华中科技大学理论力学习题答案ppt课件

1、 101 质点的动量矩定理质点的动量矩定理 102 质点系的动量矩定理质点系的动量矩定理 103 定轴转动刚体的动力学定轴转动刚体的动力学 104 质点系的相对运动动量矩定理质点系的相对运动动量矩定理 105 刚体平面运动动力学刚体平面运动动力学 习题课习题课第十章第十章 动量矩定理动量矩定理动量定理或质心运动定理：质点系随质心平动的问题。动量定理或质心运动定理：质点系随质心平动的问题。 如绕质心轴定轴转动刚体，vC=0，那么其动量恒等于零，质心无运动，可是刚体确受外力的作用而运动。 动量矩定理建立了质点和质点系相对于某固定点固定轴的动量矩的改动与外力对同一点轴之矩两者之间的关系。10-1质点

2、的动量矩定理质点的动量矩定理一质点的动量矩一质点的动量矩质点对点质点对点O的动量矩：的动量矩： 矢量矢量质点对轴质点对轴 z 的动量矩：的动量矩： 代数量代数量vmrvmmO)()()(xyOzvmmvmm质点对点质点对点O的动量矩与对轴的动量矩与对轴z 的动量矩之间的关系：的动量矩之间的关系：OABvmmO2)(2)(BOAvmmz正负号规定与力对轴矩的规定一样对着轴看：顺时针为负逆时针为正kg2/s。动量矩度量物体在任一瞬时绕固定点动量矩度量物体在任一瞬时绕固定点(轴轴)转动的强弱。转动的强弱。)( )(vmmvmmzzOFdtvmd)(二质点的动量矩定理二质点的动量矩定理两边叉乘矢径 ,

3、 有Frdtvmdr)(r左边可写成vmdtrdvmrdtddtvmdr)()(, )( , 0FmFrvmvvmdtrdO而)()( , )(FmvmmdtdFrvmrdtdOO 质点对任一固定点的动量矩对时间的导数，等于作用在质点上的力对同一点之矩。这就是质点对固定点的动量矩定理。故：将上式在经过固定点O的三个直角坐标轴上投影，得)()( ),()( ),()(FmvmmdtdFmvmmdtdFmvmmdtdzzyyxx 上式称质点对固定轴的动量矩定理，也称为质点动量矩定理的投影方式。即质点对任一固定轴的动量矩对时间的导数，等于作用在质点上的力对同一轴之矩。称为质点的动量矩守恒。假设)0)

4、( 0)(FmFmzO那么)( vmmO常矢量)(常量vmmz运动分析： 。2)(mllmlvmmOOMlv , 由动量矩定理即)()(FmvmmdtdOO0sin , sin)(2lgmglmldtd 微幅摆动时，并令，那么 , sinlgn202n 解微分方程,并代入初始条件 那么运动方程)0, 0(00ttlgcos0，摆动周期lgT2sin)()()(mglgmmTmFmOOO解：将小球视为质点。解：将小球视为质点。受力分析；受力图如图示。受力分析；受力图如图示。例例1 单摆知单摆知m，l，t =0时时= 0，从静止，从静止 开场释放。开场释放。 求单摆的运动规律。求单摆的运动规律。注

5、：计算动量矩与力矩时，符号规定应一致此题规定逆时针注：计算动量矩与力矩时，符号规定应一致此题规定逆时针转向为正转向为正一质点系的动量矩一质点系的动量矩质点系对点质点系对点O动量矩：动量矩：质点系对轴质点系对轴z 动量矩：动量矩：10-2质点系的动量矩定理质点系的动量矩定理iiiiiOOvmrvmmL)( zOiizzLvmmL )(二质点系的动量矩定理二质点系的动量矩定理左边交换求和与导数运算的顺序，而则, 0)( ),()(iiOiiOOFmvmmL)()()(eOeiOOMFmdtLd一质点系对固定点的动量矩定理), 3 , 2 , 1( )()()()()(niFmFmvmmdtdeiO

6、iiOiiO 对质点系，有), 3 , 2 , 1( )()()()()(niFmFmvmmdtdeiOiiOiiO 对质点Mi ：)()()()()()()( ,)( ,)(ezeizzeyeiyyexeixxMFmdtdLMFmdtdLMFmdtdL将上式在经过固定点O的三个直角坐标轴上投影，得 质点系对固定轴的动量矩定理。质点系的动量矩守恒质点系的动量矩守恒当时，常矢量。当时，常矢量。当时，常量。当时，常量。0)(eOM0)(ezMOLzL 定理阐明内力不会改蜕变点系的动量矩，只需外力才干改蜕变点系的动量矩。解：解： 系统的动量矩守恒。系统的动量矩守恒。 , 0)()(eOFmrvvmr

7、vmABAA)(02vvA猴A与猴B向上的绝对速度是一样的,均为 。2v例例2 知：猴子知：猴子A重重=猴子猴子B重，猴重，猴B以相对绳速度以相对绳速度上爬，猴上爬，猴A不动，问当猴不动，问当猴B向上爬时，猴向上爬时，猴A将如何动？将如何动？动的速度多大？轮重不计动的速度多大？轮重不计vm0020221maamaLz2)sin(22lamLz00202)sin(laa21zzLL3平面运动刚体平面运动刚体平面运动刚体对垂直于质量对称平面的固定轴的动量矩，等于平面运动刚体对垂直于质量对称平面的固定轴的动量矩，等于刚体伴随质心作平动时质心的动量对该轴的动量矩与绕质心轴刚体伴随质心作平动时质心的动量

8、对该轴的动量矩与绕质心轴作转动时的动量矩之和。作转动时的动量矩之和。ziiiizzJrmvmmL2)(CCzzJvmmL)(刚体动量矩计算：刚体动量矩计算：1平动刚体平动刚体CCCOOvmrvmmL)()(CCCiiiiivmrvrmvmr)(CzzvmmL 平动刚体对固定点轴的动量矩等于刚体质心的动量对该点轴的动量矩。2定轴转动刚体定轴转动刚体定轴转动刚体对转轴的动量矩等于刚体对该轴转动惯量与角速定轴转动刚体对转轴的动量矩等于刚体对该轴转动惯量与角速度的乘积。度的乘积。11222321RRvv3232222221)(vRmmRJRJLOOCOBOAOLLLL 2332222211)(RvmR

9、vmJJ解：解：例例4 滑轮滑轮A：m1，R1，R1=2R2，J1 滑轮滑轮B：m2，R2，J2 ；物体；物体C：m3 求系统对求系统对O轴的动量矩。轴的动量矩。RmgMMeOsin)(RmgMmvRJtsindd22sinmRJmgRMRa,MJRmaRvmJLORvatvdd1v12Vq2v222cosd1rvtqnLVCDcd111cosd1rvtqnLVABab)coscos(dd)(111222rvrvqtLnFMVOO)coscos(d1d111222rvrvtqnLVOnABabCDcdABCDabcdOLLLLLd，不计摩擦。，不计摩擦。mOJ1m2m1r2rNF1TF2TF)

10、(222211rmrmJOgrmrmFMeO)()(2211)(2222112211)(ddrmrmJgrmrmtO)(dd)(eOOFMtL222111rvmrvmJLOOCyNammmgmmmF)()(2121212211212211)(mmmrmrmmmmamammymyaiiiCCy 111111rmamFgmT)(111rgmFT)()(221121rmrmgmmmFN1m222222rmamgmFT)(222rgmFT2m 一、动力学方程一、动力学方程 对于一个定轴转动刚体代入质点系动量矩定理，有zzJL )()(ezzMJdtd)(22)( ezzezzMdtdJMJ或刚体定轴转

11、动微分方程处理两类问题：处理两类问题：知作用在刚体的外力矩，求刚体的转动规律。知作用在刚体的外力矩，求刚体的转动规律。知刚体的转动规律，求作用于刚体的外力矩。知刚体的转动规律，求作用于刚体的外力矩。但不能求出轴承处的约束反力，需用质心运动定理求解。但不能求出轴承处的约束反力，需用质心运动定理求解。10-310-3定轴转动刚体的动力学定轴转动刚体的动力学 特殊情况：特殊情况： 假设假设 ,那么恒量，刚体作匀速那么恒量，刚体作匀速转动或转动或 坚持静止。坚持静止。 假设假设 常量，那么常量，那么 =常量，刚体作匀变速转动。常量，刚体作匀变速转动。 将将 与与 比较，刚体的转动惯量比较，刚体的转动惯

12、量 是刚是刚体转动惯性的度量。体转动惯性的度量。0)()()(ezezFmM, 0)(ezM)(ezzMJFam zI二、二、 刚体对轴的转动惯量的计算刚体对轴的转动惯量的计算一定义：一定义：假设刚体的质量是延续分布，那么假设刚体的质量是延续分布，那么2iizrmJdmrJmz2 刚体的转动惯量是刚体对某轴转动惯性大小的度量，它的大小表现了刚体转动形状改动的难易程度。 转动惯量恒为正值，国际单位制中单位kgm2 。积分法具有规那么几何外形的均匀刚体可采用 例5 1匀质细直杆长为l ,质量为m 。 求：对z轴的转动惯量 ； 对z 轴的转动惯量 。zJ zJ二转动惯量的计算二转动惯量的计算2222

13、121 mldxlmxJllz202 31 mldxlmxJlz解：解：42)d2(402RrrrJARAO222mRmRRmJiizAiiirrmd22RmA221mRJO2. 回转半径回转半径由所定义的长度由所定义的长度 称为刚体对称为刚体对 z 轴的回转半径。轴的回转半径。mIzz2zzmJ 对于均质刚体，仅与几何外形有关，与密度无关。对于几何外形一样而资料不同密度不同的均质刚体，其回转半径是一样的。z 在机械工程设计手册中，可以查阅到简单几何外形或已规范化的零件的转动惯量和回转半径。书中列出几种常见均质刚体的，以供参考。zzJ和3. 平行移轴定理平行移轴定理同一个刚体对不同轴的转动惯量

14、普通是不一样的。同一个刚体对不同轴的转动惯量普通是不一样的。2mdJJzCz 刚体对某轴的转动惯量等于刚体对经过质心且与该轴平行的轴的转动惯量，加上刚体的质量与两轴间间隔的平方之乘积。)(222iiiiizCyxmrmJ)(222iiiiizyxmrmJ)( , 22dyxmJdyyxxiiiziiiiiiiiiiymddmyxm2 )()(222证明：设质量为m的刚体，质心为C，CzzO/ 2 0 , mdJJmyymmmzCzCiii例如，对于例1中均质细杆z 轴的转动惯量为22223141121)2(mlmlmllmJJzz刚体对经过质心轴的转动惯量具有最小值。刚体对经过质心轴的转动惯量

15、具有最小值。当物体由几个规那么几何外形的物体组成时，可先计算每一部分(物体)的转动惯量, 然后再加起来就是整个物体的转动惯量。 假设物体有空心部分, 要把此部分的转动惯量视为负值来处置。4计算转动惯量的组合法计算转动惯量的组合法盘杆OOOJJJ222221)(2131RlmRmlm)423(213122221lRlRmlm解：解：例例8 钟摆：钟摆： 均质直杆均质直杆m1, l ； 均质圆盘：均质圆盘：m2 , R 。 求求 JO 。例例9 提升安装中，轮提升安装中，轮A、B的分量分别为的分量分别为P1 、 P2 ,半径分别半径分别为为 r1 、 r2 , 可视为均质圆盘可视为均质圆盘; 物体

16、物体C 的重的重量为量为P3 ; 轮轮A上作用常力矩上作用常力矩M1 。求求 物体物体C上升的加速度。上升的加速度。取轮B连同物体C为研讨对象(2) )21(232232222rPrTvrgPrgPdtd补充运动学条件112222 ,rarvr化简(1) 得：化简(2) 得：33222PTagPPTrMagP1112gPPPPrMa22/321311(1) 21111211TrMrgP解解: 取轮取轮A为研讨对象为研讨对象iiiiiCCvmrvmML irCivvv0mrmriiC iriiCvmrL iriiCiiCvmrvmrL0)( CiiCiivrmvmr10-3质点系相对于质心的动量

17、矩定理质点系相对于质心的动量矩定理 刚体平面运动微分方程刚体平面运动微分方程iiiCOvmrrL iiiiiCvmrvmrCiiiCiiLvmrvmvm,CCCOLvmrLCCOLvmM eiiCCCOFrLvmrttLdddd eiieiCFrFr0dd,ddCCCCvmtrvtrtLvmtrvmtrCCCCCdddddd eiCCCFrvmtrdd eiCeiCFrFr eiiCFrtLdd得得 )(ddeiCCFMtL或或 质点系相对于质心和固定点的动量矩定理，具有完全类似的数学方式，而对于质心以外的其它动点，普通并不存在这种简单的关系。三刚体平面运动微分方程取质心C为动系原点，那么此平

18、面运动可分解为 随质心C的平动 (xC , yC) 绕质心C的转动 可经过质心运动定理和相对质心的动量矩定理来确定。 CCCCCJJdtdLJL , )( , )()(eCCeCFmJFam )(eCCeyCyexCxFMJFmaFma )(eCCennCettCFMJFmaFmaCFrMmmgFmaFmaCNCyCx2raaaaCCCxCy, 0mgFmaFrrFMrmMraNCCCC,2222NsFfF rrmgfMCs22ratC很很小小sin,21,2mrJSaCtC sinmgFmatCFrJCcos2mgFrRvmNCrRs)sin(00tssrRg3220trRggrRvs32s

19、in230grRvs23,0000dd2322srRgts0t, 00vss一根本概念一根本概念1动量矩：物体某瞬时机械运动强弱的一种度量。动量矩：物体某瞬时机械运动强弱的一种度量。2质点的动量矩：质点的动量矩：3质点系的动量矩：质点系的动量矩：4转动惯量：物体转动时惯性的度量。转动惯量：物体转动时惯性的度量。vmrvmmO)(iiiOvmrL 对于均匀直杆，细圆环，薄圆盘圆柱对过质心垂直于质量对称平面的转轴的转动惯量要熟记。第十章动量矩定理习题课第十章动量矩定理习题课5刚体动量矩计算刚体动量矩计算平动：平动：定轴转动：定轴转动：平面运动：平面运动：)( , CzzCCOvmmLvmrLzzJ

20、LCCzzJvmmL)( 二质点的动量矩定理及守恒二质点的动量矩定理及守恒1质点的动量矩定理质点的动量矩定理)()( )()(FmvmmdtdFmvmmdtdzzOO或2质点的动量矩守恒质点的动量矩守恒 假设，那么 常矢量。 假设，那么 常量。0)(FmO0)(Fmz)( vmmO)( vmmz三质点系的动量矩定理及守恒三质点系的动量矩定理及守恒1质点系的动量矩定理质点系的动量矩定理)()()()()( )(ezezzeOeOOMFmdtdLMFmdtLd或2质点系的动量矩守恒质点系的动量矩守恒 假设，那么常矢量 假设，那么常量0)(eOm0)(ezmOLzL)( )( ezCzCeCCMdt

21、dLMdtLd或四质点系相对质心的动量矩定理四质点系相对质心的动量矩定理)( )(zFmJFmJzzz 或五刚体定轴转动微分方程和刚体平面运动微分方程五刚体定轴转动微分方程和刚体平面运动微分方程1刚体定轴转动微分方程刚体定轴转动微分方程2刚体平面运动微分方程刚体平面运动微分方程或XmaCxYmaCy)(FmJCCXxmC YymC )(FmJCC 六动量矩定理的运用六动量矩定理的运用运用动量矩定理，普通可以处置以下一些问题：对单轴运用动量矩定理，普通可以处置以下一些问题：对单轴传动系统尤为方便传动系统尤为方便1知质点系的转动运动，求系统所受的外力或外力矩。2知质点系所受的外力矩是常力矩或时间的

22、函数，求刚体的角加速度或角速度的改动。3知质点所遭到的外力主矩或外力矩在某轴上的投影代数和等于零，运用动量矩守恒定理求角速度或角位移。七运用举例七运用举例例例1 均质圆柱，半径为均质圆柱，半径为r，分量为，分量为Q，置圆柱于墙角。初始，置圆柱于墙角。初始角速度角速度0，墙面、地面与圆柱接触处的动滑动摩擦系数均为，墙面、地面与圆柱接触处的动滑动摩擦系数均为 f ，滚阻不计，求使圆柱停顿转动所需求的时间。，滚阻不计，求使圆柱停顿转动所需求的时间。解：选取圆柱为研讨对象。解：选取圆柱为研讨对象。(留意只是一个留意只是一个刚体刚体)受力分析如图示。受力分析如图示。运动分析：质心运动分析：质心C不动，刚

23、体绕质心转动。不动，刚体绕质心转动。根据刚体平面运动微分方程)0 , 0(CyCxaaBAFN 0QNFBA0rFrFdtdrgQBA 212补充方程：BBAANfFNfF , 将式代入、两式，有0) 1(2QNfB1 , 1 , 1 , 1 22222fQfFfQfNfQfFfQNAABB将上述结果代入式，有dtffrgfdrgfffdtdt0202112 , 2110解得：) 1 ( 2)1 (02fgfrftBAFN 0QNFBA0rFrFdtdrgQBA 212补充方程：BBAANfFNfF , 例例2 两根质量各为两根质量各为8 kg的均质细杆固连成的均质细杆固连成T 字型，可绕经过字型，可绕经过O点的程度轴转动，当点的程度轴转动，当OA处于程度位置时处于程度位置时, T 形杆具有角速度形杆具有角速度 =4rad/s 。求该瞬时轴承。求该瞬时轴承O的反力。的反力。解：选解：选T 字型杆为研讨对象。字型杆为研讨对象。受力分析如图示。受力分析如图示。 rad