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文档简介

1、数学模型实验常微分方程初值问题数值解法稳定性分析实验目的1 掌握借助MATLAB软件包求微分方程数值解的龙格库塔方法；2 掌握借助MATLAB软件包作微分方程相图方法；3 了解微分方程稳定性对数值解的影响；基本方法原理1 常微分方程数值解的欧拉方法和龙格库塔方法简述考虑一阶常微分方程的初值问题我们知道：对于一般的，我们不能求出方程的通解和问题的精确解；因此我们转而求问题的数值近似解。即：如果我们取步长为h，并令，我们希望能求出函数在各点处的函数值的近似值。用来求这些近似值的方法有很多，这里介绍三种：（1） 欧拉方法对方程两边从到积分得，由于h通常取得很小，右边的积分可用矩形公式、梯形公式等近似

2、。若右边的积分采用矩形公式近似，则有，以此类推，得到欧拉方法的计算公式易知：欧拉方法的精确程度不高。一般地，如果假定是准确的，而按某种算法得到的满足，我们说该算法具有阶精度。欧拉方法具有一阶精度。（2）改进的欧拉方法如果上述积分用梯形公式近似，则有。由于通常不能直接得到，所以称这种公式为隐式公式。通常取欧拉方法计算得到的作为初值，代入上述公式右端作迭代，直到求出满意的值为止。为简便起见，通常仅迭代一次就转入下一步计算。即。这里欧拉算法算出的值可看着预估值，而后一公式算出的值可看着对预估值的校正。进一步地，上述校正实际上是对连接、的线段的斜率值的校正。可以证明：改进的欧拉方法具有二阶精度。（3）

3、四阶龙格库塔（RungeKuta）法根据上面的演算，我们可以猜想：若对斜率值进行适当的校正，应该可以得到精度更高的算法。具有四阶精度的四阶龙格库塔方法就是这样得到的。常用的四阶龙格库塔法计算格式是对于二阶常微分方程的初值问题可通过变换，将原问题化成一阶线性方程组相应的龙格-库塔计算公式可参见相关书籍。2 常微分方程稳定性理论简介对于一阶微分方程我们把使的点称为平衡点(或奇点)。当时，称是稳定平衡点；当时，是不稳定平衡点。对于一阶微分方程组我们通常在相平面上研究解的性质。（1） 基本概念：相平面、相轨线、奇点及分类（2） 稳定性及其判别模型实例1 虫口问题模型1 基本模型2 数值解及其分析模型实例2 强迫振动下的单摆运动1 数学模型2 无强迫力下的

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