2015年高中数学合情推理与演绎推理专题自测试题

1、2015年高中数学合情推理与演绎推理专题自测试题【梳理自测】:合情推理1.（教材习题改编）数歹I2,5,11,20,x,47,中的x等于（）A.28B.32C.33D. 27S=的可推知扇形面积公式2.已知扇形的弧长为l,半径为r,类比三角形的面积公式:S扇等于（2Ar2lr一，C.D.不可类比3.给出下列三个类比结论：(ab)n=anbn与(a+b)n类比，则有(a+b)n=an+bn；loga(xy)=logax+logay与sin(a+B)类比，则有sin(a+0)=sinasin0；(a+b)2=a2+2ab+b2与(a+b)2类比，贝U有(a+b)2=a2+2a-b+b2.其中结论正

2、确的个数是()A.0B.1C.2D.34.（教材改编）下面几种推理是合情推理的是.（填序号）由圆的性质类比出球的有关性质；由直角三角形、等腰三角形、等边三角形的内角和是1800,归纳出所有三角形的内角和都是180°张军某次考试成绩是100分，由此推出全班同学的成绩都是100分；三角形内角和是180°,四边形内角和是360°,五边形内角和是540°,由此得凸n边形内角和是（n2）180°.答案：1.B2.C3.B4.以上题目主要考查了以下内容：（1）归纳推理：由某类事物的部分对象具有某些特征，推出该类事物的全部应经邹具有这些特征的推理，或者由个别

3、事实概括出一般结论的推理、称为归纳推理.简言之，归纳推理是由部分到整体、个别到一般的推理.（2）类比推理：由两类对象具有某些类似特征和其中一类对象的某些已知特征，推出另一类对象也具有这些特征的推理称为类比推理.简言之，类比推理是由特殊到特殊的推理.(3)合情推理：归纳推理和类比推理都是根据已有的事实，经过观察、分析、比较、联想，再进行归纳、类也然后提出猜想的推理，我们把它们统称为合情推理.二、演绎推理.a=(1,0),b=(0,1),ab=(1,0)-(0,1)=1X0+0X(1)=0.'alb.大前提：若两个向量的数量积为零，则这两个向量垂直；小前提：ab=0；结论：a，b.此题主要

4、考查了以下内容：(1)演绎推理：从一般性的原理出发，推出某个特殊情况下的结论，我们把这种推理称为演绎推理.简言之，演绎推理是由一般到特殊的推理.(2) “三段论”是演绎推理的一般模式，包括：大前提一一已知的一股原理；小前提一一所研究的特殊情况；结论一一根据一般原理，对特殊情况作出的判断.【指点迷津】1 .一个防范合情推理是从已知的结论推测未知的结论，发现与猜想的结论都要经过进一步严格证明.2 .两个要点(1)应用演绎推理证题时，大前提可省略，解题中应注意过程的规范性.(2)当大前提和小前提正确时，得到的结论一定正确.考向一归纳推理例题1(1)(2014.山东高考专家原创卷)已知数列:1,2,1

5、,3,2,11121234321不2,3,4，依它的前10项的规律推测这个数列的第2012项是.(2)(2014济宁模拟)给出下列命题：,一1,一，命题1:点(1,1)是直线y=x与双曲线y=一的一个父点；x”:8命题2:点(2,4)是直线y=2x与双曲线y=一的一个父点；一一一.x人一，一一,一一27,人、，命题3:点(3,9)是直线y=3x与双曲线y=一的一个父点；x请观察上面的命题，猜想出命题n（n是正整数）为：.【审题视点】（1）把前10项分组归纳，分析归纳每一组数的变化规律及个数.（2）总结点的变化规律，再看直线和曲线的变化规律，写出此（语言）命题相似的内容.1（1）这个数列的前10

6、项按如下规则分组.第一组：彳;213214321弟二组：彳，2；弟二组：彳，2，3；弟四组：彳，2,3,彳；n r + 1r ，1 一n.由不等式n (n+ 1)<2 012,即 n(n + 1)<4 024,得 n062(nCN*),且当 n=62时,n (n+ 1)2=1 95320121953=59,即这个数列的第2012项是上述分组中的第63组中的第59个数，即第2 012项是6359+ 159559.（2）点的横坐标是命题“n”的值，纵坐标为n2,直线的斜率为n,曲线的系数为n3,32n一人、总结为点（n,n1是直线y=nx与双曲线y=;7的一个父点.x【答案】（1）（2

7、）点（n,n2）是直线y=nx与双曲线y=的一个交点59X【类题通法】所谓归纳，就是由特殊到一般，因此在归纳时就要分析所给条件之间的变化规律,从而得到一般结论.变式训练1.(2014.青岛模拟)观察下列等式：*1=13,白X1+1A2221A222A32=1E?，r3x1+747x52+Bjx=1W?，由以上等式推测到一个一般结论为3A21A222人323入424A2解析：观察等号右侧分母数值的变化与左侧相加项数的关系，项数与分母中2的指数一致，分母1-中指数前边系数比项数多1,可得右侧为1（n+1）2n，左侧观察相加的项数与最后一项中2的指数一致，其他就好确定，从而得到左侧为77X9+x；1

8、3+-+nt2x；.1Kz22A323A42n（n十1）2314151n+211*日水：1S<2X2+2-><3X22+3-><4"蕾+n（n+1）*2n=1（n+1）2n（nN）考向二类比推理例题2（2014湖北省八校高三联考）已知ABC的顶点A,B分别是离心22率为e的圆锥曲线Xm+n=1的焦点，顶点C在该曲线上；一同学已正确地推得：当m>n>0时有e(sinA+sinB)=sinC.类似地,当mi>0,n<0时，有【审题视点】把椭圆性质和双曲线性质类比结合解三角形推导结论.22当m>n>0时，'?=1为椭

9、圆，|Aq+|Bq=2而由正弦定理知，吟=串=*?|?：|Bca=*sinBsinAsinCsinB+sinAsinC2m2ccsinC?sinA+sinIB-sinCeyjmrrsinA+sinB?e(snA+sn'ttx2y2,uIr=sinC.当m>0,n<0时，岳+：=1为双曲线，|ACI-IBC|=2由正弦定理知,|ACIBC|AB。|AC-|BC|AB-?_sinBsinAsinC|sinBsinA|sinC2Vm 2c ,|sin A sin B| sin Cc sin Ce Lm 一m2|sinA sin B|e|sin A sin B|=sin C.【答案

10、】 e|sin A- sin B| = sin C【类题通法】（1）类比推理是根据两个对象有一部分属性类似，推出这两个对象其他属性亦类似的一种推理方法，是由特殊到特殊的推理，其一般步骤为：找出两类事物之间的相似性或一致性；用一类事物的性质去推测另一类事物的性质，得出一个明确的命题（猜想）.（2）熟悉常见的类比对象平面与空间的类比平向空间占八、线线面圆球三角形三棱锥角二面角体积周长表面积L等差数列与等比数列的类比变式训练等差数列等比数列两项之和两项之根两项之差两项之比前n项之和前n项之积.-2. （2014 陕西师大附中模拟）若数列an是等差数列，则数列bnai + a2+ + an bn =也

11、为等差数列.类比这一性质可知，若正项数列 Cn是等比数列，且dn也是等比数列，则dn的表达式应为A ,C1+C2+-+ CnA. dnfCi , C2 CnB. dn ;C. dn=n C1+C2 +cnD. dn ; Ci . C2 Cn解析：选D若an是等差数列，则n(n1)a1+a2+an=na+2d,二 bn= ai +(n1)2d = 2ni+ai 2,即bn为等差数列；若Cn是等比数列，则C1C2Cn=n (n 1)q1+2+(n1)融 q2n1.n一dn=C1,C2Cn=C1q2,即dn为等比数列，故选D.考向三演绎推理例题3 （2014 西安长安一中质检）若数列an的前n项和为

12、3,且满足an+2SS-i=0（n>2）,1a1二2.一1（1）求证：成等差数列;Sn求数列an的通项公式.、,1【审题视点】（1）利用an=SS1推导-的递推关系，从而求an.Sh【典例精讲】（1）证明：当n>2时，由an+2SS1=0,得SSn1=2SSn1,所以15=2,SiSi1又!=1=2,故1是首项为2,公差为2的等差数列.S1aSi(2)由(1)可得：=2n,.$=21；,On2n当 n2 时，an=S Sn12n 2 (n-1)= 2n 2n2,12对n= 1不成立，所以an =(n=1),(n>2).【类题通法】(1)演绎推理的结构演绎推理是由一般到特殊的推

13、理，其最常见的形式是三段论, 分组成的.三段论推理中包含三个判断：第一个判断称为大前提,它是由大前提、小前提、结论三部它提供了一个一般的原理；第二个判断叫小前提，它指出了 一个特殊情况.这两个判断联合起来,提示了 一般原理和特殊情况的内在联系，从而产生了第三个判断：结论.(2)演绎推理的理论依据其推理的依据用集合论的观点来讲就是：若集合M的所有元素都具有性质P, S是M的子集，那么S中所有元素都具有性质P.变式训练3. (2013 高考重庆卷)设数列an满足：&=1, an+1 = 3a, n C M.(1)求an的通项公式及前n项和Sn；(2)已知bn是等差数列，Tn为其前n项和，且

14、b1 = a2, b3=a + a2+a3,求T20.解析：(1)由题设知时是首项为1,公比为3的等比数列，所以an = 3nn-1c 1 - 31 n，Sn= 13 =2(3 T)一、一一20X19 b = a2=3, b3= 1 + 3+9=13, b3 b = 10=2d,所以公差 d=5,故 丁2。= 20X 3+2-X5=1 010.合情推理与演绎推理的方法探究典型例题 (2013 高考全国新课标卷)设入口。的三边长分别为an, bn, Cn, ARG的面积为S,n=1,2,3,.若bi>Ci,bi+Ci=2a1，an+i=a%bn+1=三,Cn+i=三,则()A. S为递减数

15、列B. S为递增数列C. Sn1为递增数列，S4为递减数列D. S2n1为递减数列，S2n为递增数列【方法分析】题目条件：一系列ABnG的三边大小关系和递推关系.解题目标：判断该系列三角形的面积S,S2,，S的单调变化.关系探究：(i)由bi>Ci,bi+Ci=2ai判断第一个三角形ABG的三边ai,bi,ci的大小关系.(ii)由递推关系an+1、bn+1、Cn+1推导bz、C2与Hi的关系.(iii)视ai为定值，推导an、bn与ai的大小关系.(iv)猜想S最大值时的条件.【解题过程】在448。中，bi>ci,bi+ci=2ai,bi>ai>ci.在A&G

16、中，a2=a1，b2=C2aC2=与，b2+C2=2a1，Ci<b2<ai<C2<bi.,cC2+a2c2+ai在ABG中，a3=a=ai,b3=22b2+a?b2+a1C3=2=2，b3+C3=2ai,ai<b3<C2,b2<C3<ai,Ci<b2<C3<ai<b3<C2<bi.由归纳知，n越大，两边Cn,bn越靠近ai且Cn+bn=2ai,此时面积$越来越大，当且仅当Cn=bn=ai时ABnC面积最大.【答案】B【回归反思】(i)此题也反映了等差数列的性质.Cn,ai,bn成等差数列，且随n增加.Cn,bn

17、逐渐靠近中项，即当ai固定时，另两边逐渐接近ai,直到成为等边三角形达到面积最大.(2)此题也可以用特值到一般的归纳推理.如令ai=4,Ci=3,bi=5,依次推出C2,b2等，计算三角形面积得出答案.真题体验i.(20i3高考陕西卷)观察下列等式(i+i)=2Xl-_2一(2+1)(2+2)=2X1X3(3+1)(3+2)(3+3)=2、1X3X5照此规律，第n个等式可为解析：由前三个式子观察归纳可得结论.答案：(n+1)(n+2)-(n+n)=2nx1X3X-X(2n1)2.(2012高考陕西卷)观察下列不等式131+27<5，1151+尹尸3，11171+尹啜+产4照此规律，第五个

18、不等式为L解析：观察三个不等式发现：第一个不等式左边为两式之和，且分母为两个连续整数的平方，右边为22-12；第二个不等式左边为三式之和，且分母为三个连续整数的平方，右边为23-13；第三个不等式左边为四式之和，且分母为四个连续整数的平方，右边为2X414；归纳推理知：第五个不等式为1+3+1+J+3+<.234566答案：1+(+?+'+(+£<112345663.传说古希腊毕达哥拉斯学派的数学家经常在沙滩上画点或用小石子表示数.他们研究过如图所示的三角形数：13610将三角形数1,3,6,10,记为数列an,将可被5整除的三角形数按从小到大的顺序组成一个新数列bn,可以推测：(1)b2014是数列an中的第项；(2)b2k1=.（用k表示）解析：(1)an=1+2+n(n+1)n=2，4X5b1=2=a4，5X69X(2X5)b3=2=a9,(2X5)X11b4:2a1。,14X(3X5)bs;2a14,(3X5)X16be=":a15,b2 014 =2 0142 x 52 01422X5+1a5 035 .(2)由(1)知2k1+1,2k1+1b2k-1=2X512x525k(5k