第六章定积分资料

1、第六章定积分前一章讨论了已知一个函数的导数，如何求原来的函数，这样一个积分学的基本问题-不定积分。这一章将讨论积分学的另一个基本问题一一定积分本章的主要问题有：1什么是定积分？2. 定积分有哪些性质？3. 定积分与不定积分有何关系？4. 如何计算定积分和应用定积分 ？§ 6.1+ § 6.3定积分的概念与基本性质主要教学内容：（1）引出定积分概念的例子；（2）定积分的概念；（3）定积分的几何意义；（4）定积 分的基本性质；教学目的及要求：使学生理解定积分的定义与基本性质；重点难点及解决措施 重点、难点：连续变量的累积，定积分的性质 解决措施：用具体实例帮助学生理解抽象的概念

2、 教学方法及手段设计：讲授法一、引出定积分概念的例子1. 曲边梯形的面积定义；在直角坐标系中，由一条连续曲线y=?（x）和三 条直线x = a、x = b和y = 0 （x轴）所围成的图形，称为 曲边梯形，如右图AabBA （与直边梯形 AabB的区别）。 问题：当y = ?（x） > 0时，曲边梯形AabB的面积怎么求呢中学里会求直边多边形（特别是矩形）的面积，下面利用矩形的面积来求曲边梯形AabB的面积.分析：问题的难度在于曲边梯形AabB的高对整个区间a，b来说是一个变量，其最大值与最小值之差较大；从 区间a，b的一个局部（小区间）来看，它也是一个变量； 但因？（x）连续，从而当

3、Xi 0时， y t 0,故可将此区间的高近似看为一个常量，从而此区间对应的小窄曲边梯形CEFH的面积近似等于小窄矩形DEFH的面积.因而，如果把区间a, b任意地划分为n个小区间，并在每一个区间上任取一点，再以该点的高来近似代替该小区间上窄曲边梯形的高，从而每个窄曲边梯形就可近似地视为一个小窄矩形，而且全部窄矩形的面积之和也可作为曲边梯形面积的近似值要想得精确值，只需区间a，b的分法无限细密(即每个小区间的长度 x t0时，全部窄矩形的面积之和的极限一定是曲边梯 形面积的精确值从而可用下述方法和步骤来求曲边梯形的面积：第一步：分割；用分点a = X。:：: xi :：:：Xn=b将区间a，b

4、任意地划分为n个小区间，每个小区间的长度为Xi =Xi -XiA ,过每个分点作垂直于X轴的直线，将曲边梯形分成 n个窄曲边梯形。第二步：近似、求和；小矩形面积、小曲边梯形面积：Sif( O ：Xi , Xid < ASi =7 f( i).汶。第三步：求极限。记各小区间的最大长度为h = maxAXj，当分点数 n无限增大且各小区间的最大长度1岂勺.=max X > 0对上述和式取极限就得曲边梯形的面积，即1 <<1nS 二 lim ' f( J"7 i 2. 变速直线运动的路程设物体的运动速度为v=v(t),求物体在时间区间a,b内运动的距离s.第

5、一步：分割；用分点a二to : h ：tn =b将区间a,b任意地划分为n个小区间，每个小区间的长度为 ':t i = ti - ti 4 ,第二步：近似、求和；在区间ti4,ti上任取一时刻i (tij,ti)，将物体看成在时间内ti4,ti以V( i)作匀速直线运动，即=Si ：、V(.i)Lti第三步：求极限。记各小区间的最大长度为<：.-max . ：ti，当分点数 n无限增大且各小区间的最大长度1<n =max . xi > 0对上述和式取极限就得物体在时间区间a,b内运动的距离s.即1上述两个问题都归结为同一结构的和的极限, 积分的概念。我们抽象出它的一般

6、形式进行讨论，就得到定、定积分的概念1. 定积分的定义：(定义6.1p232)设？(x)在a, b上有定义，点a = X。：:： x1 :：xn=b将区间a, b任意地划分为n个小区间；每个小区间的长度为= Xi - Xi 4 ,在每个小区间上任取一点i(xiJ i巴Xi )作和式S f(d®,若当k =max&TO时,Sn有确定的极限值I,且I与区间a, b的分法和©的 i±1鱼取法无关 则称函数？(x)在区间a, b上可积，并称此极限值I为？(x)在区间a, b上的定积分，记为bbnf(x)dx,即 f(x)dx = im 送 f(：)Axi。aa其中

7、?(x)为被积函数，?(x)d x称为被积表达式，x称为积分变量，a称为积分下限，b称为积分n上限，a, b称为积分区间，$=送f(3)$i称为积分和。2. 上述两个引例的定积分表示b(1) 曲边梯形的面积： S f (x)dxb(2) 变速直线运动的路程 s v(x)dxa3. 注意(1 )，o=n > :;反之n不能推出，> 0。极限过程 >o,既保证了分点个数无限增多(n > ：),又保证了区间分割无限细密(即所有小区间的长度都趋于0).(2 )定积分的存在性(充分条件)i若？(x)在区间a, b上无界，则？(x)在a, b上必不可积.ii. 若？(x)在区间a,

8、 b上连续,则？(x)在a, b上可积.iii. 若?(x)在区间a, b上有界且只有有限个间断点，则？(x)在a, b上可积.b(3)若？(x)在区间a, b上可积，则定积分f(x)dx是一常数，它只与被积函数、积分区间有关,而与积分变量用什么字母表示无关，即bbbf (x)dx f (t)dt f (u)du =aaaaba(4)规定 b f(x)dxf(x)dx,特别地，f (x)dx = 0a(5) ?(x)在区间a, b上可积的充要条件是极限(常数)，且此极限值与a, b的bf (x)dx，则可选择较为方便 a：(2x - 3)dx =lim.16(11)12 =28 n分法和i的取

9、法无关，因此，对于可积函数?(x),若要用定义来计算 的区间分法(等分区间)和 i的取法(左(或右)端点)，使得计算简便。4例1利用定积分定义计算定积分0 (2x：；'3)dx .解 因？(x)=2x+3在0, 4上连续，故它在a,b上可积，从而可将区间0, 4特殊划分并特殊取点.不妨在区间0, 4内插入n个等分点务=色° =1,2,.n)分成n个小区间，取右端点为 n ''nnnnSn =无 f ( hxf (x )ix =送(2x +3)鸟 =送(2+3)i 仝i 攵iinn4= 丄4二丄24n(n +1)丄 2八(8i 3n)2(8' i 3n

10、)2(83n )ni±n i 土n21=16(1) 12n三、定积分的几何意义当f (x) _o且a<b时，定积分J f(x)dx表示一个在x轴上方的曲边梯形的面积。当f(x) <0且a < b时，定积分f (x)dx 表 示一个在x轴下方的曲边梯形的面积的相反数b当？(x)在a, b上有正有负时,定积分a f(X)dx的值就是x轴上方的曲边梯形的面积与x轴下方的曲边梯形的面积的代数和四、定积分的基本性质性质1:bbkf(x)dx =kf (x)dx,(k为常数)；性质 2: alf(x)_g(x)dx = j f(x)dx 亠 I g(x)dx推广(线性性质)：b

11、bbbki fi(x) +k2f2(x) +kn fn(x)dx =ki fi(x)dx+k2 f f2(x)dx+.+kn fn (x)dx性质3 (可加性)：对任意c,有& f (x)dx = & f (x)dx亠I f (x)dx推广：bC|C2C3ba f (x)dx = a f(x)dx c f (x)dx c f (x)dx c f (x)dx123性质 4:若 f (x) KO，且 a Vb，贝y j f (x)dx HO推论 1: f (x) _g(x), ! f (x)dx _ a g(x)dx推论 2： f f (x)dx 兰 f|f(x)dxaab性质 5

12、：若 f(x)=1,则 dx =b - a性质 6:若 m _ f (x) _M，贝U m(b a)乞 f (x)dx(b a)几何意义：区间a, b上方以曲线y =?(x)为曲边的曲边梯形的面积，介于以a,b为底、以被积函数?(x)的最小值m及最大值M为高的两个矩形的面积之间.性质7:(积分中值定理)设 f Ca,b，则在a,b上至少存在一点，使得f (x)dx = f ( )(b-a)(a- b)a几何意义：区间a ,b上方以曲线y =?(x)为曲边的曲边梯形的面积，等于以区间a, b为底、以 ?( E)为高的这个矩形的面积f( )1 f(x)dx称为?(x)在a, b上的平均值。b _a

13、 a例试比较下列各组中定积分之大小1 1 2 2 2 2(1) o xdx, o x dx ； (2)1 xdx, i x dx ；作业 p2662 (4)、3 (2)§.4定积分与不定积分的关系主要教学内容：(1)变上限的积分及其导数；(2)微积分基本公式；教学目的及要求：使学生理解变上限的积分的概念，掌握其导数的求解方法，熟练掌握用微积分基本公式求不定积分；重点难点及解决措施：重点：微积分基本公式；难点：变上限的积分及其导数；解决措施：用具体实例帮助学生理解教学方法及手段设计：讲授法一、变限的积分函数1、变上限积分函数：f x在区间a,b上连续，区间a,b上的任意一点x ,因为f

14、 x在区间a , b上连续，则f x在区间a,x连续，即在区间a,x上的定积分一定存在，即ff xdx存在，当x变化时，f xdx也变化，因此，它是定义在a , b上的函数，记为 P(x) = f(t)dt a,b，称为变上限函数或称为积分上限函数。2、变上限积分函数的性质x定理6.1:设函数f Ca,b，则变上限积分 p(x)二f(t)dt可导，且其导数为ap'(x) d ；f (t)dt =f(x) dx a证明：见教材 p2393、原函数存在定理x定理6.2:若函数f(x)在a,b上连续，则变上限积分a f(t)dt是f (x)在a,b上的一个原函数。推论1若?(x)在a, b上

15、连续，(x)在a, b上可导，贝Ud -'(x)a f(t)dt=f【(w(x) ®(x)dx a推论2若?(x)在a, b上连续，(x)、2 (x)在a, b上可导，贝Ud2(x)f (t)dt 二 f ( ：2 (X)；(x) -f( l(x) i'(x)dx 'i(x)例1求下列函数的导数：(2) y =cos2tdt ；xcos x t 2(4) ye dtsin x("、二；e2tdt ；x2(3) y = x sin tdt ；1上2edt1例2求极限lim y1xT x22e课堂练习：P2688题、牛顿一莱布尼兹公式(微积分基本公式)定

16、理6.3:设函数f Ca,b，函数F(x)是f (x)的一个原函数，则ff(x)dx = F(x)； = F(b)-F(a)b证明：p(x) f (t)dt也是f(x)的一个原函数。故 p(x)-F(x)=c，求出c=-F(a)即可证a明。见教材p241bb牛顿一莱布尼兹公式当然也可写作a f (x)dx = Jf(x)dx a它不仅给出了计算定积分的统一、简便的计算方法，而且也揭示了不定积分与定积分在计算方法上的关系例3.求下列定积分寸a21. 2-dx； 2 4 xex dx； 3. f|2x-4|dx x例4.(见教材p242例5)1 1例 5.设 f (x)在0, 1上连续，且满足 f

17、 (x) = x 0 f (x)dx - 1，求 0f (x)dx及 f (x)。1 1 1 1 1解:jf (x)dx= 0xf (t)dt 1dx= f (t)dt xdx 11 1 1 1=2 °f(t)dt-1 = 2 °f(x)dx-11 因此，0f (x)dx = -2, f (x) - -2x -1.注意喏f(x)在a,b上不可积，则定理6.3不可用，例如1 1 dx，函数f(x)=丄在x=0处不连续. X2xi/4课堂练习： 已知 f(n) = ° tannxdx，求 f(4) f (6)( =1/5)三、小结掌握变限积分函数的导数以及牛顿一莱布尼

18、兹公式求定积分的求解方法；并注意其使用条 件与带有绝对值的定积分的计算。作业 p2664 、5( 10)( 12)( 14)、9§.5+ 6.6定积分的换元积分法与分部积分法主要教学内容：(1)定积分的换元积分法；(2)定积分的分步积分法；教学目的及要求：使学生掌握定积分的性质；重点难点及解决措施：重点：熟练运用换元积分法与分步积分法；难点：灵活运用换元积分法与分步积分法；解决措施：用具体实例帮助学生理解抽象的概念教学方法及手段设计：讲授法由牛顿一莱布尼兹公式知：计算定积分bf(x)dx的关键在于求出？(x)在a, b上的一个原函数aF(x);而由第五章知求函数的原函数(即不定积分)

19、的方法有凑微分法、换元法和分部积分法 因而在一定条件下，也可用这几种方法来计算定积分一.凑微分法因用凑微分法计算不定积分时自始至终没有引入新变量，故用凑微分法计算定积分时，也应自始至终不改变积分限下面举例说明例1求0X+x2dx二. 换元积分法定积分的换元公式：设 ？(x)在a, b上连续，令X = ：(t)如果(1) (t)在a , 3 上单调连续且具有连续导数(a )= a, (3 )= b,贝y:f(x)dx = ；f(t)F'(t)dt证明在应用换元公式计算定积分时，应注意以下几个问题：(1) 所选择的代换式x= (t)必须满足定理中的两个条件；(2) 换元积分的关键是换限.记

20、住 上限对上限，下限对下限”； 求出 f :(t) (t)的一个原函数F：:(t)后，不必象求不定积分那样把(t)还原成x的函数，而只须直接将t的上、下限代入相减即可例2.求下列积分2二2l5(1) 0 cos xsin xdx(=1/6)(2)8 dx(=3ln3)例3求a2 - x2dx (a 0)2二 a(=2)例4.证明：(1)若f Ca,b，且为偶函数，则aa(x)dx = 2 0 f(x)dx(2)若 f Ca,b，且为奇函数，则 f(x)dx=o。a利用此结论可简化奇函数及偶函数在对称区间上的定积分的计算。 例5求下列定积分1. 1(x2 2X-3 dx ；2.；丞警 dx1 +

21、x.丄2课堂练习：(1)11印X (=仝)(2) f"r-1x-13dx (=)；x- dx (二 3-3)1 x3三. 分部积分法设u=u(x)与v=v(x)在a,b上有连续导数，则baudv = u. ba - a VdU注意：(1) fudv = uv ； - fvdu 二 fuv'dx = uv ；fvu'dx(2) 用分部积分法计算定积分，因没有引入新的变量，故在计算过程中自始至终均不变限,u、 v的选择与不定积分的分部积分法相同例7 .求下列定积分兀1牙 x1、0 xcosxdx ； 2、0arcsin xdx ； 3、(dsin xdx课堂练习：e 1I

22、n 21(1)0 In(X 1)dx ； (2)0 xe_dx=2(l_| n2)； °exdx=2e -1e-1”解 1 原式=xln(x 1)|o - 0 *fdx 二e-1-0 (1-f)dx二e-1 -x-l n(x 1)|防=11例 8 设 f (x)在0,1上连续，且 f(0)=1, f (2)=3 ,(2)=5，求 0xf (2x)dx.解：°xf (2x)dx = 1 0xdf (2x) kf (2x) 0-* 0 f (2x)dxJf(2)f(2x)0 =5-lf (2) - f(0)丄 22424五、小结 1注意定积分的换元积分公式以及换元一定要换限；2

23、注意定积分的分部积分公式以及u、v的选择原则。作业 p2666 (3) (7) (10)、7 (3) (6) (8)、13§ 6.7 定积分的应用主要教学内容 :(1) 平面图形的面积 ; (2) 立体的体积 ;( 3)经济应用；;会用定积分解决经济问教学目的及要求 : 使学生掌握用定积分求平面图形的面积和立体的体积 题;重点难点及解决措施 :重点 : 定积分在几何与经济上的应用；难点 : 平行截面面积为已知的立体的体积； 解决措施 :用具体实例帮助学生理解教学方法及手段设计：讲授法定积分的应用极其广泛，以下仅介绍它在几何与经济上的应用、平面图形的面积1. 曲边梯形的面积由定积分的几

24、何意义知：当f(x) _0且a<b时,定积分bf(x)dx表示一个在 x轴上方的曲边梯形的面积。当f (x)<0且a < b时,定积分bf(x)dx表示一个在x轴下方的曲边梯形的面积的相反数b当？(x)在a, b上有正有负时，定积分 f(x)dx的值就是x轴上方的曲边梯形的面积与 x轴下 a方的曲边梯形的面积的代数和从而可知，y=f(x)，x=a，x=b及x轴所围成的曲边梯形的面积公式为:f (x)dx即(1 )当 f (x) >o 时，s = f f (x)dx(2) 当 f(x)<0 时，S = ff (x)dx ；(3) 当 f(x)在a,b上有正有负时，S

25、= ： f(x)dx- ：2 f(x)dx : f (x)dx类似地，x=®(y)，y=c，y=d及y轴所围成的曲边梯形的面积公式为：S=f|®(x)dx2. 般平面图形的面积求由曲线y二f1(x), y = f2(x),x二a,x =b所围成之平面图形的面积S = f2(x) -f1(x) |dx2 2 例1求椭圆 乞 y 1所围成的图形的面积2 .2 1 a b例2计算抛物线y2 =2x,与直线y =x -4，所围成的图形的面积(选择y为积分变量)。解：为了定出图形的所在范围，应先求出抛物线和直线的交点,厂 2r"f为此,解方程组/ =2x / =2 /=8

26、y =x-4“ y=-2y=4即这两条抛物线的交点为(2, -2)及(8, 4)。从而知道这图形在直线y = -2及y = 4之间。取y为积分变量，且y -2, 4,则 S 二；(y 4 _*y2)dy =18思考：若选x为积分变量，应该如何做 ？请同学们课后自己作一下例3. 求曲线 x2、_ i与直线y=f3、y=J3所围成的图形的面积。r y-时例4. 求曲线y = . x在区间(0, 4)内的一条切线，使该切线与直线x=0、x=4及x轴所围成的梯形面积最小。解：设切点坐标为(xo,yo)，切线为：y = 2 ；(X 一 X。)y°= 21x;(X 一xo)，X。且y0二 x0，

27、因此，所围平面图形的面积为：S 二 o21xo(X -沧)Xodx= 2 ； o(x xo)dx = 4； (x xo)2|0°二 4 1Xo (xxo)2 - x = 4 ； (168xo) =；2、xo令S“ = o得唯一驻点xo = 2 ,而 S (2) = i5 lx°=2 = "5 > o，故Xo = 2是唯一极小值点，也就是最小值点。所以，所求切线方程为：厂彳打以一2)&2)、立体的体积1.旋转体体积设一立体是由连续曲线y =?(x)、直线x = a、直线x = b及x轴所围成的曲边梯形绕x轴旋转一周而成的下面来求它的体积(1)分割；用分

28、点 a = xo : x-i : .： xn =b将区间a,b任意地划分为 n个小区间，每个小区间(2)近似、求和；将小旋转体近似看成以f(Xj)底半径为高为AX的直圆柱，则2 2:Vi：二f(Xi). ：Xi， Vx =7 .Vj：打"f(Xi)LXj。(3) 求极限。记各小区间的最大长度为 =maX x，当分点数n无限增大且各小区间的最大 长度，max ：x >0，对上述和式取极限就得旋转体的体积为'i <<nbbV = lim 、二f(Xi)2=Xi = af(x)2 -ay2dxdx-0 i =1(n >：)类似地，由曲线x = $ (y)、直

29、线y = c、= d(c<d)与y轴所围成的曲边梯形，绕y轴旋转一周d而成的旋转体的体积为Vyx2dyyx一般地，由连续曲线y =?(x)、 y =g(x)和直线x = a、x = b所围成的平面图形绕x轴旋转一例5.求由曲线y - x和周而成的立体的体积为 v =兀f f 2(x)-g2(x)dxx=1 , y=0所围成的图形绕y轴旋转所成的旋转体的体积。解: v =兀 _兀 0('x)2 dx =兀-§ =例6求曲线y = . x与直线x =1、y = 0围成的平面图形分别绕y轴旋转一周所得旋转体的体积。解：Vx 二二b 2f 2(x)dx =二 a4xdx1咁x2

30、p4Vy 二 32薦0 xdx -(1-二 0xdx)二 32二 _8二-二ti47 兀+ =2.平行截面面积为已知的立体的体积设某立体被夹在过 x轴上的点x = a与x = b并垂直于 x轴的两平面之间对应于a,b上的任意点x处垂直于x轴的截面面积S(x)是x的连续函数，贝毗问题的体积为:V = :S(x)dx类似地，若立体被夹在过d上的任意点 y处垂直于VS(y)dyy轴上的点y = c与y = d并垂直于y轴的两平面之间，在c, y轴的截面面积 S(y)是y的连续函数，则立体的体积为：例7. 平面经过半径为 柱体所得立体的体积。解：建立如图所示的坐标系，从而底面圆的方程为 x2 +y2

31、=R2设x为-R,R上之任意一点，过该点且垂直 面面积为S( x),则由三角形的面积公式，1 1 2 2S(x)二 y ytan：(R x )tan.-亍R的圆柱体的底圆中心，并且与底面交成角.：，计算这个平面截圆则所得立体的体积为:的截V = ；S(x)dx=1 ；(R2 - x2) tan ： dx=：(R2 -x2)tan_：idx=2R3tan_：i3三、.经济应用在经济问题中，经常都要涉及到各种经济量的总量 计算(已知边际(变化率),求总量.)这些总量，在一定条件下，也可用定积分来进行若总量P(t)在某区间I上可导，且a, x I,则有p(x) = xp'(t)dt川'

32、;p(a)在上式中，当x为产量且a = 0时,只要将P(x)代之以总成本 C(x)、总收益R(x)、总利润L(x),则有C(x)打C'(t)dt C(0)R(x)打R'(t)dt R(0)：R'(t)dtL(x) =：L'(t)dt L(0) =；L'(t)dt例8教材p252例2例9设某产品的总成本 q单位：万元)的边际成本是产量 x(单位：百台)的函数C'(x) = 4 4总收入F(单位：万元)的边际收入R'(x)=9-x是产量x的函数(1)求产量由1百台增加到5百台时总成本与总收入各增加多少？(2) 已知固定成本 C(0)=1万元.

33、分别求出总成本、总收益、总利润与产量x的函数关系式(3) 产量为多少时，总利润最大；并求此时的最大总利润，总成本及总收益各为多少？四、小结求平面图形的面积的步骤.注意恰当的选择积分变量有助于简化积分运算作业 p268-269 15 (3) (5) (9) (11)、16、17 (2) (3)、19、20§.9广义积分与丨函数主要教学内容：(1)无限区间上的积分(无穷积分；(2)无界函数的积分；(3)】函数 教学目的及要求：使学生理解无穷限广义积分和无界函数广义积分和定义及计算重点难点及解决措施 重点：利用广义积分的定义计算；难点：概念产生的背景；解决措施：用具体实例帮助学生理解抽象的

34、概念 教学方法及手段设计：讲授法前面讨论的定积分不仅要求积分区间a, b有限,而且还要求被积函数？(x)在a ,b上有界.然而实际还经常遇到无限区间或无界函数的积分问题这两类积分统称为广义积分 其中前者称为无穷积分，后者称为瑕积分。对于广义积分的计算是以极限为工具来解决的，即先将广义积分转化为定积分，再对该定积分求极限.一、无限区间上的积分(无穷积分)定义6.2.设f Ca, ：，如果lim玄f(x)dx存在，称此极限值为 f(x)在a,;上的广义积分。记作：f(x)dx = lim ff(x)dx，此时称无穷积分J f(x)dx存在或收敛。如果ab aaJimf(x)dx不存在，就称f (x)dx 发散。a类似地，可定义bbjf(x)dx =amjf(x)dx：f(x)dxhUf(x)dx f(x)dx,c (-：,；)，严c8. .f (x)dx收敛的充分必要条件是：._f(x)dx与c f(x)dx,都收敛。F(x)是f(x)的一个原在计算收敛的无穷限积分时，可直接利用定积分的各种计算方法。如果 函数，则无穷限积分可简记为：f (x)dx = F (x) |仁f (x)dx = F(x) |Z=F(b) lim F (x) 亡f(x)dx =F (x)|戈=lim F(x) - lim F(