数的定义55函数自变量 因变量的取值围（使式子有意义的条件 图象法）56函数的图象：变量的变化趋势描述（二）一次函数与正比例函数57 一次函数的定义与正比例函数的定义58 一次函数的图象：直线，画法59 一次函数的性质（增减性）60 一次函数y=kx+b（kH0）中k b符号与图象位置61待定系数法求一次函数的解析式（一设二列三解四回）62 一次函数的平移问题63 一次函数与一元一次方程一元一次不等式二元一次方程的关系（图象法）64 一

13、次函数的实际应用65 一次函数的综合应用（1）一次函数与方程综合（2）一次函数与其它函数综合（3）一次函数与不等式的综合（4）一次函数与几何综合（三）反比例函数66反比例函数的定义67反比例函数解析式的确定68反比例函数的图象：双曲线69反比例函数的性质（增减性质）70反比例函数的实际应用71反比例函数的综合应用（四个方面 面积问题）（四）二次函教72二次函数的定义73二次函数的三种表达式（一般式 顶点式 交点式）74二次函数解析式的确定（待定系数法）75二次函数的图象：抛物线 画法（五点法）76二次函数的性质（增减性的描述以对称轴为分界）77二次函数y=ax2+bx+c（aw0）中a b c

14、 与特殊式子的符号与图象位置 关系78求二次函数的顶点坐标对称轴最值79二次函数的交点问题80二次函数的对称问题81二次函数的最值问题（实际应用）82二次函数的平移问题83二次函数的实际应用84二次函数的综合应用（1）二次函数与方程综合（2）二次函数与其它函数综合（3）二次函数与不等式的综合（4）二次函数与几何综合2.2几何篇1过两点有且只有一条直线2两点之间线段最短3同角或等角的补角相等4同角或等角的余角相等5过一点有且只有一条直线和已知直线垂直6直线外一点与直线上各点连接的所有线段中垂线段最短7经过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行8如果两条直线都和第三条直线平行这两条直线也互相平行

15、9同位角相等两直线平行10错角相等两直线平行11同旁角互补两直线行12两直线平行同位角相等13两直线平行错角相等14两直线平行同旁角互补15三角形两边的和大于第三边16三角形两边的差小于第三边17三角形三个角的和等180°18直角三角形的两个锐角互余19三角形的一个外角等于和它不相邻的两个角的和20三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的角21全等三角形的对应边对应角相等22有两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等(SAS)23有两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等(ASA)24有两角和其中一角的对边对应相等的两个三角形全等(AAS)25有三边对应相等的两个三角形全等(SSS)

16、26有斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等(HL)27在角的平分线上的点到这个角的两边的距离相等28到一个角的两边的距离相同的点在这个角的平分线上29角的平分线是到角的两边距离相等的所有点的集合30等腰三角形的性质定理等腰三角形的两个底角相等31等腰三角形顶角的平分线平分底边并且垂直于底边32等腰三角形的顶角平分线底边上的中线和高互相重合33等边三角形的各角都相等并且每一个角都等于60。34等腰三角形的判定定理如果一个三角形有两个角相等那么这两个角所对的边也相等(等角对等边)35三个角都相等的三角形是等边三角形36有一个角等于60。的等腰三角形是等边三角形37在直角三角形中 如果一个锐

17、角等于30。那么它所对的直角边等于斜边的一半38直角三角形斜边上的中线等于斜边上的一半39线段垂直平分线上的点和这条线段两个端点的距离相等40和一条线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上41线段的垂直平分线可看作和线段两端点距离相等的所有点的集合42关于某条直线对称的两个图形是全等形43如果两个图形关于某直线对称那么对称轴是对应点连线的垂直平分线44两个图形关于某直线对称如果它们的对应线段或延长线相交那么交点在对称轴上45如果两个图形的对应点连线被同一条直线垂直平分那么这两个图形关于这条直线对称46直角三角形两直角边a b的平方和 等于斜边c的平方 即a+b=c47如果三角形的三边长

18、a b c有关系a + b=c那么这个三角形是直角三角形48四边形的角和等于360°49四边形的外角和等于360°50多边形角和定理n边形的角的和等于(n-2)xl80°51任意多边的外角和等于360°52平行四边形的对角相等53平行四边形的对边相等54夹在两条平行线间的平行线段相等55平行四边形的对角线互相平分56两组对角分别相等的四边形是平行四边形57两组对边分别相等的四边形是平行四边形58对角线互相平分的四边形是平行四边形59 一组对边平行相等的四边形是平行四边形60矩形的四个角都是直角61矩形的对角线相等62有三个角是直角的四边形是矩形63对角线

19、相等的平行四边形是矩形64菱形的四条边都相等65菱形的对角线互相垂直并且每一条对角线平分一组对角66菱形面积二对角线乘积的一半 即S=(axb)-267四边都相等的四边形是菱形68对角线互相垂直的平行四边形是菱形69正方形的四个角都是直角四条边都相等70正方形的两条对角线相等并且互相垂直平分每条对角线平分一组对角71关于中心对称的两个图形是全等的72关于中心对称的两个图形对称点连线都经过对称中心并且被对称中心 平分73如果两个图形的对应点连线都经过某一点并且被这一点平分那么这 两个图形关于这一点对称74等腰梯形在同一底上的两个角相等75等腰梯形的两条对角线相等76在同一底上的两个角相等的梯形是

20、等腰梯形77对角线相等的梯形是等腰梯形78如果一组平行线在一条直线上截得的线段相等那么在其他直线上截得的线段也相等79经过梯形一腰的中点与底平行的直线必平分另一腰.下载可编辑.80经过三角形一边的中点与另一边平行的直线必平分第三边81三角形的中位线平行于第三边并且等于它的一半82梯形的中位线平行于两底并且等于两底和的一半L =(a+b) S=Lxh83 如果 a:b=c:d 那么 ad二be如果ad=be那么a:b=c:d84如果a/b=c/d那么(a±b)/ b=(c±d)/d85 如果 a/b=c/d=.=m/n(b+d+.+n/0)那么(a+c+.+m)/(b+d+.

21、+n)= a/b86三条平行线截两条直线所得的对应线段成比例87平行于三角形一边的直线截其他两边(或两边的延长线)所得的对应线段 成比例88如果一条直线截三角形的两边(或两边的延长线)所得的对应线段成比例 那么这条直线平行于三角形的第三边89平行于三角形的一边并且和其他两边相交的直线所截得的三角形的三 边与原三角形三边对应成比例90平行于三角形一边的直线和其他两边(或两边的延长线)相交所构成的三 角形与原三角形相似91两角对应相等 两三角形相似(ASA)92直角三角形被斜边上的高分成的两个直角三角形和原三角形相似93两边对应成比例且夹角相等两三角形相似(SAS)94三边对应成比例两三角形相似(

22、SSS)95如果一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个直角三角形的斜边和一条直角边对应成比例那么这两个直角三角形相似96相似三角形对应高的比对应中线的I;匕与对应角平分线的比都等于相似比97相似三角形周长的比等于相似比98相似三角形面积的比等于相似比的平方99任意锐角的正弦值等于它的余角的余弦值任意锐角的余弦值等于它的余角的正弦值100任意锐角的正切值等于它的余角的余切值任意锐角的余切值等于它的余角的正切值101圆是定点的距离等于定长的点的集合102圆的部可以看作是圆心的距离小于半径的点的集合103圆的外部可以看作是圆心的距离大于半径的点的集合104同圆或等圆的半径相等105到定点的距离等于

23、定长的点的轨迹是以定点为圆心定长为半径的圆106和已知线段两个端点的距离相等的点的轨迹是看条线段的垂直平分线107到已知角的两边距离相等的点的轨迹是这个角的平分线108到两条平行线距离相等的点的轨迹是和这两条平行线平行且距离相等的一条直线109不在同一直线上的三个点确定一条直线110垂直于弦的直径平分这条弦并且平分弦所对的两条弧111平分弦(不是直径)的直径垂直于弦并且平分弦所对的两条弧弦的垂直平分线经过圆心并且平分弦所对的两条弧平分弦所对的一条弧的直径垂直平分弦 并且平分弦所对的另一条弧112圆的两条平行弦所夹的弧相等113圆是以圆心为对称中心的中心对称图形114在同圆或等圆中相等的圆心角所

24、对的弧相等所对的弦相等所对的 弦的弦心距相等115在同圆或等圆中如果两个圆心角两条弧两条弦或两弦的弦心距中 有一组量相等那么它们所对应的其余各组量都相等116 一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半117同弧或等弧所对的圆周角相等;同圆或等圆中 相等的圆周角所对的弧也相等118半圆（或直径）所对的圆周角是直角;90°的圆周角所对的弦是直径119如果三角形一边上的中线等于这边的一半 那么这个三角形是直角三角 形120圆的接四边形的对角互补并且任何J一个外角都等于它的对角121直线L和。O相交d<r直线L和。O相切d二直线L和。0相离d>r122经过半径的外端并且垂直于这

25、条半径的直线是圆的切线123圆的切线垂直于经过切点的半径124经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点125经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心126从圆外一点引圆的两条切线它们的切线长相等圆心和这一点的连线 平分两条切线的夹角127圆的外切四边形的两组对边的和相等128弦切角等于它所夹的弧对的圆周角129如果两个弦切角所夹的弧相等那么这两个弦切角也相等130圆的两条相交弦被交点分成的两条线段长的积相等131如果弦与直径垂直相交那么弦的一半是它分直径所成的两条线段的比 例中项132从圆外一点引圆的切线和割线切线长是这点到割线与圆交点的两条线 段长的比例中项133从圆外一点引圆的两条割线这一点到每条

26、割线与圆的交点的两条线段 长的积相等134如果两个圆相切那么切点一定在连心线上135 两圆外离d>R+两圆外切 d=R+r两圆相交 R-r < d < R+r(R > r)两圆切 d = R-r(R> r)两圆含d < R-r(R > r)136相交两圆的连心线垂直平分两圆的公共弦137把圆分成n(nz3):依次连结各分点所得的多边形是这个圆的接正n边形经过各分点作圆的切线以相邻切线的交点为顶点的多边形是这个圆的外切 正n边形138任何正多边形都有一个外接圆和一个切圆这两个圆是同心圆139正n边形的每个角都等于(n-2)xl80°/n140正

27、n边形的半径和边心距把正n边形分成2n个全等的直角三角形141正n边形的面积Sn二pnn/2 p表示正n边形的周长142正三角形面积V 3a/4 a表示边长143如果在一个顶点周围有k个正n边形的角 由于这些角的和应为360°因此 kx(n-2)180°/n=360° 化为(n-2)(k-2)=4144弧长计算公式:L=nnR/180145扇形面积公式:S扇形=nnR/360=LR/2146公切线长二d-(R-r)外公切线长二d-(R+r).下载可编辑.第三章例题讲解【例1】如图10，平行四边形2灰7。中,AB= 5 ,BC= 10 边上的高2%4 , E为8c边

28、上的一个动点不与民C重合)过日乍直线28的垂线，垂足为F. FE 与OC的延长线相交于点G,连结。巳。月(1)求证：A8£&AC£G.(2)当点£在线段8c上运动时， 8£尸和 CEG的周长之间有什么关系？ 并说明你的理由.(3 )设8Ax,9炉的面积为匕请你求出y和x之间的函数关系式，并求 出当x为何值时，有最大值，最大值是多少?图10解析过程及每步分值1)因为四边形是平行四边形，所以A5|OG 1分所以 N8 = ZGCE, ZG = NBFE所以 ABEFsMEG 3 分(2 )及'与CEG的周长之和为定值.4分理由一：过点。作尸G

29、的平行线交直线于，.下载可编辑.因为GFlAB,所以四边形尸以石为矩形.所以FH= CG. FG;CH因此，8EE与CEG的周长之和等于BC+ CH+ BH由 BC= 10 , AB 5 , /例=4 ,可彳导 CH=8 , BH= 6 ,所以 BC+ CH+ BH= 246分.下载可编辑.6分理由二：由48=5,4例二4,可知在R松弼与Rt&GU£中，有：4343EF = -BE, BF = BE, GE = -EC, GC = -CE ,1?I?所以，弼的周长是丁8石，中66的周长是三CE又BE+ CE= 10 ,因此48"与CEG的周长之和是24 .43(3)

30、设属二x,则EE = =x, GC =(10 x)所以y = _L所DG = L± 乂之(10一刈+ 5=-93 一乌X22 5 5255配方得:尸泛_告+?.25 o o所以，当x = m时，y有最大值.O12110分最大值为丫.6【例2】如图 二次函数%获+ 6x+&>0)与坐标轴交于点A B C且OA=1 OB=OC=3(1)求此二次函数的解析式.(2)写出顶点坐标和对称轴方程.(3 M N在片办2 + 6x+c的图像上(点N在点M的右边)且MNilx轴求以MN为直径且与x轴相切的圆的半径.解析过程及每步分值(1)依题意4(一1，。)，8(3,0),。(0,-3)

31、分别代入)，= 储+/次+ c1 分解方程组得所求解析式为y = W _ 2x 34分(2)，=/一2工一3 = (1)24 5 分，顶点坐标(1,一4)，又寸移由x = l7分(3)设圆半径为,，当MN在工轴下方时，N点坐标为(l + r, - r)8分把N点代入y = / -2工-3得r=士严9分同理可得另一种情形r = 土姮2，圆的转为苫叵或y10分.下载可编辑.【例3】已知两个关于x的二次函数x与当户时，y2 = 17 ;且二次函数力的图象的对称轴是直为川=。(工一攵)2 + 2(% >0), yl + y2=x2+6x + 2x = - .(1)求k的值；(2)求函数w刈的表达

32、式；(3 )在同一直角坐标系，问函数m的图象与刈的图象是否有交点？请说明 理由.(1)由 y = ax-k)2 +2, y + y2 = x2 + 6x +12得刈 =(M + )2)一丫1 =丁 +6x + 12。(x-Z)22 = x2 +6x + 10-(x-k)2 .又因为当工=攵时，% = 17 ,即炉+64 + 10 = 17 ,解得勺=1 ,或攵2=-7 (舍去)，故k的值为1 .(2 )由4=1 ,得 ，2 = x2 +6x+10-6/(x-1)2 = (-a)x2 +(2t/+ 6)x +10 ,所以函数.v,的图象的对称轴为x =-=仁9 .2(1-。)于是，有上竺

33、7; = 一1 ,解得 =一1 ,2(1)所以b=一工2+2x+l, y2 = 2x2 + 4x +11 .(3)由=-(%-1尸+2，得函数凹的图象为抛物线，其开口向下，顶点坐标为(1,2);由,v2 = 2/ + 4x +11 = 2(x + 1尸+ 9 ,得函数y2的图象为抛物线，具开口向上，顶点坐标为(1,9)；故在同一直角坐标系，函数川的图象与'2的图象没有交点.【例4如图抛物线)，=/ + ©与x轴分别相交于点B、0,它的顶点为A,连接AB,把AB所的直线沿y轴向上平移,使它经过原点。彳导到直线L设P是直线I上一动点.(1)求点A的坐标；(2 )以点A、B、0、P

34、为顶点的四边形中，有菱形、等腰梯形、直角梯形，请分别直接 写出这些特殊四边形的顶点P的坐标；(3 )设以点A、B、0、P为顶点的四边形的面积为S,点P的横坐标为X,当4 + 6拒< S < 6 + 8五时，求x的取值围.下载可编辑.-4x + 8 > 4 + 6v2-4x + 8<6 + 8v/22-372x>22/.X的取值围是当点P在第四象限是，x。过点A、P分别作x轴的垂线，垂足为A; Pr则四边形POA'A的面积4 + 2x1Sp04A = S惟彩fpza _ Sypo = (x + 2) - - - (2x) x = 4x + 4,心AAB 的面

35、积S»vvs = - x 4x 2 = 4,二 S = SPOA,A += 4x + 8(x > 0)v4 + 6<S<6 + 8v,r2 ,S>4 + 6%/2 L即SW6 + 8 企4x + 8>4 + 6v74x + 8 W 6 + 8-2、3、历-2 x>2s<迪匚2/.X的取值围是解析过程及每步分值【例4】随着绿城近几年城市建设的快速发展，对花木的需求量逐年提高。某园 林专业户计划投资种植花卉及树木，根据市场调查与预测，种植树木的利润 乃与投资量、成正比例关系，如图所示；种植花卉的利润必与投资量x成 二次函数关系，如图所示(注：利润

36、与投资量的单位：万元)(1)分别求出利润乃与为关于投资量尤的函数关系式；(2)如果这位专业户以8万元资金投入种植花卉和树木，他至少获得多少 利润？他能获取的最大利润是多少？.下载可编辑.解：(1)设)，产灰，由图所示，函数兑二如的图像过(1,2),所以2=hl , k = 2故利润孔关于投资量X的函数关系式是力=2x ;因为该抛物线的顶点是原点，所以设为=/ ,由图12-所示，函数为="Y的图像过(2,2),所以2 = 0 ", 4 = 12故利润乃关于投资量X的函数关系式是y =；(2)设这位专业户投入种植花卉x万元(0 < x « 8 ),则投入种植树木

37、(8-x)万元，他获得的利润是z万元，根据题意，得z = 2(8-x) + X2 = X2 -2x+16 = (x-2)2 +14222当x = 2时，z的最小值是14;因为04x48 ,所以一24工一246所以(x-2)2361 ,所以一(X 2)2 4182所以 1*-2)2+14«18 + 14 = 32，即 z<32 ,此时x = 82当x = 8时，z的最大值是32.【例5】如图,已知4-4,0) , 8(0,4),现以A点为位似中心,相似比为9:4 ,将OB向右侧放大，B点的对应点为C.(1)求C点坐标及直线BC的解析式；(2 )一抛物线经过B、C两点，且顶点落在x

38、轴正半轴上，求该抛物线的 解析式并画出函数图象；(3 )现将直线BC绕B点旋转与抛物线相交与另一点P,请找出抛物线上 所有满足到直线AB距离为372的点P .解：(1)过C点向x轴作垂线，垂足为D,由位似图形性质可知：由已知 4-4,0) , 8(0,4)可知：49 = 4,30 = 4 .-.AD = CD = 9 .，C 点坐标为(5,9).直线BC的解析是为： 9-4 5-0化简彳导：y = x + 44 = c(2 )设抛物线解析式为y =+ bx + c(a > 0),由题意得：9 = 254 + 5h + c ,25b2 = 04 = 1解得：> b1 = -4 <

39、;q=4.解得抛物线解析式为y=/ 4x + 4或为=-!7 r + ±x+4 . 255又8=詈 + ：% + 4的顶点在x轴负半轴上，不合题意，故舍去，满足条件的抛物线解析式为)，=V - 4x + 4(准确画出函数.y = Y - 4x + 4图象)(3 )将直线BC绕B点旋转与抛物线相交与另一点P ,设P到直线AB的距离为h , 故P点应在与直线AB平行，且相距3应的上下两条平行直线/,和6上.由平行线的性质可得：两条平行直线与y轴的交点到直线BC的距离也为3夜.如图，设乙与y轴交于E点，过E作EF_LBC于F点，在 RhBEF 中石尸= =3点，NEBF =/ABO = 4

40、5；:.BE = 6 .，可以求得直线乙与y轴交点坐标为(0/0)同理可求得直线与y轴交点坐标为(0,-2).两直线解析式4：y = x + 10 ； l2:y = x-2 .根据题意列出方程组：/s 乂2)1)y = x+iuy = x-2ffffx. =6= -1 x. =2 x. =3,懈得：11 Ht5=16 y2=9y3=0 y4 = l.,满足条件的点P有四个，它们分别是4(6,16),g(T9),4(2,0),6(3/)【例6】如图，抛物线。：)，=一_? 2x + 3交x轴于A、B两点，交)，轴于M点.抛物线L,向右平移2个单位后得到抛物线4，&交火轴于C、D两点.(1

41、)求抛物线右对应的函数表达式；(2 )抛物线。或4在x轴上方的部分是否存在点N ,使以A , C , M , N为顶点的四 边形是平行四边形.若存在，求出点N的坐标；若不存在，请说明理由；(3 )若点P是抛物线J上的一个动点(P不与点A、B重合)，那么点P关于原点的 对称点Q是否在抛物线L,上,请说明理由.下载可编辑.解«1)令y=。，得一短一2工+3=0,二为二-3,4=1.；H(-3,0),B(1,0).抛物税L向右平移2个单位得抛物线L，；C(一 1.。)，。(3,0),“= 一 L工抛物线G为yq-G+l)(工一33即丫= 一工2+2=+3.(2)存在.令 得 y=3,；M(

42、0.:抛物线L?是Li向右平移2个单位得到的，工点 N(2.3)在 Lz 上，且 MN=2、MN/AC.又,.AC=2,；MN=AC.四边形ACNM为平行四边形同理,L 上的点 N'(2,3)满足 N/AC,ZM=aC.，四边形ACMN'是平行四边形.、(2,3，可'(一2,3)即为所求.设PGi ,力)是L>上任意一点(”HO)， 则点P关于原点的对称点Q( -/,一”) 且 >»i =一工/-2% 十3；将点Q的横坐标代入L2,得m A-N/一2*+30”# y】，工点Q不在抛物线L上【例7】如图，在矩形A8C。中，AB = 9 , AD =

43、3耳，点P是边8C上的动点(点夕不与点8，点C重合)，过点P作直线尸。 BO ,交CO边于。点,再把PQC沿看动直线尸。对折，点。的对应点是R点，设C0的长度为x ,APQR与矩形A8C。重叠部分的面积为y .(1 )求“。尸的度数；(2 )当无取何值时，点R落在矩形A8CO的A8边上?(3 )求)，与工之间的函数关系式；7当工取何值时，重叠部分的面积等于矩形面积的!?解：（1）如图，.四边形A8C。是矩形，.AB = CD AD = BC .又AB =9 , AD = 3 , ZC = 90 f:.CD = 9 , BC = 3x/3 ./. tan ZCDB =丝=正，. ZCDB = 3

44、0 .CD 3 PQ/ BD t ：. ZCQP = ZCDB = 30 .(2 )如图1 ,由轴对称的性质可知，4RPQ /CPQ ,；./RPQ = /CPQ , RP = CP .由（1）知 NCQP = 30° f /. ZRPQ = ACPQ = 60 ,:"RPB = 60 .，RP = 2BP . ：CP = x , :.PR = x . PB = 3-x .在RPB中，根据题意得：2（3y/3-x） = x , 解这个方程得：X = 2.(3 )当点R在矩形ABCD的部或AB边上时,0Vx < 2y/3 , S cpq = x CP x CQ =小x

45、= x2222.RPQ94CPQ，当0cxW 2褥时，y = x2 2当R在矩形A8c。的外部时（如图2 ）,< x < 3召，在 RtZPF5 中./RPB = 60 ,：.PF = 2BP = 2G6-x） f又；RP = CP = x t :.RF = RP-PF = 3x-6y/3 ,在RtZE7?/中， ,/EFR =/PFB = 30 ER =瓜一6 . . s, 3 = L ER X FR = 2 X2 - 18x +18小， 22 y = S&RPQ - S8ERF ，当2>/Jvx<34时，y = -/Xv2 +18x-185/3 . 上所述，

46、），与x之间的函数解析式是：y = <彳丁（°<'忘26）.-后 +18X-18初Q也< x< 3石）/T矩形面积=9x= 276，当0 < x W时，函数），=工小随自变量的增大而乙77增大，所以y的最大值是6g ,而矩形面积的方的值=斤、27后=7近,而76>66，所以，当。<x<2x/J时，），的值不可能是矩形面积的，;当2jJ<x<3/时，根据题意，得：->/3x2 + 18x-18 = 7>/3，解这个方程，得4 = 3有±",因为3否+点>3。,所以x = 3+四不合

47、题意，舍去.所以 x =.综上所述，当x = 36-时，PQR与矩形ABCD重叠部分的面积等于矩形面积的727 .下载可编辑.第四章兴趣练习4.1代数部分1.已知：抛物线y =+ c与x轴交于4 8两点，与y轴交于点U.其中点/在x轴的负半轴上，点。在y轴的负半轴上，线段OC的长(OA<OC)是方程 a-2-5a+4 = 0的两个根，且抛物线的对称轴是直线x = 1 .(1)求4 B、U三点的坐标；(2)求此抛物线的解析式；(3 )若点。是线段上的一个动点(与点4 8不重合)，过点。作DEW BC交AC 于点£连结。，设8。的长为m，aC0F的面积为5,求S与m的函数关系式，

48、并写出自变量m的取值围. 5是否存在最大值？若存揖，求：:最大值并求此时D点坐标；若不存在，请说明理由.2.已知，如图1,过点石(0,-1)作平行于x轴的直线/，抛物线 = ；/上的两点4 8的 横坐标分别为-1和4 ,直线A8交), 轴于点F ,过点A、B分别作直线I的垂线，垂足分 别为点C、D ,连接CR DF .(1)求点4 B、尸的坐标；(2)求证：CF工DF ；(3 )点尸是抛物线y = ) /对称轴右侧图象上的一动点，过点P作尸。_L尸。交a-轴 于点Q ,是否存在点P使得OPQ与8尸相似?若存在,请求出所有符合条件 的点P的坐标；若不存在，请说明理由.3.已知矩形纸片OWC的长为

49、4 ,宽为3 ,以长04所在的直线为大轴,0为坐标原点建 立平面直角坐标系；点P是。4边上的动点(与点。、A不重合),现将4Poe沿PC翻折 得到尸,再在A8边上选取适当的点。，将RAO沿尸。翻折，得到尸，使得 直线产石、PF重合.(1)若点E落在8C边上，如图，求点尸、C、。的坐标，并求过此三点的抛物线的函 数关系式；(2)若点E落在矩形纸片OABC的部，如图，设OP = x, AD = y,当x为何值时，y取 得最大值？(3 )在(1)的情况下，过点P、C、D三点的抛物线上是否存在点Q，使PDQ是以PD 为直角边的直角三角形？若不存在，说明理由；若存在，求出点。的坐标.图图4.如图，已知抛

50、物线丁 = /+4x + 3交x轴于4 8两点，交)轴于点C,触物线的对称轴交工轴于点乙点8的坐标为(一1 , 0 ).(1)求抛物线的对称轴及点力的坐标；(2)在平面直角坐标系my中是否存在点P,与4 B、。三点构成一个平行四边形？ 若存在，请写出点的坐标；若不存在，请说明理由；(3 )连结C4与抛物线的对称轴交于点D,在抛物线上是否存在点M,使得直线CM 把四边形9。分成面积相等的两部分？若存在，请求出直线 板的解析式；若不存在， 请说明理由.5.如图，已知抛物线y = ax2+bx + 3 ( eO )与x轴交于点力(1,0 )和点8( - 3 , 0),与y轴交于点(1)求抛物线的解析

51、式；(2 )设抛物线的对糕由与x轴交于点例，问在对称轴上是否存在点夕，使勿为等腰三 角形？若存在,请直接写出所有符合条件的点夕的坐标；若不存在,请说明理由.(3 )如图，若点£为第二象限抛物线上一动点,连接BE、CE,求四边形80面积的 最大值，并求此时£点的坐标.二、动态几何6 .如图，在梯形 A8C。中，DC/AB, ZA = 90°, AZ) = 6 厘米，QC = 4 厘米，8c 的 坡度，=3 ： 4,动点P从A出发以2厘米侬的速度沿AB方向向点B运动动点。从点8出 发以3厘米侬的速度沿BfCf。方向向点D运动，两个动点同时出发，当其中一个动 点到达终点

52、时，另一个动点也随之停止.设动点运动的时间为，秒.(1)求边8c的长；(2 )当/为何值时，PC与8Q相互平分；(3 )连结PQ,设P8Q的面积为)，,探求)，与/的函数关系式，求1为何值时，y有最大 值？最大值是多少？7 .已知：直线y = Lx + l与y轴交于 4 与大轴交于。，抛物线y = ：/+bx + c与直线22交于4 £两点，与x轴交于反。两点，且8点坐标为(1,0).(1)求抛物线的解析式；(2 )动点夕在x轴上移动，当心勿£是直角三角形时,求点P的坐标.(3 )在抛物线的对称$由上找一点例，使I AM - MCI的值最大,求出点例的坐标.8 .已知 抛物

53、线)，=口2+法+式。工0)的对称轴为x = -l，与乂轴交于4 8两点，与)，轴 交于点C,其中 A(-3,0)、C(0,-2).(1)求这条抛物线的函数表达式.(2 )已知在对称轴上存在一点P,使得尸8。的周长最小.请求出点户的坐标.(3 )若点。是线段OC上的一个动点(不与点。、点。重合).过点D作DEPC交x 轴于点E.连接夕。、PE .设CO的长为？，应的面积为S .求S与?之间的函数 关系式.试说明S是否存在最大值，若存在，请求出最大值；若不存在，请说B月理由.9 .如图1 ,已知抛物线经过坐标原点。和x轴上另一点七，顶点M的坐标为(2,4);矩形A8CD的顶点A与点0重合，AD.

54、 A3分别在x轴、y轴上，且AO = 2 , AB = 3 .(1)求该抛物线所对应的函数关系式；(2 )将矩形A8C0以每秒1个单位长度的速度从图1所示的位置沿工轴的正方向匀速平行移动，同时一动点P也以相同的速度从点A出发向B匀速移动,设它们运动的时间为/秒(0W/W3 ),直线A8与该抛物线的交点为N (如图2所示).当，=)时，判断点P是否在直线ME上，并说明理由；2设以夕、N、C、。为顶点的多边形面积为S，试问S是否存在最大值？若存在，求出这个最大值；若不存在，请说明理由.10 .已知抛物线：y+2X .(1)求抛物线兑的顶点坐标.(2 )将抛物线以向右平移2个单位，再向上平移1个单位

55、，得到抛物线先，求抛物线 力的解析式.(3 )如下图，抛物线刈的顶点为P，4轴上有一动点例，在兑、y2这两条抛物线上是 否存在点/V,使0(原点、P、M、/V四点构成以。为一边的平行四边形，若存在,求出，点的坐标；若不存在，请说明理由.【提示：抛物线V = 0/+ + C （ 4W。）的对称轴是工=一2,顶点坐标是 2ab 4ac-b211.如图，已知抛物线G : 丁 =小+ 2）2 - 5的顶点为P,与x轴相交于4 8两点（点A 在点8的左边），点8的横坐标是1.（1）求编坐标及的勺值；（4分）（2 ）如图（1）,抛物线G与抛物线G关于x轴对称，将抛物线G向右平移，平移 后的抛物线记为Q , Q的顶点为例，当点P、例关于点8成中心对称时，求Q的解析式;（4分）（3 ）如图（2 ）,点Q是x轴正半轴上一点，将抛物线G绕点Q旋转180°后得到抛 物线Q .抛物线Q的顶点为N,与*轴相交于E、尸两点（点E在点尸的左边），当以点P、 N、尸为顶点的三角形是直角三角形时，求点Q的坐标.（5分）12.如图，在平面直角坐标系中，已知矩形A88的三个顶点8(4,0)、。(8,0)、0(8,8)抛物线y =(ix2 + /a过A、C两点.(1)直接写出点A的坐标，并求出抛物线的解析式；(2 )动点尸从点A出