数学分析专题研究模拟试题1

1、数学分析专题研究模拟试题参考答案一、填空题(每小题3分，共18分)1 .设尸为集合x到集合y的关系，.则称尸是映射.2 .设A, B, C是三个非空集合，称 是一个从AXB到C中的运算.3 .设(A,V)是一半序集，A.,则称"为A的极大元.4 .设有区间/,并有开区间集合S.,则称开区间集S覆盖了区间/.5 .若复数工。是某个整系数多项式p(x) = anxn + + a/ + ”o (% * 0)的根，则称X。是.6,设函数/(X)定义在开区间(/)内，对于/项,工2 £(。力),。£(。，1)，有f(ax + (1 -a)x2+f(x2)，则称/(x)是(a

2、,b)内的 函数.二、单项选择题(每小题3分，共18分)1.集合 X = a,c,”,则A. a e X2.设/ ： x - y,A. uB. a u XA u X,则 A (B.二)C.a e XD. a u X)尸(/).C.=3 .设H是X中的关系，若R = rT,则称R为().A.反身的，B.对称的C.反对称的4 .已知f(x)在开区间(a,b)内连续，则/(%)在(a, b)内(A.有界B.保号C.有最大值5 .已知/")是定义在A上的周期函数，则/(X)()A.在A上至少有一个连续点，B.在A上连续C.有最小正周期D.有无穷多个周期6 .设/(x)是(a,。)内充分光滑的

3、严格下凸函数，则()D. HD.传递的)D 任意一点都连续A.在(/)内必取到最小值B. /a)在(",)内必取到最大值C. /(X)在(“,)内有/"(x)N。D.前三个结论都不对三.计算题(每小题8分，共32分)一、填空题（每小题3分，共18分）1.任意的X e X ,存在唯一的yeY,使xFy.2,映射尸：Ax B f C3 . Vx e A, a < x都不成立4 .对于任意的x e / ,都有 e S ,使x e 5 .代数数6 .下凸二、1.C, 2. A, 3. B, 4. D, 5. D, 6, C三、计算L解，由已知条件知 an = J2*_2分先说

4、明明单调增加，事实上N = /色曰，%=J77 > 1.故J V J "an >。一.（4分）其次卬< 2.ch = J%< 2,一般地有。 < 2,故数列%有上界因此liin an 存在，设 lim an = a.5 分则 4 = y2a.解得 4 = 0,或 4 = 2 .因a = 0 V四=/不符合题意，故lim a = 2.8分2,解.f'M = 1 - sin x - In x + xcosxln x + x sin x 千=sin x In x + xcosxln x + sin x8 分3 .解.设该曲线的函数 y = f(x),则

5、/= 4x3分由此得/(x) = 2x2 +C5 分因曲线过点(0,1)由此设C = 1即/(x) = 2x2 + 1.8 分4 .解.显然，一IWxWI, 当xe (1)时，11 1X/(-2x)=,，2 V1 - X2 J1 一/任取一点曲线上一点(%,汽),与 e (-口)一 0则法线方程为当与=0时法线方程为x = 06分当/ = ±1时法线方程为y = 08分四、试明题：1 .证明 先证/”(AnB) u ji(A)n/T(B),事实上，固ADBuA故有fA Cl B) u /''(A) (2 分)同理有了(A A 8) u 尸(B) c=(3 分)，故f-

6、l(AC)B)cf-l(A)nf-I(B) (4 分)再证 f-l(A AB) fA) D 尸(8). Vx e fA) A 尸则 y = /(x)e API A故即/7(A)n/7(B)u/7(An8) 6 分从而有B) = f-A)n8 分2 .证明设V.、,X2 eR不妨设X2分g(%2) g(x。= f(x2) - 2x2 - /(x,) - 2xJ=/()-/3)-212 - 玉)«-2(x2 -xt) + f(x2)-/(%1)|< -2(x2 -演)+卒2 x=06分所以，gM = fW - 2x是严格单调减少函数.8分3 .证明 设 /(x) = x5 - 2/ + 4x + 62 分则/(X)是口上的连续函数./(I) = 1-2 + 4 + 6 = 9 /(-I) = -1-2-4 + 6 = -1.1故至少存在一点x。e （1,1）,设/（%） = 0fx) = 5x4 - 4.v + 4 = 5/ + 4(1 - X)当 x 七(-1,1)时 /(x) > 0（一 1,1）内严格单调增加函数故/（A）=。至多有一根因此方程一2/ + 4x +6 = 0在（一 1,1）内有且仅有一根.4证明设/（x） = sinx,则/（X）在（0,乃）,内是上凸函数由上凸函数的性质有,对于kg，gB（0