圆幂定理——老师用

1、切线长定理、弦切角定理、切割线定理、相交弦定理 以及与圆有关的比例线段学习目标1 .切线长概念切线长是在经过圆外一点的圆的切线上，这点和切点之间的线段的长度，“切线 长”是切线上一条线段的长，具有数量的特征，而“切线”是一条直线，它不可以度 量长度。2 .切线长定理对于切线长定理，应明确（1）若已知圆的两条切线相交，则切线长相等； （2） 若已知两条切线平行，则圆上两个切点的连线为直径； （3）经过圆外一点引圆的两条 切线，连结两个切点可得到一个等腰三角形；（4）经过圆外一点引圆的两条切线，切 线的夹角与过切点的两个半径的夹角互补；（5）圆外一点与圆心的连线，平分过这点 向圆引的两条切线所夹的

2、角。3.弦切角：顶点在圆上，一边和圆相交，另一边和圆相切的角直线AB切。于P, PG PD为弦，图中几个弦切角呢？（四个）4 .弦切角定理：弦切角等于其所夹的弧所对的圆周角。5 .弄清和圆有关的角：圆周角，圆心角，弦切角，圆内角，圆外角。6 .遇到圆的切线，可联想“角”弦切角，“线”切线的性质定理及切线长定理7 .与圆有关的比例线段已知结论证法00中，AB CD为弓玄,PAPB=连结 AC、BD,证:交于 P.PC PDzAP6ADPB00中，AB为直径,CD!AB于 P.PC= PA PB用相交弦定理.切割线定理，切割线定理推/圆幕定TT 尸 、00 中，PT切。0 于 T, PT2= PA

3、 PB 连结 TA、TB,证： /割线 PB交。于 AAPTEB APATLUPPR PD为。0的两条割PAPB= PC PD过P作PT切。0于T,线，交。0于A、C用两次切割线定理yL2OO 中，割线 PB交。0 P'C - P'D = r2 延长 P'O 交。0 于 M理于A, CD为弦Kpp-8.圆幕定理：过一定点P向。0作直线， 两条线段之积为常数|。严-五1 (R为圆半径 所以将上述定理统称为圆幕定理。【典型例题】OP'2延长OP'交。0于N,PAPB= OP r2用相交弦定理证；过P r为。0的半径 作切线用切割线定理 勾股定理证交。0于两点

4、，则自定点P到两交点的 0 ,因为。户-露叫做点对于。o的幕，例1.如图1,正方形ABCD勺边长为1,以BC为直径。 圆切线，切点为F,交CD于E,求DE AE的值。AD在正方形内作半圆0,过A作半例2.00中的两条弦 AB与CD相交于E,若AE= 6cm, B已2cm, C57cm,那么C上cm解：由相交弦定理，得AE- BE= CE- DE,. AE= 6cm, BE= 2cm, C5 7cmiDE=CD-CE=1-CE .6X2 = CEq-CE)即C笈：一7四十12 二 0 . CE= 3cm或 CE= 4cmb故应填3或4。点拨：相交弦定理是较重要定理，结果要注意两种情况的取舍例3.

5、已知PA是圆的切线，PC%圆的割线，则叱=必 解：Z P= / P/ PAC= / B,. .PA6 APBAAB _ PR.万二卫AB2 PB1又;PA是圆的切线，PC%圆的割线，由切割线定理，得取 J FE PC工炉_ F炉 _ FB. ./=用*田二无.即相:血故应填PG点拨：利用相似得出比例关系式后要注意变形，推出所需结论。例4.如图3, P是。0外一点，PC切。0于点C, PAB是。0的割线，交。0于A、B两 点，如果PA PB= 1: 4, PO 12cm, ©0的半径为10cm,则圆心。到AB的距离是 cmpm图3解：:PC是。0的切线，PAB是。0的割线，且PA PB

6、= 1:4.PB= 4PA又 PO 12cm由切割线定理，得FC J P4 +巫 词M而以:36 ,. 取=5已切.PB= 4X6= 24 (cm).AB= 24-6=18 (cnj)设圆心。到AB距离为d cm,由勾股定理，得d = 7io2-9a =屈 S故应填瓦。例5.如图4, AB为。0的直径，过B点作。0的切线BC OC交。0于点E, AE的延长 线交BC于点D, (1)求证：C" = O 注;(2)若AB= BO2厘米，求CE CD的 长。B DC图4点悟：要证目I,即要证 CEMACBE证明：(1)连结BESO是的切线=4= ACBE'OA=QE £A

7、= OEA > 0 /LCED = £CBE乙Q2A="ECNC公用角尸 csC区Os匿M => = - => CE2 =CB * CDCD CSf n OC - J4 十 1 君,(2)OS = 1= CE = 。又C8 = 2,.(75-1)=28 = 8=0 同厘米点拨：有切线，并需寻找角的关系时常添辅助线，为利用弦切角定理创造条件。例6.如图5, AB为。0的直径，弦CD/ AB, AE切。0于A,交CD的延长线于E求证：-一上一证明：连结BDVAEWOO 于 A,/EA& /ABDVAE! AB,又 AB/ CD.AE! CD.AB为。0

8、的直径 /AD由 90°. ./E= /ADB 90° .ADPAB ADAD DE-1： .上.=AB* DSv CD/ AB c c AD=£C AA BC .,、上例7.如图6, PA PC切。0于A、C, PDB为割线。求证：AD- BOCDAB图6点悟：由结论AD- BOCDAB得位=三，显然要证 PADzPBA和PCSAPBC 证明：:PA切。于A, /PAA / PBA又/ AP& / BPA .PAM APBA功/空AB'AF同理可证4 PCDo APBC8 阳 BCPC. PA PC分别切。0于A、CPA= PC3一竺 AS BC

9、.AD- BO DC- AB例8.如图7,在直角三角形ABC中，/A= 90° ,以AB边为直径作。0,交余边BC于 点D,过D点作。0的切线交AC于E。求证BO 2OE图7点悟：由要证结论易想到应证 0E是4ABC的中位线。而0A= 0B只须证AE= CE 证明：连结0D. ACL AB, AB为直径AC为。0的切线，又DE切。0于D.EA= ED 0DL DE,- 0B= 0D / B= /0DB在 RtABC中，/C= 90° -ZB./0D2 90°. /助C 二如-ZODB. /O /EDC. ED= ECA已EC. 0E是4ABC的中位线. BO 20

10、Ec例9.如图8,在正方形ABCDt, AB= 1,刘已是以点B为圆心，AB长为半径的圆的一n段弧。点E是边AD上的任意一点（点E与点A、D不重合）,过E作且匚'所在圆的切线, 交边DC于点F, G为切点。当/DEF450时，求证点G为线段EF的中点;解：由/DEF= 45° ,得NZ）五言二 90" - ZDEF 45° ./DFE= /DEF.DE= DF又AD- DC.AE= FC因为AB是圆B的半径，AD£AB,所以AD切圆B于点A;同理，CD切圆B于点。又因为EF切圆B于点G 所以AE= EG FO FG因此E氏FG即点G为线段EF的中

11、点。【模拟试题】（答题时间：40分钟）-、选择题1.已知：PA PB切。0于点A、B,连结AB,若AB= 8,弦AB的弦心距3,则PA=20A.-B.253C. 5D. 82 .下列图形一定有内切圆的是（A.平行四边形B.C.菱形D.矩形梯形3 .已知：如图1直线MNIOO相切于C, AB为直径，/ CA由40° ,则/ MCA勺度数AA. 50°0图1B. 40°C. 600D. 554.圆内两弦相交，一弦长8cm且被交点平分，另一弦被交点分为1: 4,则另一弦长 为（）A. 8cmB. 10cm C. 12cmD. 16cm5.在 ABC中，D是BC边上的点，

12、ad 2我源, BD 3cm, DC= 4cm,如果E是AD的延长线与 ABC的外接圆的交点，那么DE长等于（B.A.C. "'nD.6. PT 切。0于T, CT为直径，D为OC上一点，直线PD交。0于B和A, B在线段PD上，若 C52, A又3, BA4, WJ PB等于（）A. 20 B. 10C. 5D.二、填空题7. AB CDbOO切线，AB/ CD EF是。0的切线，它和AB C吩别交于E、F,则/ EoaM。8. 已知：00和不在。0上的一点P,过P的直线交。0于A、B两点，若PAPB=24, OP= 5,则。0的半径长为9 .若PA为。0的切线，A为切点，

13、PBCffl线交。0于R C,若BO 20,刃=10力，则PC的长为10 .正4ABC内接于。Q M N分别为AR AC中点，延长 MNftOO于点D,连结B PC _交AC于P,则尸且 解答题11 .如图2, ZXABC中,AO2cm,周长为8cm F、K、N是ABCt内切圆白切点，D 切。0于点M 且DE AC 求DE的长。图212 .如图3,已知P为。0的直径AB延长线上一点，PC切。0于C, CELAB于D,求 证：CB平分/ DCP图313 .如图4,已知AD为。0的直径，AB是。0的切线，过B的割线BMN AD的延长 线于C,且BMh MN= NC若AB 僧，求。的半径。uN图4【试题答案】-、选择题1. A 2. C 3. A 4. B 5. B 6. A、填空题7. 908. 19. 3010.解答题11 .由切线长定理得 BDE周长为4,由BD9ABAC彳3D± 1cm12 .证明：连结AC则ACL CBDA. CDLAB, .AC歆ACDB . . / A= / 1.PC为。0 的切线，./ A= /2,又/1 =