讲多维随机变量及其分布

1、第八讲多维随机变量及其分布第三章多维随机变量及其13 / 9分布§ 1二维随机变量 在实际问题中，对于某些随机 试验的结果需要同时用两个或 两个以上的随机变量来描.例 如，为了研究某一地区学龄前 儿童的发育情况，对这一地区 的儿童进行抽查，对于每个儿 童都能观察到他的身高H和体 重W.在这里,样本空间 S=e=某地区的全部学龄前儿 童，而H(e),和W(e)是定义在S 上的两个随机变量又如炮弹 弹着点的位置需要由它的横坐 标和纵坐标来确定，而横坐标 和纵坐标是定义在同一个样本 空间的两个随机变量易知,随机点(X,Y)落在矩形域xi<X乞X2,1. 二维随机变量的分布一般，设E是

2、一个随机试验，它的样本空间 是S=e,设X=X(e)和Y=Y(e)是定义在S上 的随机变量，由它们构成的一个向量(X,Y), 叫做二维随机向量 或二维随机变量.定义：设(X,Y)是二维随机变量,对于任意实数x,y,二元函数：F(x,y)= P(X 沁厂(Y < y)记成二 PX 空 x,Y 乞 y称为二维随机变量(X,Y)的分布函数，或称 为随机变量X和Y的联合分布函数.yi<Y乞y2的概率为Pxi<X 弐X2,y1<Y 込y2=F(X2,y2)-F(X2,yi)+F(xi,yi)-F(xi,y2).(1.1)分布函数F(x,y)具有的基本性质：(1) F(x,y)是变

3、量x和y的不减函数，即对于 任意固定的y,当X2>xi时F(X2,y) _F(xi,y);对 于任意固定的x,当y2>y1时F(x,y2)_F(x,y1).(2) OF(x,y)乞1,且对于任意固定的y, F(-：,y)=O,对于任意固定的 x, F(x,-：)=0,F(- ：,-： )=0, F(+ ： , + - )=1.(3) F(x,y)关于x和关于y都右连续.即F(x,y)=F(x+0,y), F(x,y)=F(x,y+0)(4) 任给(xi,yi),(x2,y2), xi<X2, yi<y2,F(x2,y2)-F(x2,yi)+F(xi,y”-F(xi,y2

4、)_02. 离散型二维随机变量的分布如果二维随机变量(X,Y)全部可能取到的不 相同的值是有限对或可列无限多对，则称 (X,Y)是离散型的随机变量.设二维离散型随机变量(X,Y)所有可能取的值为(x)，i,j=1,2,.,记 PX=Xi, Y=yj=pij,i,j=1,2,.,则由概率的定义有Pj -0,、p厂 1.i =1 j =1称 PX=x i, Y=yj=pij, i,j=1,2,.,为二维离散型随机变量X和Y的分布律，或随机变量X 和Y的联合分布律.也可用表格表示X和丫的联合分布律：XX1X2Xi.y1P11P21Pi1.y2P12P22Pi2.IIIyjP1jP2jPij.例1设随

5、机变量X在1,2,3,4四个整数中等 可能地取一个值，另一个随机变量丫在1X 中等可能地取一整数值试求(X,Y)的分布 律解由乘法公式容易求得(X,Y)的分布律。易知X=i,Y=j的取值情况是：i=1,2,3,4, j取不大于i的正整数，且1 1PX =i,Y = j二 PX =iPY = j |X =i,4 ii =123,4, j于是(X,Y)的分布律为Y123411/41/81/121/16201/81/121/163001/121/1640001/16将(X,Y)看成一个随机点的坐标，则离散型随机变量X和Y的联合分布函数为F(x,y)= 送 Pij,(1.2)x :x yj 勺其中和式

6、是对一切满足< x , yj < y的i,j来求和的.3.连续型二维随机变量的概率密度与一维随机变量相似，对于二维随机变量 (X,Y)的分布函数F(x,y),如果存在非负的函 数f(x,y)，使对于任意x,y有y xF(x,y) !. j. f(u,v)dudv,则称(X,Y)是连续型的二维随机变量，函数 f(x,y)称为二维随机变量(X,Y)的概率密度, 或称为随机变量X和Y的联合概率密度._2F(x, y).x.yF(x： nA x, yn A y) _F(x,y 川 A y)A xF(x - A x, y) F (x, y)A x由性质4,在f(x,y)的连续点处lim Px

7、£Xx+ Ax, y<丫兰y+ A yAx»a x AyA y 0,l F (x 亠Ax, y 亠Ay)-F(x 亠Ax, y) A x A yA-F(x,y - Ay) 'F(x, y)= ZF=f(x,y).一x_y按定义，概率密度f(x,y)具有以下性质:(1) f(x,y) -0.这表示若f(x,y)在点(x,y)处连续,2:F(x,y).x .y-f (x,y).则当厶x, y很小时Px<X _x+ x,y<Y 乞 y+ ： y : f(x,y) : x y,(2) 二'：f(x,y)dxdy=1.(3) 设G是xOy平面上的区域

8、,点(X,Y)落 在G内的概率为P(X,Y) G二 f(x, y)dxdy. (1.3)G(4) 若f(x,y)在点(x,y)连续,则有在几何上x=f(x,y)表示空间的一个曲面,由 性质2知,介于它和xOy平面的空间区域的 体积为1,由性质3, P(X,Y) G的值等于以 G为底，以曲面z=f(x,y)为顶面的柱体体积. 由性质4并结合微积分的概念知，(X,Y)落在 小长方形(x,x+ .x (y,y+沖内的概率近似等于 f(x,y) x y.例2设二维随机变量(X,Y)具有概率密度f (x, y)2eS)0,x 0, y 0,其它.(1)求分布函数F(x,y);求概率PY乞X. 解(1)F

9、(x, y)二 f (x, y)dxd yS=讣切dxdy, x>0,y>00,其它.即有F(x, y)：(1_eS)(1_eT), x0,y>0,0,其它.(2)将(X,Y)看作是平面上随机点的坐标，即有Y <X=(X,Y)G,其中G为xOy平面上直线y=x及其下方的部分，于是PY 空 X二 P(X,Y) G二 f(x, y)dxdyG=nr2ej2x4y>dd1.以上关于二维随机变量的讨论，不难推广到 n(n>2)维随机变量的情况.一般,设E是一 个随机试验，它的样本空间是S=e,设 Xi=Xi(e), X2=X2(e), ., Xn=Xn(e)是定义在

10、 S 上的随机变量，由它们构成的一个n维随机 向量(Xi,X2,.,Xn)叫做n维随机向量或n维随 机变量.任给n个实数xi,x2,.,xn, n元函数F(x 1 ,X2,.,Xn)=PX 1 兰Xi ,X2 兰X2,.,Xn 兰Xn 称为n维随机变量(Xi,X2,.,Xn的分布函数 或联合分布函数.它具有类似于二维随机变 量的分布函数的性质.(课间休息)§ 2边缘分布二维随机变量(X,Y)作为一个整体,具有分布函数F(x,y).而X和丫都是随机变量，各自也有分布函数，将它们分别记为Fx(x),FY(y),依次称为二维随机变量(X,Y)关于X和关于Y的边缘分布函数.4.二维随机变量的

11、边缘分布一Fx(x),FY(y)边缘分布函数可以由(X,Y)的分布函数F(x,y) 所确定，事实上，Fx(x)=PX <x=PX <x, Yv：=F(x, ：),即Fx(x)=F(x, ： ).(2.i)同理，FY(y)=F(二,y).(2.2)(1)对于离散型随机变量，O0Fx(x) =F(x,：)八 ' Pj.Xi 盞 j #X的分布律为Q0PX = Xi = " Pij 二 Pi *j 二i =1,2,丫的分布律为oOPY = yj八 Pij 二 P j,i 1注意，记号Pi,中的""是由pij关于j求和后得到的；同样，p.j是由Pij关

12、于i求和后得到的分别称口卫=1,2，)和p,=1,2，)为(X,Y)关于X和关于丫的边缘分布律。(2)对于连续型随机变量，设随机向量(X,Y)的概率密度为f(x,y),由于Fx(x) =F(x,°o) =(x,y)dy 'dx,知，X是一个连续型随机变量，且其概率密 度为(2.3)其概率fx(X)二 W (x, y)dy同样,丫也是一个连续型随机变量，密度为fY(y)二f(x,y)dx(2.4)称fx(x),fY(y)为(X,Y)关于X和关于丫的边缘概率密度。例3 整数N等可能地在1,2,3,.,10十个值 中取一个值.设D=D(N)是能整除N的正整 数的个数，F=F(N)是

13、能整除N的素数的个数 (注意1不是素数)，试写出D和F的联合分 布律.解先将试验的样本空间及D,F取值的情况 列表如下：样本点12345678910D1223242434F0111121112D和F的联合分布律及边缘分布律如下表所例4设随机变量X和丫具有联合概率密度f(x,y)26, x兰y兰x, 0,其它求边缘概率密度fx（x）, fY（y）.解:fx(x)二 W(x,y)d y：6dy =6(xx2),0 x 乞1,二 x0其它.J(y) = :Hf(x, y)dxI广 yff 6dx=6(Jyy), 0仆 1,=y0,其它.例5二维随机变量（X,Y）的概率密度为T 0 -叫）2 2（1

14、-门）_时_2P（X-Al）（y-A2）+（-卩2）2 I1f(x, y)=22 n吓2£1 Pexp码6J-：x ：,-： : y其中7,2,J卢2,'都是常数且二1>0,6 >0, |讣1称(X,Y)为服从参数叫,6,6,'的二维正态分布，记为(X,Y)N(叫2,62,打，).试求二维正态随机变量的边缘概率密度.HFCO解：fx（x）二 f （x, y）dy,由于2厶（x 擒） （y-b）2 （X ）（y ）（12）（X1）2求解t2e 2 dt的过程因此，fx(X)（X_1）222二:e 2 dx e 2 dy-:二-:： _2（1 ed y.,则有dxdy2 二_：-2"2 '-d'-d2odd-2dy 或 dy _ 二 1 _ "dt-；-2d