3.6简单的三角恒等变换

1、第六节简单的三角恒等变换 备考方向要明了考 什 么怎 么 考能运用两角和与差的正弦、余弦、正切1.以选择题或填空题的形式单独考查，如 2012公式以及二倍角的正弦、余弦和正切公式进年江苏 T11.行简单的恒等变换 (包括导出积化和差、和差2.在解答题中， 与三角函数的图象与性质、解化积、半角公式，但对这三组公式不要求记三角形等综合，突出考查三角恒等变换的工忆 ).具性作用，如 2012 年安徽 T16 等 . 归纳 知识整合 1 半角公式222(1)用 cos 表示 sin，cos， tan .2222 1cos2 1cos2 1cossin；cos22；tan2.221 cos (2)用 c

2、os 表示 sin， cos， tan.2221 cos sin2 2；1 cos cos 2；21 cos tan.21 cos (3)用 sin ， cos 表示 tan2.sin 1costansin .21cos探究 如何用 tan 表示 sin 2与 cos 2？2sin cos 2tan ；提示： sin 2 2sin cos 222sin cos tan 1cos 2 cos2sin2cos2sin21tan2222.cossin1tan 2 形如 asin x bcos x 的化简asin x bcos x a2 b2sin(x )，其中 tan b.a 自测 牛刀小试 1 (

3、教材习题改编 )化简2 cos 2 sin21 的结果是 ()A cos 1B cos 1C. 3cos 1D 3cos 1解析：选 C2 cos 2 sin211 cos 2 1 sin212cos21cos213cos 1.21sin 3522.的值为()sin 2011A.2B2C 1D 121解析：选 Bsin 3522sin235 1 cos 70 sin 20 2sin 202sin 20 sin 201.2sin 20 22sin2x 1的值为 (3若 f(x) 2tan x2，则 f)xx12sin2cos24A33B 8C43D4312sin2x解析：选 Bf(x)2tan

4、x22tan x2cos x24，f41sin xcos xsin2x122sin xsin68.4 (教材习题改编 )函数 y3cos 4x sin 4x 的最小正周期为_31解析：y3cos 4xsin 4x22cos 4x2sin 4x2 cos6cos 4x sin6sin 4x 2cos 4x6，2故 T42.答案：25若cos4，是第三象限角，则1tan2_.51 tan2解析： cos 4，且 是第三象限角，sin 3，55cos2 sin21 tan2coscos sin2221 tan2cos sin2cos sin222cos22cos sin22cos sincos si

5、n222231sin 1 sin 1512cos .242cos sin2521答案： 三角函数式的化简例 1(1)化简：2；sin 2 2cos _sin 4(2)已知 0 x2，化简：lg cos xtan x 1 2sin2x lg2cos xlg(1sin 2x)242sin cos 2cos2自主解答 (1)原式22cos .22sin cos (2)原式 lg(sin xcos x) lg(sin x cos x) lg(1 sin 2x)lgsin xcos x2 lg1sin 2xlg 1 0.1 sin 2x1 sin 2x答案 (1)22cos 1.三角函数式的化简原则一是

6、统一角，二是统一函数名，能求值的求值，必要时切化弦，更易通分、约分.2.三角函数式化简的要求1 能求出值的应求出值；2 尽量使三角函数种数最少；3 尽量使项数最少；4 尽量使分母不含三角函数；5 尽量使被开方数不含三角函数.3.三角函数化简的方法化简的方法主要有弦切互化，异名化同名，异角化同角，降幂或升幂.1tan1化简：21 tan tan2.tan2解： 原式cos2sin21sin sin2cos sin2cos2cos2cos 1sin sin2cossin2cos2cos22cos 2cos sin sin2sin sin cos cos222cos2sin22cos4sin2sin

7、 sin sincos22222cos4sin22 1 2sin24sin2sinsin 例 23110已知4，tantan3.(1)求 tan 的值；2.sin 三角函数求值5sin22 8sincos 11cos2 8(2)求222的值2sin4自主解答 110，(1)tantan33tan210tan 3 0，1解得 tan 或 tan 3.34， 1tan 0.tan 1.3(2) tan 1，35sin22 8sin cos 11cos822222sin4224sin1cos5 sin cos6 8222sin cos 5 4sin 33cos 84sin 3cos sin cos

8、sincos4tan35 .tan 141 cos 2 sin 2保持本例条件不变，求的值1 cos 2 sin 2解：1cos 2sin 22sin22sincos1 cos 2 sin 2 2cos2 2sin cos 2sin sin cos tan1.32coscossin已知三角函数式的值，求其他三角函数式值的一般思路1先化简所求式子；2观察已知条件与所求式子之间的联系从三角函数名及角入手；3将已知条件代入所求式子，化简求值.3， sin 12，且 ， ， ， 0 ，求 sin 的值2已知 sin(2 )51322解： 2 ， 2 2.5 0， 0 ， 2 ，222而 sin(2)3

9、5 0，2254，cos(2).25125又2 0且 sin 13，cos13，cos 2 cos(2 ) cos(2 )cos sin(2 )sin 453125651351365.又 cos 2 1 2sin2， sin21309.3 130又 2， ， sin 130.asin x bcos xa2 b2sin(x )的应用(2013 西域模拟 )已知函数 f(x) 3sin2x sin xcos x， x例 32， .(1)求 f(x)的零点；(2)求 f(x)的最大值和最小值自主解答 (1)令 f(x) 0，得sin x( 3sin x cos x) 0，3所以 sin x 0 或

10、tan x3.由 sin x 0， x2， ，得 x ；35由 tan x3， x2， ，得 x 6.综上，函数f(x)的零点为5或 .631(2)f(x)2(1 cos 2x)2sin 2x3sin 2x32.2 5因为 x2，所以2x33，3. 2所以当 2x ，即 x 时，332f(x)的最大值为3； 311当 2x ，即 x时，32123f(x)的最小值为12.公式 asin x bcos xa2 b2sin(x)的应用及注意事项22(1)利用 asin xbcos x a b sin(x )把形如 y asin x bcos xk 的函数化为一个角的某种函数的一次式，可以求三角函数的

11、周期、单调区间、值域和最值、对称轴等(2)该公式是逆用两角和的正弦公式得到的当为特殊角即a的值为1 或 33时b3要熟练掌握对是非特殊角时，只要求会求最值即可3 (2013 银川模拟 )已知函数f(x) sin 2x 23sin2x3 1.(1)求 f(x)的最小正周期及其单调递增区间； (2)当 x ，时，求f(x)的值域66解： f(x) sin 2x 3(1 2sin2 1.x) 1 sin 2x 3cos 2x 1 2sin 2x32(1)函数 f(x)的最小正周期T.2由正弦函数的性质知，当2k2 2x3 2k2，5即k12xk12(kZ )时，函数ysin2x3为单调递增函数，故函

12、数f(x)的单5调递增区间为k12，k12(kZ )(2) x2， 2x 0，6 633sin 2x30,1 ， f(x)2sin 2x3 1 1,3 f(x)的值域为 1,3 1 个公式 辅助角公式可利用辅助角公式求最值、单调区间、周期y asin bcos a2 b2sin( )其中btan a有a2 b2 |y|.2 个方向 三角恒等变换的基本方向三角函数求值、 化简的基本思路是“变换”、通过适当的变换达到由此及彼的目的变换的基本方向有两个：一是变换函数名称，可以使用诱导公式、同角三角函数关系、二倍角的余弦公式等； 二是变换角的形式，可以使用两角和与差的三角函数公式、倍角公式、 对角进行

13、代数形式的变换等3 个步骤 三角恒等变换的步骤三角恒等变换可以归纳为以下三步：创新交汇 三角恒等变换与函数性质的交汇问题1三角恒等变换作为高考命题的重点内容之一，主要与三角函数的求值、化简以及三角函数的性质相结合命题，有时也与向量等其他知识交汇命题2解决此类问题时，一要重视三角变化中的诸多公式，熟悉它们之间的内在联系；二要熟悉三角变换中各方面的技巧，特别是切化弦、降幂和升幂、角的变换等技巧22典例 (2012 安徽高考 )设函数 f(x)2cos 2x4sin x.(1)求 f(x)的最小正周期；(2)设函数 g(x)对任意 x R，有 g x g(x)，且当 x 0，时，g(x)1 f( x

14、)求 g( x)222在区间 ， 0上的解析式22解 (1) f(x)2cos 2x4 sin x2cos 2x cossin 2x sin1 cos 2x244211sin 2x，22故 f(x) 的最小正周期为.11(2)当 x 0，2时， g(x)2 f(x)2sin 2x，故当 x ， 0时， x 0，2.22由于对任意 x R， g x2 g(x)，1从而 g(x) g x22sin 2 x2112sin( 2x)2sin 2x.当 x ，2时， x 0，2，11sin 2x.从而 g(x) g(x ) sin2( x )22综合得 g(x)在 ， 0上的解析式为12sin 2x，

15、x ，2，g(x)1. sin 2x， x，022名师点评 1本题具有以下创新点命题方式：本题突破以往依据函数图象确定三角函数解析式的传统，而是将抽象函数与函数的周期性等相结合，考查函数解析式的求法考查内容的创新：本题考查了函数周期性及分类讨论思想在求抽象函数及分段函数解析式中的应用，考查了考生分析问题、解决问题的能力以及逻辑推理能力2 解决本题的关键有以下几点(1)准确识别函数g(x)的周期 T2；(2)根据周期恰当地将区间 ，0分成 ，2和2，0两部分，并正确求出相应的解析式；(3)具备较强的逻辑推理能力和运算能力变式训练 1设 ABC 的三个内角为A，B，C，向量 m (3sin A，s

16、in B)，n(cos B，3cos A)，若 nm 1 cos(AB)，则 C 的值为 _解析：mn3sin Acos B 3cosAsin B 3sin(AB) 3sin(C)3sinC，又cos(AB) cos( C) cos C，故3sin C1cos C，即3sin Ccos C1，即2sin1，即 sin17 52C6 ，由于 C，故只有C，即 C3.266666答案：232 (2013 江南十校联考 )已知函数 f(x) sin x cos x.cos2xsin xcosx的值；(1)若 f(x) 2f( x)，求1sin2x2(2)求函数 F( x) f(x) f( x) f

17、( x)的最大值和单调递增区间解： (1) f(x)sin x cos x， f( x) cos x sin x.又 f(x) 2f( x)，sin x cos x 2(cos xsin x)，且 cos x 0，tan x1，3cos2x sin xcos xcos2x sin xcos x1tan x6.22221 sin x2sin x cos x2tan x111(2)由题知 F( x) cos2x sin2x 1 2sin xcos x，F(x) cos 2xsin 2x 1，即 F(x)2sin 2x4 1.当 sin 2x41 时， F(x)max 2 1.3由 2k 2x 2k

18、(k Z )得 kx k(k Z )，故所求函数 F(x)的单24288调递增区间为3 k， k(k Z).88一、选择题 (本大题共6 小题，每小题5 分，共 30 分)1(2013济南模拟)函数ysin xsin2x 的最小正周期是 ()B A.2C2D 4解析：选 B12 y sin xcos x sin 2x， T .221 cos 21，则 tan 2等于 ()2 (2013 沈阳四校联考 )若sin 2255A.4B444C.3D31 cos22cos 1解析：选 D2cos，sin 2 2sin cos sin 2tan2，tan 22tan 442 .1tan 143133已知

19、( ，0)，tan(3) aloga3(a 0，且 a 1)，则 cos2 的值为()1010A.10B10310310C.10D 10解析：选 B由题意可知tan(3 )1，3tan 1.3又 cos32 cos sin ，2 cos3102 10. ( ， 0)，sin1010.4已知 x2， ， cos 2x a，则 cos x ()A.1 aB 1a22C.1 aD 1a22解析：选 D依题意得 cos2x1 cos 2x1 a；221 a又 x2，因此 cos x2.5若cos 22，则sincos的值为()72sin 4A 2B1221D.7C.22解析：选 C由已知三角等式得co

20、s2sin22，整理得sincos1.2222sin cos 33，则sincos的最小值为 ()6设 0，2cos sin 2732A.64B.553C.6D1解析：选 Dsin33sin4cos4sin2cos222sin2cos212sincossin cos sin cos cos sin sin cos cos .令 sin cos t，则 t1sin2. 21 0，2， t 0，2.令 g(t) 1 2t， g(t)在 0，1上是减函数，t21当 t2时， g(t)min 21 1.二、填空题 (本大题共3 小题，每小题5 分，共 15 分 )7若 、 是锐角，且sin sin 1

21、， cos cos 1，则 tan( ) _.22解析： sin sin 12， cos cos 12，两式平方相加得：2 2cos cos 2sin sin 1，213即 22cos( )， cos( ) .24 、 是锐角，且 sin sin 10， 0.22 0.2sin( )27.tan( )sin 71cos 43.cos 答案：738设 是第二象限角， tan 43，且sincos，则cos_.222解析： 是第二象限角，2可能在第一或第三象限又sincos，为第三象限22角， cos 0.2tan4，331cos 5 cos ， cos 25.525答案：59 (2012 江苏高

22、考 )设 为锐角，若 cos4，则 sin2 的值为 _6512解析：因为 为锐角， cos 4，所以sin3，sin 224，cos 265656725，所以 sin212 sin 264sin 26cos4cos 26sin答案：17250三、解答题 (本大题共3 小题，每小题12 分，共 36 分)10(1)化简4cos4x 2cos 2x 1；2tanxsin4 x4(2)化简 2sin 50sin 10 (13tan 10 )2sin280.22解： (1) 原式1 cos 2x 2cos 2x1cos 2x2cos 2x2cos 2x2tan4 xcos4 xsin4 xcos4

23、xsin22cos 2x.(2)原式2sin 50cos 103sin 10sin 10 cos102sin 801cos 10 3sin10222cos 102sin 50 2sin 10 cos 10 22sin 50 cos 10 sin 10 cos(60 10)2 2sin(50 10) 2 223 6.11已知函数f(x) sin x cos x，f (x)是 f(x)的导函数(1)求 f (x)及函数 y f (x)的最小正周期；(2)当 x 0，时，求函数 F(x) f(x)f (x) f2(x)的值域2解： (1)由题意可知， f (x) cos x sin x2sin x4

24、，所以 yf (x)的最小正周期为T 2.22(2)F(x) cos xsin x 12sin xcos x 1 sin 2x cos 2x 1 2sin 2x4. 5x0，2，2x4，44sin 2x 2， 1 .42函数 F(x)的值域为 0,1 212已知函数 f(x) 3cos(x)的最小正周期为，且其图象经过点5. 0212(1)求函数 f(x)的解析式；x，且 g() 1， g()32，求g()的值(2)若函数g(x)f26，0，242解： (1)依题意函数的最小正周期T，解得 2，所以 f(x) 3cos(2x )5因为函数 f(x)的图象经过点12，0，所以 3cos 2525

25、 0，得到 k ， k Z ，即 k ， k Z.121223由 0 得 .23故函数 f(x)的解析式为 f(x) 3cos 2x3.x(2)依题意有 g( x) 3cos 2263 3cos x，由 g() 3cos 1，得 cos 1， 3同理g()3cos32，得 cos 244.而 ， 0，2，所以 sin 1122233，sin 12214，44所以g( )3cos( )3(coscossinsin)3122 2324 7.41求值： (1)sin 10sin30 sin 50 sin 70；(2)2cos 10sin 20cos 20.解：(1)原式sin 10cos10 sin50 sin702cos 10 sin 20 sin50 sin70sin 20 cos20 sin504cos 104cos 10 sin 40 sin50 sin80 18cos 10 16cos1016.2cos 3020 sin 20(2)原式cos202cos 30 cos202sin30sin20sin20cos202cos 30 cos20 3.cos 20 2已知 sin(2 ) 3sin ，设 tan x