水力学教程_第9章

1、第九章 渗 流液体在孔隙介质(Porous Media)中的流动称为渗流(Seepage Flow)。在水利工程中，孔隙介质指的是土壤、沙石、岩基等多孔介质，水力学所研究的渗流，主要为水在土壤中的流动。地下水运动是常见的渗流实例。§9-1 概 述1渗流理论的工程应用地下水和地表水都是人类的重要水资源。建国以来，我国华北与西北地区开凿了数以万计的灌溉井和工业及民用井。渗流理论除了应用于水利、化工、地质、采掘等生产建设部门外，在土建方面的应用可列举以下几种：(1) 在给水方面，有井(图9-1-1)和集水廊道等集水建筑物的设计计算问题。 (2)在排灌工程方面，有地下水位的变动、渠道的渗漏损

2、失(图9-1-2)以及坝体和渠道边坡的稳定等方面的问题。(3)在水工建筑物，特别是高坝的修建方面，有坝身的稳定、坝身及坝下的渗透损失等方面的问题。(4)在建筑施工方面，需确定围堰或基坑的排水量和水位降落等方面的问题。2水在土壤中的状态根据水在岩土孔隙中的状态，可分为气态水(Water in Gaseous State)、附着水(Adhesive Water)、薄膜水(Film Water)、毛细水(Capillary Water)和重力水(Gravitational Water)。气态水以水蒸汽的状态混合在空气中而存在于岩土孔隙内，数量很少，一般都不考虑。附着水以分子层吸附在固体颗粒表面，呈现

3、出固态水的性质。薄膜水以厚度不超过分子作用半径的膜层包围着土壤颗粒，其性质和液态水近似。附着水和薄膜水都是在固体颗粒与水分子相互作用下形成的，其数量很少，很难移动，在渗流中一般也不考虑。毛细水由于毛细管作用而保持在岩土微孔隙中，除特殊情况外，一般也可忽略。当岩土含水量很大时，除少量液体吸附在固体颗粒四周和毛细区外，大部分液体将在重力作用下运动，称为重力水。本章研究的对象仅为重力水在土壤中的运动规律。3岩土分类及其渗透性质(1)均质岩土 渗透性质与空间位置无关，分成：各向同性岩土，其渗透性质与渗流的方向无关，例如沙土。各向异性岩土，渗流性质与渗流方向有关，例如黄土、沉积岩等。(2)非均质岩土 渗

4、透性质与空间位置有关。以下仅讨论一种最简单的渗流在均质各向同性岩土中的重力水的恒定渗流。§9-2 渗流基本定律1渗流模型(Seepage Model)自然土壤的颗粒，在形状和大小上相差悬殊，颗粒间孔隙形成的通道，在形状、大小和分布上也很不规则，具有随机性质。渗流在土壤孔隙通道中的运动是很复杂的，但在工程中常用统计的方法，采用某种平均值来描述渗流，即以理想的、简化了的渗流来代替实际的、复杂的渗流。现以简例说明。图9-2-1图9-2-1为一渗流试验装置。竖直圆筒内充填沙粒，圆筒横断面面积为A，沙层厚度为l。沙层由金属细网支托。水由稳压箱经水管A流入圆筒中，再经沙层从出水管B流出，其流量采

5、用体积法(量筒C)量测。在沙层的上下两端装有测压管以量测渗流的水头损失，由于渗流的动能很小，可以忽略不计，因此测压管水头差H1-H2即为渗流在两断面间的水头损失。由此实验看出，流经土壤空隙间的液体质点，虽各有其极不规则的形式，但就其总体而言，其主流方向却是向下的。在土壤中取一与主流方向正交的微小面积A，但其中包含了足够多的孔隙，重力水流量Q流过的空隙面积为mA，m为表示土壤空隙大小的孔隙率，即孔隙体积w与微小总体积之比m=。则渗流在足够多空隙中的统计平均速度定义为=(9-2-1)它表征了渗流在孔隙中的运动情况。再假设渗流在连续充满圆筒全部的、包括土壤空隙和骨架在内的空间，以便引用研究管渠连续水

6、流的方法，即把渗流看成是许多连续的元流所组成的总流，且可引入与空隙大小和形状无直接关系的参数表示渗流，如定义渗流流速(Seepage Velocity)为(9-2-2)其中A为包括了空隙和骨架在内的过水断面面积，真正的过水断面积要比A小，因此真正的流速要比渗流流速大。这是一个虚拟的流速，它与空隙中的真实平均流速u间的关系是(9-2-3)这种忽略土壤骨架存在，仅考虑渗流主流方向的连续水流，称为渗流模型，如图9-2-1所示的圆筒渗流，作为渗流模型的特例，可认为该渗流模型是由无数铅直直线式的元流所组成的。2达西定律1852至1855年，法国工程师达西(Henri Darcy)在沙质土壤中进行了大量的

7、试验，得到线性渗流定律。在图9-2-1所示的渗流试验装置中，实测圆筒面积A，渗流流量(Seepage Discharge)Q和相距为l的两断面间的水头损失hw。经大量试验后发现以下规律，称为达西定律：= 或 v=(9-2-4)式中 =是渗流模型的断面平均流速； k渗流系数，它是土壤性质和液体性质综合影响渗流的一个系数，具有流速的量纲，K=LT-1 J流程范围内的平均测压管水头线坡度，亦即水力坡度。图9-2-2式(9-2-4)是以断面平均流速v表达的达西定律，为了分析的需要，将它推广至用渗流流速u来表达。图9-2-2表示处在两个不透水层中的有压渗流，ab表示任一元流，在M点的测压管坡度为J= 元

8、流的渗流流速为u，则与式(9-2-4)相应有=(9-2-5) 从上述达西定律公式(9-2-4)或(9-2-5)表明：在某一均质孔隙介质中，渗流的水力坡度与渗流流速的一次方成比例，因此也称为线性渗流(Linear Seepage)定律。这一定律是达西的试验结果，下面介绍基于一些假设和概念上的理论分析，来理解这一实验结果。3细管概化模型可以把地下水在土壤孔隙通道中的运动看成是充满于一系列弯曲细管中的流动，水流流动的距离不是两点间的直线距离s，而是弯曲的长度，是大于1的弯曲系数，与孔隙率m的经验关系为=。假设细管中的水流为层流，与圆管层流公式(4-4-3)对照有=(9-2-6)当细管横断面为圆形时，

9、直径d与水力半径R的关系为d=4R；横断面不为圆形时，公式中的d以aR替换。在土壤中的水力半径R定义为单位体积土壤中的孔隙体积，即孔隙率m与单位体积土壤中的颗粒表面积P之比，即R= 将这些关系代入式(9-2-6)得=即=(9-2-7)其中：C=，称为多孔介质的渗透性系数(Permeability Coefficient)，只与多孔介质本身粒径大小、形状及分布情况有关，其量纲为L2。将式(9-2-7)与式(9-2-5)比较，可见渗流系数k=(9-2-8)即渗流系数k是多孔介质的渗透性系数C与液体运动粘性系数二者的综合影响系数。细管概化模型从物理本质上阐明了渗流系数k的物理意义。4渗流系数(See

10、page Coefficient)的确定渗流系数k的大小对渗流计算的结果影响很大。以下简述其确定方法和常见土壤的概值。(1)经验公式法 这一方法是根据土壤粒径形状、结构、孔隙率和影响水运动粘度的温度等参数所组成的经验公式来估算渗流系数k。这类公式很多，可用以作粗略估算，本书不作介绍。(2)实验室方法 这一方法是在实验室利用类似图9-2-1所示的渗流实验装置，并通过式(9-2-4)来计算k。此法施测简易，但不易取得未经扰动的土样。(3)现场方法 在现场利用钻井或原有井作抽水或灌水试验，根据井的公式(见§9-4)计算k。作近似计算时，可查用表9-1中的k值。表9-1 水在土壤中的渗流系数

11、概值土 壤 种 类渗流系数k(cm/s)粘 土6×10-6亚粘土6×10-61×10-4黄 土3×10-46×10-4细 砂1×10-36×10-6粗 砂2×10-26×10-2卵 石1×10-16×10-15非线性渗流定律渗流与管(渠)流相比较，也可定义雷诺数Re=式中，v为渗流断面平均流速；运动粘性系数；d为土壤的某种特征长度，有人取用土壤骨架的平均粒径，或d10(通过重量10%土壤的筛孔直径)，或d50，或d=，或d=等。许多试验结果表明当Re1-10时，达西线性渗流定律是适用的

12、。相反，当Re1-10时，J与v(或u)为非线性关系。1901年福希海梅(Forchheimer)首先提出渗流的高雷诺数非线性关系为J=(9-2-9)以前，人们对项的出现，认为仅是紊流的影响。但是，从五十年代起，一些实验结果表明，紊流开始于Re=60150；而达西定律在Re110时已不适用了。因此在Re10150间的层流区，也有项的出现。最近人们把它归于渗流在弯曲通道中水流质点惯性力的影响。本章仅研究线性渗流，只是在§9-7简单介绍非线性渗流(Non_linear seepage)。§9-3 均匀渗流和非均匀渗流采用渗流模型后，可用研究管渠水流的方法将渗流分成均匀渗流和非均

13、匀渗流。由于渗流服从达西定律，使渗流的均匀流和非均匀流具有与明渠的均匀流和非均匀流所没有的某些特点。1恒定均匀渗流和非均匀渐变渗流流速沿断面均匀分布在均匀渗流中，测压管坡度(或水力坡度)为常数，由于断面上的压强为静压分布，则任一流线的测压管坡度也是相同的，即均匀渗流区域中的任一点的测压管坡度都是相同的。根据达西定律，则均匀渗流区域中任一点的渗流流速u都是相等的。换句话说，均匀渗流为均匀渗流流速场。u沿断面当然也是均匀分布的。图9-3-1至于非均匀渐变渗流，如图9-3-1所示，任取两断面1-1和2-2。因渐变渗流的断面压强也符合静压分布规律，所以断面1-1上各点的测压管水头皆为H；相距ds的断面

14、2-2上各点的测压管水头皆为H+dH。由于渐变流是一种近似的均匀流，可以认为断面1-1与断面2-2之间，沿一切流线的距离均近似为ds。当ds趋于零，则为断面1-1。从而任一流线的测压管坡度J=常数根据达西定律，即渐变渗流过水断面上的各点渗流流速u都相等，此时断面平均流速v也就与断面各点的渗流流速u相等。v=(9-3-1)此式称为A.J.杜比(A.J.Dupuit)公式。2渐变渗流的基本微分方程和浸润曲线在无压渗流中，重力水的自由表面称为浸润面(Surface of Seepage)。在平面问题中，浸润面为浸润曲线(Deppression Curve)。在工程中需要解决浸润曲线问题，从杜比公式出

15、发，即可建立非均匀渐变渗流的微分方程，积分可得浸润曲线。图9-3-2如图9-3-2所示，取断面x-x，距起始断面0-0沿底坡的距离为s，其水深为h。由杜比公式得v=(9-3-2)Q=这就是适用于各种底坡的无压渐变渗流基本微分方程。在分析明渠水面曲线时，正常水深和临界水深起着很重要作用。现讨论达西渗流定律适用的渗流问题，由于Re=110，即v是很小的，流速水头和水深相比可以忽略不计，由于断面单位能量Es=h+，所以断面单位能量实际上就等于水深h，临界水深失去了意义，或者可以假想临界水深为零。对于均匀渗流，可得平面问题正常水深h0：Q=即h0=(9-3-3)其是 b渠宽。由于达西渗流的临界水深为零

16、，则浸润曲线及其分区比明渠水面曲线少，在三种坡度情况下总共只有四条浸润曲线。现分析顺波i0的情况，由Q=得=(9-3-4)其中 =。在顺坡渗流中分为a，b两区，见图9-3-3。图9-3-3在正常水深N-N之上区的浸润曲线，hh0。即1。由式(9-3-4)可见, 0，水深是沿流向增加的，为壅水曲线。上游：当hh0时，1，则0。可见浸润曲线上游与正常水深线N-N渐近相切。下游：当h时，。则i。可见浸润曲线下游与水平直线渐近相切。在正常水深N-N以下区的浸润曲线，hh0，即1，由式(9-3-4)可见0，水深是沿流程减小的，为降水曲线。上游：当hh0时，1，则0，可见浸润曲线上游与正常水深线N-N渐近

17、相切。下游：当h0时，0，则。浸润曲线下游的切线趋向与底坡线正交。正坡上的壅水曲线及降水曲线如图9-3-3所示。再讨论浸润曲线的计算，即式(9-3-4)的积分。图9-3-4如图9-3-4所示，任取两过水断面1-1和2-2，水深为h1及h2，距起始断面的距离为s1及s2，两断面相距l=s2-s1。由式(9-3-4)得：=d+在断面1-1及2-2间积分，得=(9-3-5)即顺坡平面渗流浸润曲线方程。至于平坡i=0的浸润曲线形式见图9-3-5。浸润曲线方程为=(9-3-6)式中 q=，即单宽渗流量。图9-3-5 图9-3-6逆坡i0的浸润曲线形式见图9-3-6。浸润曲线方程为=其中 =；为坡度上的正

18、常水深；。例9-1 一渠道位于河道上方，渠水沿渠岸的一侧下渗入河流(图9-3-7)。假设为平面问题，求单位渠长的渗流量并作出浸润曲线。已知：不透水层坡度i=0.02，土壤渗流系数k=0.005cm/s，渠道与河道相距l=180m，渠水在渠岸处的深度h1=1.0m，渗流在河岸渗出处的深度h2=1.9m。图9-3-7解 因h1h2，故渗流的浸润曲线为壅水曲线，具体计算分以下两大步进行。(1)由式(9-3-5)求出h0，从而算出单位渠长的渠岸渗流量q。由式(9-3-5)得=试算得h0=0.945m，从而q=×××100=0.00945(cm2/s)(2)计算浸润曲线从渠

19、岸往下游算至河岸为止，上游水深h1=1.0m，依次给出h2大于1.0m但小于1.9m的几种渐增值，分别算出各个h2处距上游的距离l。由式(9-3-5)得l=其中 =47.25,=1.058,则l=注意到=,并分别给h2以1.2,1.4,1.7,1.9m各值，便可求得相应的l为82.6,120,159,180m。其结果绘于图9-3-7上。§9-4 井和集水廊道井和集水廊道是给水工程吸取地下水源的建筑物，应用甚广。从这些建筑物中抽水，会使附近的天然地下水位降落，可起排水作用。图9-4-11集水廊道(Seepage Corridor)设一集水廊道，断面为矩形，廊道底位于水平不透水层上，见图

20、9-4-1。底坡i=0，由式(9-3-2)得Q=设q为集水廊道单位长度上自一侧渗入的单宽流量，上式可写成：=从集水廊道侧壁(0，h)至(x，z)积分，得浸润曲线方程：= 此式即式(9-3-6)。如图9-4-1所示，随着x的增加，浸润曲线与地下水天然水面A-A(即未建集水廊道或集水廊道不工作时的水面)的降落H-z也随之减小，设在x=L处，降落0。xL的地区天然地下水位不受影响，则称L是集水廊道的影响范围。将x=L，z=H代入式(9-4-1)，得集水廊道自一侧单位长度的渗流量(或称产水量)为q=(9-4-2)若引入浸润曲线的平均坡度=则上式可改写成q=(9-4-3)这一公式可用来初步估算q。可根据

21、以下数值选取：对于粗砂及卵石，为0.003-0.005，砂土为0.005-0.015，亚砂土为0.03，亚粘土为0.05-0.10，粘土为0.15。2潜水井(无压井)(Unconfined Well)具有自由水面的地下水称为无压地下水或潜水。汲取潜水层之水的井称为潜水井或普通井。井的断面通常为圆形，水由透水的井壁渗入井中。这就是第三章例3-1所述的平面点汇流动。图9-4-2依潜水井与底部不透水层的关系可分为完全井和不完全井两大类。凡井底达不透水层的井称为完全井，如图9-4-2所示；井底未达到不透水层的称为不完全井。(1)完全潜水井设完全井底位于水平不透层土，其含水层厚度为H，井的半径为r0。若

22、从井内抽水，则井中和井周围地下水面下降，形成对于井中心垂直轴线对称的浸润漏斗面。当连续抽水量不变，假定含水层体积很大，可以无限制的供给一定流量，不致使含水层厚度H有所改变，即流向水井的地下渗流为恒定渗流时，浸润漏斗的形状、位置随时间变动，井中水深h，也保持不变。取半径为r并与井同轴的圆柱面为过水断面，其面积A=。设地下水为渐变流，则此圆柱面上各点的水力坡度皆为J=，应用杜比公式可求通过圆柱面的渗流量分离变量得=注意到经过所有同轴圆柱面的渗流量Q皆相等，从(r,z)积分到井边(r0,h)，得浸润漏斗面方程=(9-4-4)利用式(9-4-4)可绘制沿井的径向剖面的浸润曲线。为了计算井的产水量Q，引

23、入井的影响半径(Radius of Influence)R的概念：在浸润漏斗上，有半径r=R的圆柱面，在R范围以外，浸润漏斗的下降趋于零，即天然地下水位不受影响，z=H。R即称为井的影响半径。并将此关系代入式(9-4-4)得Q=(9-4-5)此式为完全潜水井产水量公式，也称杜比产水量公式。在一定产水量Q时，地下水面的最大降落S=H-h称为水位降深。可改写式(9-4-5)为Q=(9-4-6)当1时，可简化为Q=(9-4-7)由此可见，井的产水量Q与渗流系数k，含水层厚度H和水位降深S成正比；影响半径R和井的半径r0在对数符号内，对产水量Q的影响微弱。式(9-4-6)比式(9-4-5)的优点是以易

24、测的S代替不易测的h。影响半径最好用抽水试验测定。在估算时，常根据经验数据来选取。对于中砂R=250500m；粗砂R=7001000m。也可用经验公式计算：R=(9-4-8)其中水位降深S以m计，渗流系数k以m/s计，R以m计。图9-4-3(2)不完全潜水井不完全潜水井的产水量不仅来自井壁，还来自井底，其流动较为复杂，常用经验公式计算：Q=(9-4-9)式中，h为井中水深，H为由井底计算的浸润面高程。3自流井(Confined Well)如含水层位于二不透水层之间，其中渗流所受的压强大于大气压。这样的含水层称为自流层或承压层，由自流层供水的井称为自流井或承压井，如图9-4-3所示。此处仅考虑这

25、一问题的最简单情况，即二不透水层均为水平，两层间的距离t一定，且井为完全井。凿穿复盖在含水层上的不透水层时，地下水位将升到高度H(图9-4-3中的A-A平面)。若从井中抽水，井中水深由H降至h，井外的测压管水头线将下降形成轴对称的漏斗形降落曲面。半径为r的圆柱形过水断面平坡渗流微分方程Q=式中 z相应于r点的测压管水头。分离变量，从(r，z)断面到井壁积分得：=(9-4-10)此即自流井的测压管水头线方程。自流井产水量Q的公式，可在式(9-4-10)中以z=H，r=R得Q=(9-4-11)水位降深为：S=(9-4-11)式中 R影响半径。顺便提出，上述公式是在ht的情况下导出。若ht，请读者分

26、析。4大口井与排水基坑大口井(Big_mouth Well)是集取浅层地下水的一种井，井径较大，大致为210米或更大些。大口井一般是不完全井，井底产水量是总产水量的重要组成部分。由于大口井与排水基坑的性质近似，其计算方法基本相同。设有一大口井，井壁四周为不透水层，井底为半球形，与下层深度为无穷大的承压含水层紧接，供水仅能通过井底(图9-4-4)。图9-4-4由于半球底大口井的渗流流线是径向的，过水断面是与井底同心的半球面，则：分离变量积分有：=注意到r=R，z=H，且Rr0，则Q=(9-4-12)这就是半球底大口井的产水量公式。图9-4-5对于平底的大口井，福希海梅认为过水断面是椭圆(图9-4

27、-5)，流线是双曲线，而产水量公式是Q=(9-4-13)比较式(9-4-12)及式(9-4-13)，计算结果相差很多。在条件许可时，利用实测的QS关系推求产水量。实践证明，当含水层厚度比井的半径大810倍时，平底大口井也采用式(9-4-12)较好。5井群(Multiple Well)在给水和排水的许多实际问题中，常须建筑井群，它们彼此间的相互位置，一般依工程需要而定，如图9-4-6所示的平面图。井群的计算远较单井复杂，因为井群中的任一井工作，对其余的井都会有一定的影响。所以井群区地下水流比较复杂，其浸润面也非常复杂。如果井的渗流场存在某一函数，满足某一线性方程，则函数可以叠加。1) 完全潜水井

28、井群。图9-4-6 图9-4-7将坐标轴xyz的xoy面取在潜水层的水平不透水层上，如图9-4-8所示。设浸润面方程为z=f(x,y)，从含水层中取一微小柱体，其底面的边长为dx及dy，柱体高为z，其浸润面为cdgh。根据渗流的达西定律，考虑渗流流经此微小柱体的质量守恒。从abcd面流入柱体的质量流量为=由efgh面流出柱体的质量流量为=+从bcgf面流入的质量流量为=从adhe面流出的质量流量为=+对于恒定流，根据质量守恒原理得+=0对不可压缩液体(常数)有（9-4-14）由式(9-4-14)可见，潜水井的z2是满足线性方程(即拉普拉斯方程)的函数，因此，z2可以叠加。这一概念一般称为“叠加

29、原理”。如井群的某一井i，抽水量Qi，井中水深为hi，井的半径为，由式(9-4-4)有=(9-4-15)式中zi及ri为图9-4-6任一给定点A的水深和距第i井的距离。当各井同时作用时，则形成一公共浸润面，任一给定点A的z2为各井单独作用的的叠加，即=(9-4-16)现考虑各井产水量相同的情况，即Q1=Q2=Qn=，即=,式中 Q0为n个井的总产水量。则式(9-4-16)为=(9-4-17) 设井群也具有影响半径，在影响半径上取一点A，A点距各井很远，即r1r2rn=R，而z=H，代入式(9-4-17)得=(9-4-18) 式(9-4-17)与式(9-4-18)相减，得=-(9-4-19)式(

30、9-4-19)即为完全潜水井井群的浸润曲面方程。式中的井群影响半径R，可采用R=其中：S井群中心或井群分布面积形心的水位降深，以m计；H含水层厚度，以m计；k渗流系数，以m/s计。2)完全自流井井群对于承压含水层厚度为常数t的自流井井群，用上述潜水井井群的分析方法，与式(9-4-14)相对应的是(9-4-20)相应于式(9-4-19)的测压管水头方程是z=(9-4-21) 再注意到单自流井的式(9-4-10)可化为z=因=(9-4-22)则式(9-4-21)可化为S=(9-4-23)式(9-4-23)称为自流井井群水位降深叠加原理，它说明自流井群同时均匀抽水时，A点的水位降深等于各井单独抽水时

31、A点的水位降深之和。6渗水井与河边井(1)渗水井渗水井是从地面灌水到含水层中去的井。用于人工补给地下水，可防止抽取地下水过多所引起的地面沉降。与前述从含水层抽水的井不同，井中水深h将大于含水层厚度或天然地下水测管水面，其浸润曲面或测压管水头线，形状如倒置漏斗，如图9-4-8所示。这也就是例3-1所述的平面点源流动。图9-4-8 用分析抽水井的方法，可得潜水渗水井的注水流量公式：Q=(9-4-24)自流渗水井的注水量：Q=(9-4-25)图9-4-9(2)河边井紧靠河流岸边的井称为河边井。如图9-4-9所示，距河岸A点右边距离为d的地方，有一潜水井，井的半径为r0，潜水层厚度为H。如果河流不存在

32、，当从井中抽水时，距井d的地方(即现河岸A处)的浸润曲线的水深比H小。但是，由于河流的存在，河岸的水面限制了河边井的浸润曲线在该处的降低，即河流水面限制了浸润曲线形状，使之不同于普通的潜水井。设想对河岸A而言，与抽水井对称有一渗水井，二者的井径皆为r0，抽、注的流量皆为Q。当井抽水时，在A处地下水位下降；当井灌水时，在A处地下水位上升。二井同时工作时，可使A处的水位保持为H。这样，河边井受河流的影响，等同于抽水井和注水井组成的井群。对距井r1，距井r2的一点B而言，当井单独抽水在B点形成水深z1：=(9-4-26)当井单独工作时，在B点形成水深z2：=(9-4-27)由叠加原理得二井共同作用时

33、在B点形成水深z：=为了消去，再考虑A点的情况，z=H，r1=r2=d，即=以此代入上式，得=+(9-4-28) 此式为河边井的浸润曲线方程。当r1=r0，r2=2d，z=h1时，上式为=+即Q=(9-4-29)此式为河边井的产水量公式，与式(9-4-5)比较，式(9-4-29)中的2d相当于普通井的影响半径R。§9-5 渗流问题的流网解前面讨论的渗流都是直接或间接引用杜比公式求解。但如果在某一类型的渗流问题中，流线具有显著的弯曲或扩张、收缩，就不能用杜比公式将三元问题简化为一元来处理。而应当寻求更为普遍的解法。现用三元分析方法来考虑渗流的特点，为解决非渐变流问题开辟道路。服从达西定

34、律式(9-2-5)的渗流有u=其中：H为该点的测压管水头。再根据渗流模型的连续介质概念，认为恒定流的H是坐标的连续可微函数H(x,y,z)。设渗流流速u在x,y,z坐标轴上的投影分别为=在均质各向同性土壤中，k是常数，令=，则=(9-5-1) 由式(3-15-2)可知，适合式(9-5-1)的流动称为无旋流或势流，而函数称为流速势。因此，服从达西定律的渗流是具有流速势=的势流。设渗流是不可压缩的液体，则渗流流速的连续性方程仍为式(3-4-3)，即(9-5-2)将式(9-5-1)代入式(9-5-2)得(9-5-3)或(9-5-4)即渗流流速势或水头函数H均满足拉普拉斯方程。在讨论平面势流(x,z)

35、中，有(9-5-5)或(9-5-6)如果能在一定边界条件下解出式(9-5-3)或(9-5-4)，或(9-5-5)，或(9-5-6)中的或H，则由式(9-5-1)可得u，由H=，可得压强p，则渗流问题就得到解决。为求解式(9-5-5)的平面拉普拉斯方程，在边界条件简单规则时，可用解析法求解，如复变函数及保角变换的方法；在边界条件较复杂时，可用近似解法和试验方法，近似解法之一就是本节要阐述的流网法。试验方法在下节阐述。在§3-15已经阐明，在平面势流中流速势与流函数正交而形成流网。现以水工建筑物地基中的渗流为例，阐明应用流网来解平面势流问题。图9-5-1示一实用剖面堰，其下为渗流层，再下

36、为不透水层。在堰基上、下游两端，各打一排桩，以增加建筑物的稳定性，且减少渗流流量和作用在建筑物基底上的浮托力。从图看出，经桩的渗流已不能再看成为渐变渗流。图9-5-1这类渗流计算包括三方面的内容：(1)经透水层渗入下游的流量；(2)作用在基底上的渗流压强分布和扬压力；(3)自基底下游河床处上渗的渗流流速。用流网法解决这类问题，首先要在渗流区绘出流网，即由流线和等流速势(或等势线)组成。堰基底和不透水层是渗流区的上、下边界，各为一条流线。设将渗流区分成m个流槽，即绘出m+1条流线，使各流槽的流量dq彼此相等，则总渗流流量q=。堰上、下游渠底为等水头线的上、下边界，其水头差为H，设将渗流区分成n+

37、1条等势线，形成n个流段，每段的水头差=，即H=。流线族和等势线族，在渗流区中组成流网，由于流网的正交性质，可以证明，这样形成相互正交的网眼，其相邻两边的比值是固定的。图9-5-2要证明每个网眼纵横两边的比值相同，可任取一网眼如图9-5-2所示，设两流线间的距离为b，两等势线的距离为a。将渗流流量关系应用到网眼所在的流槽，得=即=(9-5-7)在均质等向土壤中，k为常数；根据作图条件，一切大小网眼的和均相同，因此比值对所有网眼均相同。利用这一特性，在绘制流网时，对式(9-5-7)右边的各项，选取适当的比例使=1，则所有的网眼都将成为曲线正方形，这就是流网的最后形式。这也是指导绘制流网的原则。根

38、据渗流的边界条件，勾绘出流线与等势线形成曲线正方形网眼，即流网；数出流槽数m和流段数n。根据=1的原则勾绘的流网，式(9-5-7)简化为：=以q=，H=，代入上式得q=(9-5-8)这样，在已知渗流系数k的情况下，只要数出流网的m和n，便可求得q和H的关系，进而解决渗流速度和浮托力的问题。一般说来，流网愈密，计算精度愈高。以一个具有熟练技巧者所绘制的流网计算，其误差可不超过百分之一，完全满足实际问题的要求。例9-2 以图9-5-1为例，渗流层由粗沙组成，渗流系数k=0.014cm/s，堰上、下游水位差H=2m。根据给定边界条件，绘出流网，得流槽数m=8，流段数n=44。解 (1)求单宽渗流流量

39、qq=2/s(2)求堰基底面所受渗流浮托力的分布、大小和作用点。解决这一问题的关键，在于求出沿基底的压强分布。由图9-5-1的流网看出，相邻等势线间的水头差=。例如在第22条等势线的基底处安置测压管，则测压管水面低于上游水面22×。因此，应用等势线在基底上的位置，即可绘出基底上的测压管水头，即基底浮托力水头，介于基底与测压管水头线间的面积则代表基底所受总浮托力的大小，合力作用点通过该面积的形心。(3)自基底下游河底处上渗的渗流流速如图9-5-1所示，下游河底线是第45条等势线。在该流段范围内沿各流线的平均渗流流速，可以认为是该流线与下游河底交点处的渗流流速u，即其中：k已知；=0.0

40、455m；是本流段内各流线的长度，可以在绘出的流网中量取。在下游河底上，算出几个点的u值，便可绘出u沿河底的分布曲线。至于空隙中的平均流速,m为孔隙率。如果u超过了下游河底土壤颗粒的稳定值，就必须采用加固措施。在结束本节前，简述绘制流网的步骤：(1)堰基底轮廓线和不透水层为边界流线，中间等距离内插(n-1)条流线(图9-5-1)，形成n条流槽。(2)把步骤(1)描绘的流槽用等势线划分成许多尽可能近于曲线正方形的网眼。(3)检验步骤(2)中划分的网眼是否都接近于曲线正方形的网眼。如果这些小网眼本身都很接近于曲线正方形，则步骤(2)中的划分是可用的，否则应重新划分。显然，流网的形态特征，仅取决于渗

41、流的边界条件。上述描绘流网的方法，要求一定的经验和直观能力。除流网法这种近似解外，还可用数值解法，常用的数值方法有差分法、有限元法、有限体积法、混和有限分析法等。§9-6 电 拟 法电拟法是用试验手段解决渗流问题的一种方法，简易可行，应用甚广。1电拟法的原理渗流和电流的运动具有异类相似性，即服从同一数学物理方程。如达西渗流服从(9-6-1)式中 u渗流流速； H渗流水头； K渗流系数。电流的欧姆定律为i=(9-6-2)式中 i电流密度；V电势；C导电系数。比较以上两式，可见渗流与电流具一定的相似或相应关系，如u相应于i，相应于V，k相应于C：方程都是线性的。以上两式为基础，可得到：渗

42、流场 (9-6-3)电流场 (9-6-4)即H和V都满足拉普拉斯方程。在渗流的不透水面法线方向n上的渗流速度为零，相应有=0；在电流的绝缘面上，有=0。因此，若几何形状相似的渗流场和电流场；在边界条件相似时，电场中的电势V可比拟为渗流水头H，电场中的电流密度可比拟渗流速度。它们之间的比拟关系列于表9-2中。通过电流测量得到的等势线(面)族，从而可得到渗流等水头线(面)族的解答。现以图9-6-1的平面渗流为例来说明。表9-2 水、电比拟恒定渗流场恒定电流场水头H渗流系数k渗流流速等势面H=常数不透水面=0电位V导电系数C电流密度i=等电位面V=常数绝缘面=0图9-6-1由上述相似关系，如能将电场

43、与渗流场保持几何相似，导电性质和渗流性质相似，及边界条件相似，那么电场中的等位线即为渗流场中的等势线。如按适当比尺作一个与图9-6-1a几何相似、用导电材料(如胶质石墨、导电纸等)或导电溶液制成的电流平面模型(图9-6-1b)，其中两条粗线表示黄铜或紫铜汇流片，分别连接于电路的两端，各保持一定的电势V1和V2，模拟渗流场的等势线C1和C2上的水头h1和h2。图中C0及C3各为不透水边界或绝缘边界。电模型的绝缘边界常用木材、胶木或橡皮泥等制作。当电流通过模型时，两汇流片间的总电势差为V=V1-V2，至于反映这一电势差的等势线在模型中的分布，只决定于模型的边界条件。相应地，渗流场中的等势线的分布也

44、只与渗流场的边界条件有关。因此，当电模型与渗流场的边界条件有着对应关系时，电模型的等势线和渗流场的等势线也有对应的相似关系。这就是电拟法的原理。2电拟法的施测装置和施测方法电模型中的电测系统包括电源部分和量测部分。当电模型电流区域用导电溶液时，为了防止模型中发生有害的电化学反应，采用交流电源，如图9-6-2所示，一般通过音频振荡器供给，频率采用5002000Hz。当导电溶液浓度很小时，不易发生电解，可不用电振荡器，直接用变压器降压后供给，为了满足模型电场应有的强度和操作安全，模型极板两端电压一般用10伏左右。图9-6-2 图9-6-3当模型电流区用导电纸时，可用直流电源，如图9-6-3所示。由

45、蓄电池E发出的电流，经按钮AN、变阻器Rb1、汇流片M1到达模型。再经汇流片M2流出模型返回蓄电池。图9-6-4量测电路用惠司顿电桥原理组成。以图9-6-3为例来说明，图中MX表示电模型，1，2为汇流片，可变电阻器Rb2，用来测定模型点电势的可移动触针4，经过测微电流针G，连接到可变电阻器Rb2的活动臂3上。1，2，3，4组成了惠司顿电桥，为了将电路表示得更清楚，绘相应的电路图如图9-6-4所示。设电桥各部分的电阻分别为R1，R2，R3，R4。按惠司顿电桥原理，当3，4两点的电势相等时，即当测微电流计G的读数为零时，有即(9-6-5)由式(9-6-5)可见，当电模型中的测微电流计G读数为零时，

46、可变电阻器1-3部分(见图9-6-3)的电阻R1对于其全部电阻R1+R2之比，等于模型1-4部分的电势差V1-V4对于模型全部电势差V1-V2之比。根据这一关系，在电拟法试验时，如将可变电阻器的活动臂置于刻度0.3处，并且在模型中移动触针4找出使测微电流计读数零的许多测点，这些点的连线即为0.1(V1-V2)的等势线。将可变电阻的活动臂3，分别置于刻度为0.2,0.3,倍(V1-V2)等的等电势线。HH,等的等水头线。有了等水头线，有关浮托力的计算便可解决。对于要求绘出流网的问题，在已测得等水头线的基础上，描绘出相应的流线族，这比上节所讲的完全依赖试描的方法，来得精确。如果用电拟法研究无压渗流

47、问题，因为浸润曲线是待求的内容之一，因此制作电模型时，必须事先假设浸润曲线的位置，并在试验中逐步修正。电拟法不仅可用来研究二元渗流问题，也可用来研究三元渗流问题。用试验手段研究渗流，除电拟法外，还有渗流模型中的砂模拟，热模拟，窄缝槽模拟，薄膜模拟等。§9-7 非线性渗流当渗流的雷诺数较高时，渗流的水力坡度J与渗流流速u的关系再不服从达西定律，而是非线性关系。1901年福希海梅提出(9-2-9)1969年阿满德(Ahmed)等修改为(9-7-1)式中 C土壤渗透性系数；A1反映土壤特性的常数。为了检验式(9-7-1)，1973年有人总结了多人实验结果，结果见图9-7-1。图9-7-1图9-7-1中的坐标及参数说明如下：横坐标为雷诺数Re=，其中C为渗透性系数；纵坐标=；土壤参数，其中m为孔隙率。图9-7-1中的实验曲线族，可表示为=(9-7-2)=(9-7-3)而式(9-7-2)即为式(9-7-1)的变形。因此，实验检验了式(9-7-1)的可靠性。式(9-7-1)或式(9-7-2)可看成是渗流的统一公式：当雷诺数