变形单摆种类繁多,但由单摆周期公式T=2π知,一般的变形单摆实质

1、变形单摆种类繁多，但由单摆周期公式2知，一般的变形单摆实质上是改变摆长（包括隐形摆长），或者改变重力加速度，当然也可以是同时改变摆长和重力加速度的情形.抓住了这一点，就能解决复杂的变形单摆问题.一、改变摆长的变形单摆 1.单线摆摆长的改变 例1如图1所示，长为L的单摆，周期为.如果在悬点O正下方的B点固定一个光滑的钉子（悬点O到B点的距离为4），使摆球A通过最低点向左摆动，悬线被钉子挡住成为一个新的单摆.则这个单摆的振动周期是多大?（已知摆角5） 图1解其周期应是摆长为L的单摆的周期的一半与摆长为34的单摆的周期1的一半之和.即2，12，（12）（2）4） 例2如图2所示，摆线连接着一个体积较

2、小的漏斗（内装满细沙），漏斗在摆动过程中有细沙缓缓地流出，试讨论单摆在摆动过程中周期的变化.图2解（1）若不考虑漏斗的质量，摆动过程中随细沙的缓缓流出，导致摆的摆长不断增大，因而单摆的周期不断增大；（2）若考虑漏斗的质量，单摆在摆动过程中随细沙的缓缓流出，导致单摆的摆长先增大后减小，故单摆的周期先增大后减小. 2.单线连接的两球摆 例3如图3所示，A、B两球用长为L的细线相连，A球穿在光滑的水平横杆上且可以自由滑动，33，求此摆的周期?（摆幅很小）图3解由于两球在摆动过程中沿水平方向所受的外力之合为零，故该系统中有一定点O（质心）是不变的（O点相当于摆的悬点），故推知该系统是变形单摆，关键是求

3、摆长.由水平方向的动量守恒，有 3， 、分别是两球回到平衡位置时的速率，周期，即2，（12）2（12）2，又（12）2（12）2，解以上各式，得13或为振幅，由三角形相似有 （）（），得（34）所以，该摆的周期为23双线摆 例4如图4所示，两线长均为L，一端均拴在小球上，另一端分别拴在天花板上，两线与天花板的夹角均为，求此摆的周期.图4解此摆达到稳定摆动时，其摆动方向在前后的竖直平面内，故该摆的等效摆长为，周期为24.隐形单摆 例5如图5所示，光滑圆弧形槽是半径为1的圆弧的一部分，圆弧部分长为5cm，让小球分别从圆弧形槽的顶端A和从圆弧形槽的中点B由静止下滑到水平轨道上，问小球两次恰好滑到水平

4、轨道上时所用的时间各为多长?图5解本题似乎与单摆无关，但只要对小球在圆弧上的运动进行受力分析可知，小球只受到重力和轨道支持力的作用，又因为圆的半径远大于圆弧部分长，支持力可等效为绳子的拉力，故两种情况都相当于一个单摆模型，隐形摆长都为R，所以周期相等.则22故小球分别从A点和B点恰好运动到水平轨道上所用的时间均为405 例6如图6所示，光滑的弧形槽半径为R（），A为弧形槽的最低点，小球B放在A点正上方离A点的高度为h处，小球C放在M点，同时释放两球，使两球正好在A点相碰，则h应为多大?图6解求小球B的高度h似乎与单摆无关，但仔细分析可知，要使小球B的运动时间与小球C的运动时间相等，必须求出小球

5、C的运动时间，而小球C的运动时间是由隐形单摆（分析同例5）的周期求出.小球C从M点到A点的运动时间可能为（21）4），2，小球B自由下落，则（12）2（12）2，联立解得 （21）228）（0，1，2，3，4） 从以上变形摆的种种摆长变化来看，归一理解为：把变形摆等效成一单线摆（含隐形摆），确定摆动过程中系统中哪一点是固定的，这点就相当于悬点，再确定摆球质心到悬点的距离，便可确定此变形摆的摆长，从而确定该摆运动的周期. 二、改变重力加速度的变形单摆 单摆周期公式2中的重力加速度应理解为摆球处在摆动平面上平衡位置的视重加速度. 1.单摆仅在引力场中，随位置的变化而变化（忽略星球自转的影响） （1

6、）单摆在地球表面处：设重力加速度为，由万有引力定律，有 （2），得（2） G为引力常量，M为地球质量，R为地球半径. （2）单摆在其它星球表面处.设加速度为，同理有 （2），得（2） G为引力常量，为该星球质量，R为该星球半径. （3）单摆在距地球表面某高度处.设加速度为，同理有 （）2）， （）2）（2（）2） （4）单摆在距其它星球表面某高度处.设加速度为，同理有 （）2）， （）2）（2（）2） 2.单摆在光滑斜面上摆动，随斜面倾角的变化而变化 例7一摆长为L的单摆，在倾角为的光滑斜面上摆动，如图7所示，求此单摆振动周期.图7解单摆的摆动平面在斜面上，在摆动平面上重力加速度的分量为，故周

7、期为2（用回复力的方法同样可求得相同的结果） 3.单摆处在匀加速系统中，随系统加速度的变化而变化 （1）单摆处在竖直向上的匀加速系统中（如图8所示），小球的视重大小等于，故得视重加速度为 （）图8图9图10图11（2）单摆处在向下的匀加速系统中（如图9所示），小球的视重大小=F，故其视重加速度为 （条件是） （3）单摆处在水平向右的匀加速系统中（如图10所示），小球的视重大小为，故其视重加速度为（4）单摆处在水平向左的匀加速系统中（如图11所示），得 （5）单摆处在倾角为的斜面上且沿斜面向上的匀加速系统中（图12），小球的视重为图12，故其视重加速度为 4.单摆（小球带电）在匀强电场或匀强磁场

8、中，受电场和磁场力的影响而变化 （1）单摆处在竖直向下的匀强电场中（图13），小球的视重大小，故视重加速度大小为 .图13图14图15图16（2）单摆处在竖直向上的电场中（图14），同理得 （） （3）单摆处在水平向左的电场中（图15），小球的视重大小为 或，故视重加速度为 . （电场向右情况类似求解） （4）在如图16所示的匀强磁场中，小球的视重大小也等于，故视重加速度大小为 . （磁场方向垂直摆动面由纸面内指向纸面外的情况类似求解） （5）在如图17所示的匀强磁场中（或磁感线水平向左的情形），此摆是一个不能稳定在一平面上的摆，因为在摆动过程中，小球因切割磁感线而受到洛伦兹力的作用，此洛伦兹力使摆不能稳定在一个平面上摆