4线性规划问题的影子价格研究解析

1、1 引言2 文献综述2.1 国内外研究现状2.2 国内外研究现状评价2.3 提出问题3 技术系数与约束右端项不发生改变3.1 线性规划原问题与对偶问题及其性质3.2 具体应用3.3 影子价格的确定4 技术系数与约束右端项发生改变4.1 具体应用4.2 影子价格的确定5 结论5.1 主要发现5.2 启示和意义5.3 局限性5.4 努力方向参考文献目录101111121212131 引言线性规划是数学与运筹学的一个分支，是运筹学中最基本的也是最常用的一种方法，也是现代管理中应用最为广泛的一种数学模型 .在线性规划的实际解题过程中， 会出 现技术系数与约束右端项有最大公约数的情况，在计算过程中就可将

2、其约去，但这样的 简单计算是否会对线性规划问题产生影响呢 .本文借助线性规划原问题与对偶问题的性质，通过实例，对技术系数与约束右端项改变前后进行计算对比，指出它们的改变会影 响影子价格 .2 文献综述2.1 国内外研究现状在所查阅的国内外参考文献 1-17 中，有不少的文章论述到线性规划中的影子价格， 并对影子价格的各方面都有所研究 .如赵白云在文献 2、3 中对互为对偶的两个线性规 划问题，基解的不对称性产生的矛盾对影子价格进行确定，并讨论了在原线性规划问题 有多个最优解情况下影子价格的计算方法； 夏少刚，费威在文献 4 中对线性规划问题中 目标函数系数、约束右端项及系数矩阵同时变化做了灵敏

3、度分析； 王龙在文献 5中阐述了影子价格的内涵及应用；马赞甫、彭凯在文献 6 中介绍的影子价格的特征及其计算； 马赞甫在文献 7 中针对线性规划对偶问题最优解的非单一性， 从影子价格与会计价格之 间的区别、影子价格机会成本定义的区别、组合影子价格与单一影子价格的区别三个方 面解释线性规划中影子价格的 “非唯一性”； 吴汉洪、徐国兴在文献 8 中论证了影子价 格定义的统一性， 说明其经济学含义； 任立民在文献 9 中将影子价格理论应用在资源利 用、投资决策方面；林志红在文献 10 中解释了影子价格的经济学意义 ,并分析其在资源 配置中的关键作用 ,为解决实际问题起到一定的作用；耿鹏翔在文献 11

4、 中将影子价格应 用在企业经济分析中；董绍斌在文献 12 中等探讨了一些关于影子价格理论应用的不正 确提法 ,提出影子价格的新内涵；吴纯洁在文献 13中合影子价格对偶线性规划问题进行讨论；段德财在文献 14中将影子价格应用在产品生产决策中；王松林在文献15中等基于对偶线性规划模型对影子水价进行计算等等2.2 国内外研究现状评价荷兰经济学家詹恩丁伯根在本世纪30年代末首次提出影子价格，并运用线性规划的数学方法进行计算， 指出影子价格是反映社会资源获得最佳配置的一种价格 .前苏联经济学家康托洛维奇根根据当时苏联经济发展状况和商品合理计价的要求，提出了最优价 格理论.二者提出的内容基本是相同的，但前

5、者的理论被人们看成一种经济管理方法， 后 者是作为一种价格形成理论.国内主要是对影子价格的定义、特征、计算及其应用等进行 研究，并说明在经济领域影子价格在产品生产决策中的运用2.3提出问题对于线性规划问题：maxzn送 CjXjj4S.t. j4joaij Xj = bi(j =1, . . n存在这样的情形:maxn=Z CjXjjis.t.nzynW 2 a? j Xjj壬n艺 a3 j Xj b3jWXj 0(j =1,., n )5aijXj=5b=2b2可将其转化为:maxzCjXjnzjTnaijXj=bis.t.Xj=b214n=ba艺 aajXjjTXj 0(j =1,., n

6、 )显然，两个线性规划问题中的技术系数 aij和约束右端项bi已经发生了变化，于是就有如下问题:当技术系数a和约束右端项b发生变化时，对原线性规划问题有无影响？结果如何？在上述的变化和结果下，对影子价格又有何影响?3技术系数与约束右端项不发生改变3.1线性规划原问题与对偶问题及其性质假定原问题及对偶问题为对称形式线性规划问题，即原问题为:nmax = Z c Xjjt aijXj 兰 biS.t.xj AOi =1, . . m ,(j =1, . .n其对偶问题为:mm i nw = Z bj yii壬m庐 aij yi Cjs.t. i 吕yi 工 0(j = 1, . .n(i =1,

7、. . m ,)原问题与对偶问题联系紧密，相关参数都有重要的实际意义：原问题可看作现有资源约束条件下的最优生产计划问题，bi(i=i,.m)为第i种资源的限制量；aj (i =1,.,m;j =1,.,n )为生产第j种产品对第i种资源的消耗系数；Cj(j=1,.,n)为第j种产品的单位利润；Xj(j =1,.,n )为第j种产品的产量.对偶问题可看作资源被最优利用时的影子价格问题，其中最优解 yi(1兰i 0对标准形式的线性规划问题，单纯形法求解的判定方法是，若基B同时满足:1 Bb0 （基B的可行性条件）.2 CbBA-C 0 （对偶可行性条件，不等式左端称为基B的检验数），则断定基B为

8、最优基，对应基解瞽）=（営（假设基变量排在前面）为原问题的最优解，对应对偶 基解yB厂CbB为对偶问题的最优解.当线性规划原问题求得最优解x*j（j =1,.,n）时，其对偶问题也得到最优解 yi （i =1,.,m ），且代入各自目标函数后有nm*Jz =2 CjXj =2 b y = w j 壬i =1资源的市场价格是其价值的客观体现，相对比较稳定，而它的影子价格则有赖于资源的利用情况，是未知数.因企业生产任务、产品结构等发生变化，资源的影子价格也随之改变.影子价格是一种边际价格，在式中对z求bi的偏导数得卸yi*.这说明y*的值相当于在资源得到最优利用的生产条件下，b每增加一个单位时目标

9、函数z的增量.资源的影子价格实际上又是一种机会成本.在完全市场经济条件下，当资源的市 场价格低于影子价格时，可以买进这种资源；相反，当市场价格高于影子价格时，就会 卖出这种资源.随着资源的买进卖出，它的影子价格也随之发生变化，一直到影子价格与 市场价格保持在同等水平时，才处于平衡状态3.2具体应用例1某公司计划制造i、n两种家电产品.已知各制造一件时分别占用的设备 A、B的台时、调试工序时间及每天可用于这两种家电的能力、各售出一件时的获利情况,如表1所示.问该公司应制造这两种家电多少件，是获取的利润最大 表1项目In每天可用能力设备A（ h）0515设备B（ h）6224调试工序（h）115利

10、润（元）21解：用变量Xi和X2分别表示美佳公司制造家电I和n的数量，该公司可获取的利润为（2xi +X2元，令z =（2xi +X2 ），因问题中要求获取的利润为最大，即 maxz.因此,数学模型可表为:5x2 156捲 +2x2 24s.t.0其约束条件系数矩阵的增广矩阵为P2F3 P4 P506L115245 iP3，P4，P5是单位矩阵，构成一个基,对应变量X3,X4,X5是基变量.令非基变量X1,X2等于零，即找到一个初始基可行解X =(0,0,15,24,5$以此列出单纯形表，见表2.Cj T21000Cb基 bxX2X3X4X50X315051000X4246】20100X551

11、1001Cj -Zj21000051000x3152x,411010360X5100113611Cj -Zj00033c155150x3001242c7丄12X11001 242,3131x201024211Cj -Zj00042表2仃由单纯形法解得此问题的基可行解 X =3 15、2牙0,0丿为最优解，代入目标函数得12问题（3 ）的对偶问题为:(4)min w =15% +24y2 +5y3 +0y4 +0y5 6y2 +y3 y4 =2s.t.5yi +2y2 +y3 - y5 =1W 0(i =1, . 5),将两个问题的最终单纯形表分别表出，见表 3,表4.表3项目原问题变量原问题松

12、弛变量X1X2X3X4X515001515X324-2710011Xi24-23013X201242011Zj-Cj0042对偶问题的剩余变量对偶问题变量变量45123表4项目对偶问题变量对偶问题剩余变量1234515112107 24444115133017 322221573Cj-Zj00222变量原问题松弛变量原问题变量X3X4X5X1X23.3影子价格的确定由原问题与对偶问题的最终单纯形表2和3知，资源设备A的影子价格yi=O,设备B的影子价格y2 =-，调试工序的影子价格y3 =-.42设备A的影子价格为0说明增加设备A的工作时间不会增加总产值，理由是，设 备A的松弛变量X3二15，

13、表示此种资源还有7.5个单位的剩余，因此，增加资源设备 A2的工作时长不会带来任何经济利益，只会增加更多的剩余.设备B的影子价格为1，则设备B的工作时间增加一个单位时，最优值也会增加40.25个单位，即Z =83 .4如果设备A、B都没有变化，而调试工序的时间增加一个单位，从影子价格 可知总产值的增加量为 丄，总产值也就增加0.5个单位，即z=924技术系数与约束右端项发生改变4.1具体应用对于上述实例,问题（2 ）的技术系数与约束右端项经过变化后为:maxz = 2x1 + X2st.*X2 3 3x1 +X2 0(i =1,.,5)两个问题的最终单纯形表分别表出，见表6,表7.表6项目原问

14、题变量原问题松弛变量xX2X3X4X5300113X3222710011X12223013X2012-22011Zj-Cj0022对偶问题的剩余变量对偶问题变量变量y4y5y1y2y3表7项目对偶问题变量对偶问题剩余变量y1y2y3y4y5111011y22222130113y32222Cj-Zj30073222变量原问题松弛变量原问题变量X3X4X5X1X24.2影子价格的确定由原问题与对偶问题的最终单纯形表6和7知，资源设备A的影子价格yi=O,设11备B的影子价格y2 =丄，调试工序的影子价格y3 =丄.22设备A的影子价格为0说明增加设备A的工作时间不会增加总产值，理由是，设3备A的松

15、弛变量X3，表示此种资源还有1.5个单位的剩余，这与原线性规划问题的2技术系数与约束右端项未改变时有所不同，但是，这只代表此种资源还有剩余，而增加 资源设备A的工作时长不会带来任何经济利益，只会增加更多的剩余.设备B的影子价格为1，则设备B的工作时间增加一个单位时，最优值也会增加0.51z增加了丄.412个单位，即z =9，与原线性规划问题的技术系数与约束右端项未改变时,如果设备A、B都没有变化，而调试工序的时间增加一个单位，从影子价格 可知总产值的增加量为1，总产值也就增加0.5个单位，z=9，没有影响.5结论5.1主要发现由实例的计算结果对比可以看出，技术系数、约束右端项改变后对线性规划问

16、题有以下几点影响:(1)对最优解的影响显然，原线性规划问题的基可行解发生改变，即改变线性规划问题的技术系数和约束右端项，对其最优解有影响.(2)对目标函数值的影响从(1)中得知问题的最优解发生了改变，但要指出的是，尽管线性规划问题的 最优解发生了改变，但对问题的目标函数值却无影响 .(3)对检验数的影响从影子价格的含义上观察单纯形表的计算mCj -Zj =Cj -CbB Pj =Cj -送 aij yii #Cj代表第j种产品的产值，S aij y是生产该种产品所消耗各项资源的影子价格的总和,i=1即产品的隐含成本.当产品产值大于隐含成本时，表明生产该项产品有利，可在计划中安 排，否则用这些资

17、源来生产别的产品更有利，就不在生产计划中安排，这就是单纯形表 中各个检验数的经济意义因此，只是Cj -Zj的正负对线性规划问题有影响.对比技术系数、约束右端项改变前后，Cj -Zj均 0，故其对线性规划问题的影响是一致的.(4)对影子价格的影响经过上述分析，显然，技术系数、约束右端项改变后，某些设备资源的影子价格放生了改变.5.2启示和意义通过探究发现，改变线性规划问题的技术系数、约束右端项，对问题的最优解、检 验数、影子价格有所影响.如果为计算方便而改变技术系数和约束右端项， 这是不可取的;但如果只考虑目标函数值，因为不影响目标函数值，这是可以的.一般说对现行规划问题的求解时确定资源的最优分

18、配方案，对于对偶问题的求解则是确定对资源的恰当估价， 这种估价直接涉及资源的最有效利用.如在一个大公司内部，可借助影子价格确定一些内 部结算价格，以便控制有限资源的利用和考核下属企业经营的好坏 .对此来说，为计算方便而改变技术系数和约束右端项是不可取的5.3局限性由于本文实例中只涉及问题的两个约束条件的技术系数、约束右端项发生改变，并且只针对一些特殊情形，局限于考虑对线性规划问题的一些基本影响5.4努力方向本文只对线性规划问题的技术系数、约束右端项发生改变后的影响，还应拓展到其 他系数和因素，如目标函数系数、约束右端项及系数矩阵同时变化的影响，并且本文主 要对影子价格做出影响分析，还可以做灵敏

19、度分析等，以弥补本文的不足之处参考文献：1Wayne L. Winston. Operations Research Applications and Algorithms第四版 M. 北京：清华大学出版社，2006:379-382.2赵白云.对偶线性规划基解不对称性产生的矛盾和影子价格确定J.河南科学，2009,27:913-917.3 赵白云 . 线性规划中资源的影子价格与边际价格 J. 理论研究， 2007:120-121.4夏少刚，费威.目标函数系数、约束右端项及系数矩阵A同时变化的灵敏度分析 J.经济数学，2009,25（3） :319-324.5王龙. 论“影子价格”内涵及应用 J. 商场现代