2019-2020学年数学人教A版选修2-2检测：第一章导数及其应用测试卷Word版含解析

1、第一章导数及其应用测试卷本试卷分第I卷（选择题）和第II卷（非选择题）两部分，满分150分，考试时间120分钟.第I卷（选择题，共60分）、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只xln 10 . A、B、C 选有一项是符合题目要求的）1 .下列求导运算正确的是（A . （cos x） = sin xC. （ex） =xex 1 D. （lgx）解析：.1 （cos x） = sin x,)B. (2*) = 4Ti2x_1一xln 10(2欣2) =4% (ex) =ex, (lgx)项均不正确，D选项正确，故选 D.答案：D 1,2 .已知物体的运动方程

2、是 s=t4 4t3+16t2（t表示时间，s表示位移），则瞬时速度为0的 时刻是（）A, 0秒、2秒或4秒 B, 0秒、2秒或16秒C. 2秒、8秒或16秒 D. 0秒、4秒或8秒解析：s =t312t2+32t=t(t212t+32)=t(t4)(t8),可得 t=0,或 t = 4,或 t=8,故 选D.答案：D3 .曲线y=(x1)ex(e为自然对数的底数)在点(1,0)处的切线方程为()A . y= x+ 1 B . y= x 1C. y=ex + e D . y=ex e解析：由y=(x 1)ex,得y，=xex, 曲线在点(1,0)处切线的斜率k=y |x= 1 = e, .切线

3、 方程为y=e(x 1),即y=ex-e,故选D.答案：D C-c 24.若两曲线y=x2与y= cx3(c0)围成的图形面积是,则c=()1A. 1 B.23C.2 D. 2解析：由y得两曲线交于点 O(0,0)和点A / 5，两曲线y=x3 y=cx3(c0)y=cx3,c c广 r围成的图形面积S=Ju(x2-cx3)dx=%3 ：cx4=11 c4=+ = 2,解得 c= 1,故343c 4 c 12c32选B.答案：B35 .函数f(x)=x + + 2ln x的单倜递减区间是()xA. (3,1) B. (0,1)C. (-1,3) D. (0,3)解析：函数f(x)的定义域为(0

4、, +川 fz (x) = 1 - -32+ 2 = x xx2+2x3x+3 x- 1x2x2由f (x)0,得0x0)的极大值点和极小值点都在区间(一1,1)内，则实数a的取值范围是()A. (0,2 B. (0,2)C. 0T蓑0,解得V3a0f 1=3+2a+10,答案：D9 .设 f(x), g(x)在a, b上可导，且 f (x)g (x),则当 axg(x)B. f(x)g(x)+f(a)D. f(x) + g(b)g(x)+f(b)解析：令 h(x)=f(x)g(x), xC a, b, . f (x)g (x), . h (x)=f (x)g (x)0, . h(x) 在区间

5、a, b上单调递增，当 ax 时，h(a)h(x),即 f(a)- g(a)g(x) + f(a),故选 C.答案：C10 .已知函数f(x)满足f(0) = 0,导函数f (x)的图象如图所示，则f(x)的图象与x轴围成的封闭图形的面积为()14A.o B.338C. 2 D-3解析：由f (x)的图象知，f (x) = 2x+ 2,设 f(x)=x2+2x+ c,由 f(0)=0 知，c= 0,所以 f(x)= x2+ 2x,由 x2+ 2x= 0 得 x= 0 或 x= 2.故所求面积一 :一/ 1 , (04S= (一/+2-d.r = (于+1-)=:-V Jf -23 .答案：B1

6、1.若函数f(x) = ex(sin x+a渔区间一j 2上单调递增，则实数a的取值范围是()A. V2, + ) B. (1 , +0 )C. 1, + ) D. (-V2, +8)解析：f (x) = ex(sin x+a)+excosx= ex(sin x+cosx+a),一“一、.兀 兀、，函数f(x) =ex(sin x+a)在区间 一2, 2上单调递增，且 ex0 , sin x+cos x+ a0, 即 a (sin x+cos x)=V2sinx+4在2上恒成立.当-2x2 sin x+, 4C4，1).兀，兀3兀，4x+41,即实数a的取值范围是1, +8),故选c.答案：C

7、12.已知定义在 R上的奇函数f(x),设其导数为f (x),当xC (8, 0时，恒有xf (x)F(2x 1)的实数x的取值范围为()A. (- 1,2) B. -1, 2 1C. 2, 2 D. (-2,1)解析：因为f(x)是奇函数，所以不等式xf (x)f( x)等价于xf (x) f(x),即xf (x) + f(x)0,即 F (x)F(2x1)等价于 F(3)F(|2x1|), 即 3|2x 1|,解得1x0),所以y xx=240 0001=0,解得 x= 200(x= 200 舍去)，这时 y=800.当 0x200 时，y 200时，v 0,所以当x=200时，y取得最小

8、值，故其周长至少为800 m.答案：80015 .由曲线y2=x,直线y = x2所围成的封闭图形的面积为 .y2=x解析：由y=x-2,根据定积分的几何定义可知所求封闭图形的面积9答案：2m的取值范围是16 .若关于x的方程x3-3x+m=0在0,2上有根，则实数解析：令 f(x) =x3-3x+m,则 f (x) = 3x2-3=3(x+1)(x-1),显然，当 x1 时，f (x)0, f(x)单调递增；当一1x1时，f (x)0, f(x)单调递减.所以当 x=1时，f(x) 取极大值f(-1) = m + 2;当x=1时，f(x)取极小值f(1)=m 2.而 f(0) = m, f(

9、2) = m+2, f(0)f(2) 因为f(x) = 0在0,2上有解，f 1 0m- 20，2+m0,所以一2WmW2.答案： 2,2三、解答题(本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明或演算步骤)17. (10 分)已知函数 f(x) =x34x2+5x4.(1)求曲线f(x)在点(2, f(2)处的切线方程；(2)求经过点A(2, 2)的曲线f(x)的切线方程.解析：(1)f (x) = 3x28x+5, f (2)=3X228X2+5= 1,又 f(2)= 2, 曲线在点(2, f(2)处的切线方程为 y-(-2)=x-2, 即 x y 4 = 0.(2)设曲线与经过点 A

10、(2 , 2)的切线相切于点 P(x。，x3-4x0+5xo-4) f (xo)= 3x2 8xo + 5.切线方程为 y (x0 4x0+ 5xo 4)= (3x0 8xo+ 5)(x xo)又切线过点 A(2 , -2), 2 (x3 4x0+ 5x0 4) = (3x0 8x0 + 5)(2 x。)，整理，得(x02)2(x0 1) = 0,解得x0= 2或1.，经过点A(2, 2)的曲线f(x)的切线方程为 x y4=0 或 y+2 = 0.1 x18. (12 分)已知函数 f(x) =ln(ax+ 1) + -, x0,其中 a0.1 + x若f(x)在x=1处取得极值，求a的值；

11、(2)求f(x)的单调区间；ax2+ a291ax+ 1 1 + x 2若f(x)的最小值为1,求a的取值范围.解析：(1)f (x)= a2ax+ 11+x 2因为f(x)在x= 1处取得极值，所以f(1) = 0,a + a 2即 =0,解得a= 1.4 a+ 1ax2+ a 2由知f (一+1 1 + x2因为当x0, a0,所以 ax+ 10.a2时，在区间0, +00)上,(x)0,所以f(x)的单调增区间为0, +8).当0a0解得x2-a由f (x)0解得x2时,f(x)的单调增区间为0, +8)；当0a2时，由（2）知，f（x）的最小值为f（0） = 1,2 a邢)=1，当0a

12、4 x + 1 2 + 4 x+ 3 x- 12 (0WxWa, a为正常数). x+1 * 2当a1时，在区间（0,1）上，V, 。，函数在（0,1）上单调递增;在区间（1, a）上，V, 。，函数在（1, a）上单调递减.则广告费用投入1万元时，厂商的利润最大.当a1时，广告费用投入1万元，厂商的利润最大；当aw 1时，广告费用投入a万元，厂商的利润最大.20. （12 分）已知 F（x）= x-1t（t-4）dt, xC（1, +8）.求F(x)的单调区间；x32 72x2 +3(1,0)和(4, +8),(2)求函数F(x)在1,5上的最值. 一2 一 一 25所以F(x)在1,5上的

13、最大值为最小值为.3321. (12 分)已知函数 f(x) =x3+ax2+bx+a2(a, b e R)若函数f(x)在x= 1处有极值为10,求b的值；(2)对任意aC1, +8), f(x)在区间(0,2)单调递增，求b的最小值;若a=1,且过点(一2,0)能作f(x)的三条切线，求b的取值范围.解析：(1)f (x)=3x2+2ax+ b,依题意：f (1)=3+2a+b=0，f(1)=1+a+b+a2 = 10a= 4a= 3由解得：或；b=- 11b=3a = - 3经检验当时无极值点，b=3a= 4当时函数f(x)在x= 1处有极小值，b=- 11故 b= 11.(2)f (x

14、) = 3x2 + 2ax+b0 X? a-1, + oo)当xC (0,2)恒成立记 h(a)= 3x2 + 2ax+ b= (2x)a+3x2 + b,h(a)min = h(- 1) = 3x2 2x+ b n 0又设 H(x)=3x2-2x+b,11当 xC (0,2)时 H(x)min=H 三=- + b0,33b1,b的最小值为1.33(3)当 a=1 时,f(x) = x3+x2+bx+1,f x0设切点为P(x0, y0),则切线斜率为f (x0)= 3x2+ 2x0+b=,x0 + 2, - 2x0 + 7x0+ 4x0+ 2 b 1 = 0,设 F(x0) = 2x3+ 7

15、x0+ 4x0 + 2b 1 ,过点( 2,0)能作f(x)三条切线等价于F(x。)有三个零点F (x0) = 6x2+14x0+4 =2(3x0+1)(x0+2)xo(OO , 2)1-2 - -2,31一二 + OO 3F (xo)正负正F(xo)增减增F -2 02b+30令 1 ，即 44F -3 02b-270,证明：当 0xa 时,f(a+x)0.解析：(1)f(x)的定义域为(0, +8),a x + 1 a x a x+ 1 x a由已知)得 f (x) = x+ 1 a =xxx若aw。，则f (x)0,此时f(x)在(0, +8)上单调递增.若 a0,则令 f (x)=0,

16、彳导 x= a.当 0xa 时，f (x)a 时，f (x)0.此时f(x)在(0, a)上单调递减，在(a, + 00)上单调递增.综上，当aW0时，f(x)在(0, + )上单调递增；当 a0时，f(x)在(0, a)上单调递减，在 (a, +8)上单调递增.10(2)令 g(x) = f(a + x) f(a - x),则 g(x) = - (a + x)2 + (1 a)(a + x) aln(a + x)一2a x2+ 1 a a x aln a x = 2xaln(a+x)+aln(a x).所以 g (x) = 2-a-3=x7 a+ x a x x a当0xa时，g (x)0,所以g(x)在(0, a)上是减函数.而 g(0) = 0,所以 g(x)g(0) = 0.故当 0xa 时，f(a+x)0,从而f(x)的最小值为f(a),且f(a)0.不妨设 0x1x2,贝U 0x1ax2,所以 0ax1a.由(2)得 f(2a-x1)2a-x1,于是 -