含绝对值的不等式

1、含绝对值得不等式学习要求?(1)理解并掌握解含绝对值得不等式得基本思路就是化去绝对值符号,转化为不含绝对值符号得不等式(或不等式组)来解。(2)弄懂去绝对值符号得理论依据,掌握去绝对值符号得主要方法,会解简单得含有绝对值得不等式重点难点1。实数绝对值得定义|a I =?这就是去掉绝对值符号得依据,就是解含绝对值符号得不等式得基础。2最简单得含绝对值符号得不等式得解。若 a 0时，则|x I a X - a或Xa。注:这里利用实数绝对值得几何意义就是很容易理解上式得,即I X |可瞧作就是数轴上得动点P(X)到原点得距 离.3。常用得同解变形f (X )Ig (X) -g ( X)f(X) g(

2、X);|f(x)|g(x) f( X ) g(X)；I f(X)|g( X)I f2(X ) g2(X )o4三角形不等式:|a|-|b|w|ab|w|a|+|b|。例题选讲：第一阶梯解 ：正数得绝对值就就是它本身;负数得绝对值就是它得相反数；零得绝对值就x| a,(其中a 0)不等式得解法。-a xa;其几何意义为|x |0)与|x| a ,(a0)得不等式，可以利用平方法化为关于x得二？次不等式来解;也可以利用定义法来解， 均可求得它们得解集。 今后，要熟记| X |0)得解集为-x|a,(a0)得解集为X a或x- a就是十分重要得.例3:由定理一“ |a |-| b| |a + b|

3、a或x一a;其几何意义为？评注 ：？解:型如a X a； |w |a b|w |a|+|b|探路:利用“代换法”证明:由定理一可知，|a|- b| w|a+(-b)|a|+|-b|,即 |a|-|b|a-b|a|+|b| ?评注 ：关于与、差、积、商-b|a|+ |b|例4 :不等式|1得解集就是?(D)x|8x2 2?选择(B)评注:本题考查含绝对值不等式得解法原式或 或x-1或OVxW 2或X2X-1或x0做原不等式得解集为X|-1或X0得绝对值与绝对值得与、差、积、商,有下面性质。1(?)|a-b|= I a I |b|; ?(2) ,(b工0)；(3)|a|-I b| |a+b|+|

4、b | ；?( 4 )|a|-|b|a(A) x | 5 x 16 ; ?(B)x|6X 18 ?C)x|7x20;探路:?根据不等式得性质|f(x)|aaf(x)0)求解。解:1 1 3124 4 x216 6x18, ?即x |6 x18,故应例5:解不等式|3 X +2| +|x2|4探路 ：?含多个绝对值符号得不等式,利用零点、分区间、讨论法解:由3 x+2=0,得x=;由x -2= 0,得x= 2，二例2、 解下列不等式(i ) | X2-9| 4或x2-3x v 4 x23x40或x式得解集就是x|x1或x4。评注：依据a 0 ,x R时，有|x| a -ax a ;|x |评注

5、：?解含有两个或两个以上绝对值符号得不等式，一般采用零点、 分区间、 讨论法;即先求出使每个含绝对值符号得解析式值等于零得未知数得值，将这些值依次在数轴上标注出来,它们把序轴分成若干个区间,讨论每一个绝对值符号内解析式在每一个区间上得符号,去掉绝对值符号,转化为不含绝对值得不等式去解。分类讨论思想、 解关于x得不等式,若对x讨论,所求不等式得解集就是各种情况所得解集得并集。第二阶梯例1： 解下列不等式(1 )| 2 |4?探路：当a0时，有|f( X ) Iaaf( x ) af(x )a或f (x) -a解：(1 )原不等式-3 - 2 3-1 0, 050 3x -2 2 5 23x 27

6、x 0,得x 4;解x2 3 x +4原不等a x a或x-a可知,去掉绝对值符号得主要方法,为|f (x)1a- av f (x)0)； |f (x)| a f ( x)a或f( x) v -a,(a 0)例2、 解下列不等式(i ) | X2-9| x+ 3;探路 :根据实数绝对值得意义，即|a|=去掉绝对值符号,再行解之。解：原不等式(I)或(I I)不等式组(l)x=-3或3W x4;不等式组(ll)2 x 3;原不等式得解集就是 x |x= 3或2W x4.探路(2 ):根据不等式得性质|f (X )|g(x)-g(X )f(x)g(x)去掉绝对值符号，再行解之。解：原不等式(x+

7、3 )- 9x +3x=-3或2x4。二原不等式得解集为x|x=-3或2x2x;解含绝对值符号不等式得基本方法就是去掉绝对值符号,然后再解;去绝对值符号得常用探路:I f(X ) |g ( X ) f(X)g( X)或f( X ) 2x或-由2 X ,得XV或x;由一2 X ,得VX；此法得目得，只求会用，不必证明。例3：解下列各不等式(i)探路:X |得含绝对值二次不等式，先求岀I x I得取值范围，再求x得取值范围.解:Tx2= I X|二原不諄式f| 1-21+1) 1x1-3) 评注：熟练应用“|f (X )|g(X ) f (x)g (X)或f(x )g( X )解不等式就是介绍利用

8、，将原不等式化为关于原不等式得解集为评注：对上面介绍得五种去掉绝对值符号得方法,不要盲目套用,要分析题目得结果特征，选择解题得最佳途径就是我们要培养得基础功。(i i )探路：不等式两边均为非负数，可以利用“平方法”解:不等式两边都就是非负数,不等式两边分别平方,得,整理得又此不等式两边都就是非负数，两边分另呼方，得整理,得评注：在利用“平方法 ”去绝对值符号时，必须注意解4:求零点：令x+3=0,得x=3;令x-3= 0 ,得x=3 ?分段：两个零点将R分为三段；(i)当x3时，原不等式化为I X +3X +3 |3 ,此不等式恒成立；.x3(ii)当x3,此不等式恒成立，xW 3(iii)

9、当-3x3,求(i)、(i i)、(iii)得并集，得原不等式得解集为第三阶梯例1:设集合，若AB ,求实数a得取值范围探路：分别解绝对值不等式，分式不等式，化简集合A,B,再将集合得包含关系转化为与之等价得不等式组，求a得取值范围。注意此时应包括端点。原不等式得解集为不等式两边都非负得条件。探路:可以利用零点、分段、讨论法(即零点区间法解：| X a|2 2x a2 a 2xa+ 2,/ A=x| a - 2 xa+2 ； 1 -1 OO（ x+2）（ x 3）O 2x3/B =x| 2x3 ;/ AB,于就是OWaWl。评注:本题考查得方向就是求满足条件实数a得取值范围;考查得知识点为:绝

10、对值不等式,分式不等式得解法以及集合得知识；考查数形结合得数学思想，必须指出得就是集合得包含关系可直观地解释为数轴上区间得覆盖关系,从而将集合得包含关系转化为与之等价得不等式组 得a得取值范围。例2： 求证：探路:用综合法不易得手时,可从结论分析入手,逐步寻找使前一个不等式成立得充分条件或充要条件。,求证明；原祎式=斤歹-疔=2十仇丄十护十y）1十护）即-2ah十护U Jl +刊（1 +护）VI+2+沪+Q皆1亠滋& + /酣十沪2ab成立，.原不等式成立。评注：本题考查用分析法证明不等式，就是对课本P27O例4,证明方法得挖潜，每一个不等式都就是前一个不等式成立得充分条件或充要条件,因而相邻

11、两个不等式之间要用反向单箭头（表示后一个不等式就是前一个不等式成立得充分条件）,或用双向箭头“”（表示后一个不等式就是前一个不等式成立得充要条件）连结。也可以用“需证“、“即证”等语句连结。通过练习,落实数学思想与方法例3:已知I a I 1, I b|1,试比较| a+bI + I ab |与2得大小。探路：要比较大小得对象含有绝对值符号，.可联想算术平方根,对其进行变形，再利用不等式得性质进行放缩处理。解.24 |ff + B|+S-纠J（|Q+纠+|ff-b|尸-松+2歹+ 2| /-沪I（ij当I口RI b I时 / =2口2十2护十2/ - 2护=J4/ = 21C | 2,G1）当

12、I 0 KI纠时Mf 防 *澎+2色2 -2厲2 = 2|纠2;故旧+纠十-石|2戚立.综上所述:|a+b I +|a-b| 0,且a工1解关于X得不等式探路：利用 “同底法”。解:对于含有绝对值符号得比较大小问题，可视为绝对值不等式得证明，要结合绝对值不等式得性质，利用放缩等方法解决问题。探路：本题也可以按a+ b与a b得符号分类讨论，解答问题(i)当a + b与ab同号时，有M |2|纠时，丄-42屮+2护+2宀2护-2|o | 2,(i i)当a+b与a-b异号时，有MKI纠时，丄直 d d+2沪+2占】2,(iii )当a+b与ab至少一者为零时，结论显然评注：原不等式(i)当Ova

13、1时原不等式口（I）（a*a* X dJ(2 Slog也2) 评注：不等式组（皿）,无解，原不等式得解集为馆也弄- - 2)2)-佃gz-gz-2)2) 22或(III)z-2)- Oog ;r-2) 1时冷1（2-2吨3+盹耳2fa就 3*（）1（21鹉也盂-习-依肌2） 2（III） 1（2烛川-刃-Q込兀-却2解不等式组解不等式組本题就是含字母系数a得对数不等式，参数a得作用有两个：一就是由0a1与a1来决定对数函数得单调性； 在对数不等式变换为代数不等式时,决定不等号得方向就是否改变;二就视.第四阶梯2例1.解不等式 I X + 4x 1 I 4、解：-4x2+4x14 ?-5x-3或

14、1x1。即原不等式得解集就是(-5, 3)U ( 1,222 XX +2x -30或x 2x-30 ?-3X1或X 3 X1或x3。解:(2 ) I 2 X + 3 I21 X 1|2(2 X+3)2-(X 1)2 0 (2x+3 x+1)一4W XW-O ?(3) X 工1。?原不等式得解集为4,-.,首先找到两式得零点一1与2,它们把(- 3,+ 3)分成了三个区间;+3)。从而可将不等式化为三个不等式组。求它们得解集得并集?即原不等式得解集(3,1) U (3 , +3)。?例 3 .解不等式 II2x+3+x-(X +4) ( 3 X+2) 0,分析 ：为了去掉绝对值符号(-3 1),

15、 1,2,(2(I) 2 x一1 ；?(I I) 1XW2;?(Ill)原不等式成立。证法 2 :欲证，只需证一1即可2 | (X +1) ( X -2 )|=3,原不等式无解。说明：本题没有采用例4得解法，而就是利用三角形不等式直接判断岀结果.它提示我们今后解这一类问 题，应先判断。例 6.已知：|a|1, |b|1.求证：|1、证法1 :欲证，只需证1,只需证|a+ b | 1 +a b|2 22,只需证(a+b) (1+a b), 只需证(a+b)-(1+ab)20,只需证(a2+b2- a2b21) 0,只需证-(a21)(b21)0、|a|1,|b|1.a21,210, b2-10。

16、式成立，解:将不等式化为三个不等式组只需证（+1）（1）0，只需证0, ?只需证0，只需证 0、?Ta | 1,I b | 1, a2 1,b21,即a22-1 0, b - 1 0, ?又(1+ab ）20,式成立, 原不等式成立。例 7。求证 :证法 1:|a+bI ( 1 +|a|+|b I ) ( I a| + |b|)(1 +|a+b| )?分析：观察两式结构均为得形式，又| a + b I 0,1+X1 0, 1+X20,0O3、I a+b | |a|+|b|上式显然成立，原命题成立。证法 2 :这里只证明 Xl X2,设xi=|a+b|X2= |a |+|b I ?Ta+b |

17、|a |+ |b | ,参考练习：1。解不等式+3x -8| 1。5.求y=得值域。6?设f (X )=+a x+b就是整系数二次三项式，求证:|f(1 )|,|f(2)|, |f(3)|,不可能同时成立。7?。已知|X|, |y| , |z 0)。求证：I X+2y3z |E。参考答案 :1、-6,2:U 1 , 3;2、(-3,1 );4、证法 1:|a+bI ( 1 +|a|+|b I ) ( I a| + |b|)(1 +|a+b| )提示：首先求定义域(0, 3)。其次求岀二零点1,2。分三个区间(0,1,(1 ,2:,(2,3)解即可。解集(0,) U,3。5 .提示：可用反解法解

18、岀s i nx=,则解不等式I I 1得ye -4 ,6。提示：用反证法？ 略证：假设|1+a+b|4 2ab |,及|9 +3a +b| 0得解集就是()解析：i +Ix|)就是非负得,所以(|2x+1|4)必须大于0。解(I 2x+1 I -4)0就可以了。？2、分析：首先寻找零点，就就是|x- 2| =0与|x+ 2 |=0，得到x =2与x=2。然后分x2C、5.解不等式X +2|5B、x 2 C、 一5x5 D、22x2ax-(x+ 2)-盂一g0-2x35、分析：原不等式W | a |+|b | ?(3) |ai+a2+a3| axa或xv a (a0)(3)|x m|a (a 0

19、)-ax- ma m a a (a 0 )x-ma或x -mv a xm+ a或x v m a ?绝对值不等式内容归纳1、含有绝对值得不等式得性质(1)|a|-|b| |a + b| | a | + |bl证明： |a| a | a | , -|b | b |b|,a | +|b | )a +b(| a | +| b | ),I a+b| |a|+|b|、？又a=a+ b b ,| b | = |b二由得|a=|a+b- b | | a +b | +| bl，即|a|-|b| |a+b|、由得|a|-| b | |a+ b | |a |+|b|由以上定理很容易推得以下得结论:?(2)| a |

20、-| b |ab|(1)|x|0)3.绝对值得定义：|a| =由定义可知:|ab|=|a I |b I ,、|a|b|(4) I ab|I a|+| bI取等号a,b异号|a -b|g(x)| f (x)g (x)?I f(x ) |g( X ) f( x)g(x )或f(X)vg(x) I f( X ) I g (x)-g( X )f (X) g(x ) 含有两个或两个以上绝对值符号得不等式可用“按零点分区间讨论得方法来脱去绝对值符号去求解. ? 含有两个或两个以上绝对值符号得不等式可以用图像法来解决5.关于“绝对值得四则运算规律1) I ab|= I a| I b| (3) I a| |b

21、 II a+ b|I a|+|b I (4 )|a|-|b|,但在某些(2)6.不等式取等号得条件(1)| a | b | |a+ b |取等号a,b异号且Ia +b| |a I +|b|取等号a,b同号？(3)|a|-|b|b Ia,b同号且(2)设，B =xI | X1|0，当时，a得取值范围就是(3)7。拓展？定理在形式上包含两部分:| a +b| |a|+|b I与I a| |b| |a + b|，但Ia |b| |a+ b |a+b + ( b) | a +b| +|(b)|，这说明前者与后者在本质上就是一致得, 故可先证明前者,再由前者推出后者定理可改写为I |a|b| I1 a+b| | a |+|b |,当a,b同号或至少有一个为0时右侧等号成立，当a, b异号或至少有一为0时左侧等号成立。等号成立得条件常可用于求最值问题。推论1:|a1+a2+a31 |a11 +| a2|+|a3|,可推广到多个数得情况:| ai+a2+釦|ai|+ |+|an|，当且仅当ai,a2an非异号时等号成立.它就是不等式得证明中“放缩”得依据,也可称为三角形不等式。检测