(完整版)对勾函数详细分析

1、一、对勾函数 y ax b x1.定义域： (,0)对勾函数的性质及应用( a0, b0) 的图像与性 质：(0,)2.值域： (, 2ab 2ab ,)3. 奇偶性：奇函数， 函数图像整体呈两个“对勾” 的形状，且函数图像关于原点呈中心对称，即f (x)f (x) 04.图像在一、 三象限 ,当 x0 时， yaxb2ab（当x且仅当 xb 取等号），即 f (x) 在 x=b 时，取最小值 2 abaa由奇函数性质知：当x<0 时， f ( x) 在 x=b 时，取最大值2 aba5.单调性：增区间为（b），（,b） ,减区间是（ 0，b ），（b ,0）,aaaa二、对勾函数的变形

2、形式类型一： 函数 yaxb (a0, b0) 的图像与性质x1.定义域： (,0)(0,)2. 值域： (,2 ab 2ab ,)3.奇偶性：奇函数，函数图像整体呈两个“对勾”的形状.4.图像在二、四象限 ,当 x<0时， f (x) 在 x=b 时，取a最小值 2ab ；当 x0时， f (x) 在 x=b 时，取最大值2 aba5.单调性：增区间为（0， b ），（b ,0）减区间是（b ,），（,b ） ,aaaa类型二： 斜勾函数 yaxb (ab 0)x a 0, b 0 作图如下1.定义域： (,0)(0,) 2. 值域： R3.奇偶性：奇函数4.图像在二、四象限，无最大值

3、也无最小值.5.单调性：增区间为（-， 0），（0， +） .1 a 0, b 0 作图如下：1.定义域： ( ,0)(0,)2. 值域： R3.奇偶性：奇函数4.图像在二、四象限，无最大值也无最小值.5.单调性：减区间为（-， 0），（0， +） .类型三： 函数 f ( x)ax2bxc (ac 0) 。x此类函数可变形为f ( x)axcb ，可由对勾函数 y axc上下平移得到xx练习 1. 函数 f ( x)x 2x 1 的对称中心为x类型四： 函数f( )xa(a0,k0)xxkaa此类函数可变形为f (x)( xk)k，则 f ( x) 可由对勾函数 y xx左右平移，上下平移得

4、到1kx练习 1. 作函数 f ( x)x与 f ( x)x3x2xx 的草图22.求函数 f ( x)x1在 (2,) 上的最低点坐标2x43.求函数 f (x)xx的单调区间及对称中心x 1类型五：函数 f ( x)ax(a 0,b 0) 。此类函数定义域为R ，且可变形为aa2f ( x)bbxbx2xxxa. 若 a 0 ，图像如下：1定义域： ( ,)2.值域： 1, a1a2 b2b3. 奇偶性：奇函数 .4.图像在一、三象限.当 x0 时， f ( x) 在 xb 时，取最大值a ，当 x<02b时， f (x) 在 x=b 时，取最小值a2b5. 单调性：减区间为（b,）

5、，（,b ）；增区间是b ,b2练习 1. 函数 f ( x)xx21 的在区间 2,上的值域为b. 若 a 0，作出函数图像：1定义域： ( , )2.值域： a1,a12b2b3. 奇偶性：奇函数 .4.图像在一、三象限 .当 x 0 时， f (x) 在 xb时，取最小值a，2b当 x<0 时， f ( x) 在 x=b 时，取最大值a2b5. 单调性：增区间为（b,），（,b ）；减区间是 b, b 练习 1. 如 a12xx1,2，则的取值范围是x24类型六： 函数f (x)ax2bxc0). 可变形为f (x)a(xm)2s(xm)t()t(0)，xm(axma xmxs a

6、tm则 f ( x) 可由对勾函数 yaxt左右平移，上下平移得到x练习 1. 函数 f ( x)x2x11向（填“左”、“右”）平移单位，向x1由对勾函数y xx（填“上”、“下”）平移单位 .2. 已知 x1，求函数 f (x)x27 x 10 的最小值；x123. 已知 x 1，求函数 f (x)x9x9 的最大值x1类型七： 函数 f (x)xm(a0)ax2bxc练习 1. 求函数 f ( x)x 1在区间 (1,) 上的最大值；若区间改为 4,) 则 f (x) 的最大值为x2x22. 求函数 f (x)x222x3 在区间 0,) 上的最大值xx2类型八： 函数 f ( x)xb

7、. 此类函数可变形为标准形式：f ( x)xabaxaba (ba0)xaxaxa练习 1. 求函数f ( x)x3 的最小值；x12求函数 f ( x)x5 的值域；x13. 求函数 f (x)x2 的值域x3类型九：函数 f (x)x2 b(a0) 。此类函数可变形为标准形式：f (x)( x2a)2b ax2ab aa o)x222(baxaxa3练习 1. 求函数 f (x)x 25 的最小值；x 24x212. 求函数 f (x)217的值域x三、关于求函数 yx1 x 0 最小值的十种解法x1. 均值不等式x0 ，y12 ，当且仅当 x11 的时候不等式取到“=”。 当 x1的时候

8、，x，即 xxxymin22.法yx1x 2yx 10x若 y 的最小值存在，则y 240 必需存在，即y2或 y2（舍）找到使 y2时，存在相应的 x 即可。通过观察当x1的时候， ymin23. 单调性定义设 0 x1xf x1f x211x1x 2 11x1x1x 2 12x1 x 2x 2x1x 2x2x1x1 x2当对于任意的x1 ,x 2 ，只有 x1 ,x 20,1 时， f x1fx20 ，此时 f x单调递增；当对于任意的x1 ,x 2 ，只有 x1 ,x 21,时， fx1fx20 ，此时 fx 单调递减。当 x1 取到最小值， yminf 124. 复合函数的单调性112

9、yx2xxxtx1在 0,单调递增，y t 22在,0 单调递减；在 0,单调递增x又x0,1t,0 x1,t0,原函数在0,1 上单调递减；在 1,上单调递增即当 x1取到最小值，yminf 125. 求一阶导y x1y '11当 x0,1 时， y'0 ，函数单调递减；当 x 1,时， y '0 ，函xx2数单调递增。当 x1 取到最小值， yminf 1246. 三角代换令 xtan ，0,，则 1cot2xy x1cot20,20,tansin 2x2当，即 2时， sin 2max1， ymin2 ，显然此时 x 1427. 向量yx1x 11 1a b ，a

10、x, 1, b1,1xxxabab cos2 a cos根据图象， a 为起点在原点，终点在y1 x0 图象上的一个向量，a cos 的几何意义为 a 在 b 上x的投影，显然当 ab 时， a cos取得最小值。此时，x1， ymin2 228图象相减y x1x1，即 y 表示函数 yx 和 y1两者之间的距离xxx求 ymin ，即为求两曲线竖直距离的最小值平移直线 yx ，显然当 yx 与 y1相切时，两曲线竖直距离最小。x11yx 轴对称，若 yx 与 y1处有一交点， 根据对称性，关于直线 y在 xxx在 0x 1处也必有一个交点，即此时yx 与 y1 相交。显然不是距离最小的情x况

11、。所以，切点一定为1,1 点。此时， x1， ymin29.平面几何依据直角三角形射影定理，设AEx, EB11，则 AB ADx1xx为菱形的一条边，只用当ADAB，即 AD为直线 AB和 CD之显然， xx1间的距离时，取得最小值。即四边形ABCD 为矩形。x1x，即 x1， ymin2此时， xx510. 对应法则设 fx mintfx2x21x 2x0,， x20,，对应法则也相同f x 2mintf xx1f 2 xx212xx 2左边的最小值右边的最小值t 2t2t1（舍）或 t 2当 x Px2 ，即 x1时取到最小值，且 ymin 2对勾函数练习：x>1.求 yx1t9t2在 t0,2上恒成立， 则 a 的取值范围是1若x1的最小值 . 11.若 t 2at 22.若x>1.求 yx 22 x212.求函数 fx116 xx的最小值xx 2x 1 的最值。1x13.若x>1.求 yx 2x113.当 x(0，1)时，求 f ( x)2xx1的最小值的值域4 x14.若x>0.求 y3x2的最小值14.求f (x)x2xx213的值域xx5.已知函数 yx 22xa1,)x(x（ 1） 求 a1 时，求 f (x)的最小值2(2)若对任意 x 1,+,f(x)&