江苏省南京师大附中2019_2020学年高一数学下学期期中试题含解析

1、精品文档欢迎下载江苏省南京师大附中2019-2020学年高一数学下学期期中试题（含解析）一.单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只 有一项是符合题目要求的.1 ,直线- y-1 = 0的倾斜角大小（）兀、乃八 2）A. B. C.一633【答案】B【解析】【分析】化简得到y = 底 一 1 ,根据k = tan 6 =6计算得到答案.【详解】直线JJx-y-1 = 0 ,即卜=>/5工一1, k = tan 8 =6,0 e O,故6 =工.故选：B.【点睛】本题考查了直线的倾斜角，意在考查学生的计算能力.2 .若 cos(- a)=，贝ij si

2、n 2a =()45A. 125【答案】D1 B.-c- 47D.253【解析】试题分析：cos 2 -a14=2 cos2/- au-1 = 2x= cos -2a = sin2a ,故选 D.2【考点】三角恒等变换【名师点睛】对于三角函数的给值求值问题，关键是把待求角用已知角表示:（1）已知角为两个时，待求角一般表示为已知角的和或差.（2）已知角为一个时，待求角一般与已知角成“倍的关系”或“互余、互补”关系.23 .AABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c.已知。=正，c = 2, cosA =三，则b=A. y/2B. #C. 2D. 3【答案】D【解析】【详解】由余弦定理得5 =

3、从-42乂/）兄2X§,解得b=3 （力=一;舍去），故选D.【考点】余弦定理【名师点睛】本题属于基础题,考查内容单一,根据余弦定理整理出关于b的一元二次方程,再通过解方程求b.运算失误是基础题失分的主要原因.请考生切记！4 .已知cosc = 2,tan（a 夕）=一：，/月均为锐角，则/=（）JJ5乃乃KA. B. -C.一1234【答案】C【解析】【分析】利用同角三角函数关系，两角和与差的三角函数，即可得到结论.【详解】因为。为锐角，且cosa = 2, 5“、，/;一 /5sina1所以sina =，l-cos-a =,tan2 =-,5cos a2于是 tan p = ta

4、na-(a-/?) =tanar-tan(a-/?) _ 23l + tanatan(a-/7)=1,又夕为锐角，所以夕=二.4 故选：C.【点睛】本题考查同角三角函数关系，两角和与差的三角函数，属于基础题.5 .在 aA8c 中，若2cosBsinC = sinA,则6c的形状是（）A.等腰三角形B.直角三角形C.等腰直角三角形D.等腰或直角三角形【答案】A【解析】【分析】由题意.可知sinA = sin（3 + C）,展开并带入原式,可得到sin（8-c） = o,进而可判断出 A3c的形状.【详 解】 由 题意，sin A = sin（兀- A）= sin（8 + C）= sin8cos

5、c+ sinCcos8 , 则2 cos Bsin C = sin Bcos C+sin Ceos B <=> sinBcosC-cosBsinC = sin(B-C)= O ,贝 Ij B = C ,即ABC的形状是等腰三角形.故选:A.【点睛】本题考查了三角函数的恒等变换知识,考查了三角形的形状的判断,属于基础题.6 .过点P（-3,4）向圆/ +）,2=1引圆的两条切线叫PB,则弦48的长为（）A 2#4 而2/4 行n. D. v. U. 5555【答案】B【解析】【分析】根据题意，利用等面积法即可得到弦AB的长.【详解】因为=J（3）2+4? =5,半径r= |04| =

6、 1,所以 |H| = |P8| = "二产=2 瓜由等面积法，即自48卜|0尸| = |04卜|4尸|,即群4 =故选：B.【点睛】本题考查圆的切线问题，与圆有关的几何问题，属于基础题.精品文档欢迎下载7 . 8c的内角人B, C的对边分别为a, b, c,若满足，? = 2,A = 30。的三角形有两个，则边长a的取值范围是()A. 0 < 67 < 1B. a = C 1<<2D, 4 2 2【答案】C【解析】【分析】根据正弦定理，三角形有两个解，则满足Z7sinAv4<b,代入即可求得边长。的取值范围.【详解】如图， = 2.4 = 30。，垂线

7、段C&=1,由正弦定理知，三角形有两个解，则满足即故选：C.【点睛】本题考查正弦定理的应用，考查三角形解的个数，考查计算能力，属于基础题.8 .直线y = %(x - 2) + 4与曲线人+在+加了二。有两个不同的交点，则实数的取值范围是D.不+qo)2【答案】B【解析】【分析】 利用数形结合，作出图象，计算得直线4与直线力的斜率，即可得到结论.【详解】曲线可化简为x2+(yT)2=4(xS0),如图所示:/、|3-24|5直线/1：），=攵（X-2）+4,此直线与曲线相切，此时有%=1 = 2,解得 =一,yjk- + 112直线/2：）' = k（x2）+4,此直线与曲线有

8、两个交点，此时有攵=；.所以，过点（2,4）的直线与该半圆有两个交点，数形结合，解得卷 故选：B.【点睛】本题考查了直线与圆相交的性质，涉及的知识有：恒过定点的直线方程，点到直线 的距离公式，以及直线斜率的求法，利用了数形结合的思想，其中抓住两个关键点是解本题 的关键.二、多项选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有 不止一项是符合题目要求的.全部选对的得5分，选对但不全的得3分，错选或不答的得0 分.9 .若圆G：（xT）2 + V=l与圆G：J+y28x + 8y + m = O相切，则m的值可以是（）A. 16B. 7C TD. 一 7【答案】AC【解析

9、】【分析】根据题意，求出圆a的圆心与半径，分两圆内切和外切两种情况，求出机的值即可.【详解】由题意，圆G可化简为。-4尸+（），+ 4）2 =32-机（小32）,-#精品文档欢迎下载所以，圆G的圆心坐标G（4，T）,半径马=32?（?v32）,圆G的圆心坐标£。,0）,半径4=1,所以，qc2 = （1-4）2+（0 + 4）2 = 5 ,所以，5 =卜 + 532_，"或5 =1_532_/“,解得? = 16或Y.故选：AC.【点睛】本题考查两圆的位置关系的判定，考查分类讨论的数学思想方法，属于基础题.10 .下列命题中正确的有（）A,空间内三点确定一个平面B.棱柱的侧

10、面一定是平行四边形C.分别在两个相交平面内的两条直线如果相交，则交点只可能在两个平面的交线上D. 一条直线与三角形的两边都相交，则这条直线必在三角形所在的平面内【答案】BC【解析】【分析】利用平面的定义，棱柱的定义，对选项逐一判断即可.【详解】对于A选项，要强调该三点不在同一直线上，故A错误；对于B选项，由棱柱的定义可知，其侧面一定是平行四边形，故B正确；对于C选项，可用反证法证明，故C正确；对于D选项，要强调该直线不经过给定两边 交点，故D错误.故选：BC.【点睛】本题考查平面的基本性质及其推论的应用，考查棱柱的定义，属于基础题.11.两直线（? + 2»-），+ / = 0,工+

11、），=。与*轴相交且能构成三角形，则勿不能取到 值有（ ）A. -3B. -2C. -1D. 0【答案】ABD【解析】【分析】求出直线（加+ 2）X > +加=。经过的定点，利用三条直线不能构成三角形求得？的值，即可得到结论.【详解】由题知，三条直线相交于同一个点时，此时? = 0,此时不能构成三角形；/C/、/、 fx+1 =0 fx = -l直线(7 + 2卜一)，+ ? = 0整理得："i(x + l) + (2x_y) = 0,由解得十2a->' = 0 y = -2即直线(团+ 2)x-y+m = 0经过定点(-1,-2),当直线("? + 2

12、)x-y=0的斜率 = ,+2=0,即m = 一2时，此时直线_y = -2, x+y = 0 与X轴不能构成三角形；当直线(m+ 2)1一)，+加=0与直线工+,，= 0平行时，即? 二 一3时，三条直线不能构成三角 形；综上：两直线(? + 2)x)，+ ? = 0, x + y = 0与x轴相交不能构成三角形的？的取值为： m = 0 或 m = 2 或 m = 3.故选：ABD【点睛】本题考查了三点共线，两条直线平行与倾斜角、斜率的关系，训练了线系方程过定 点的求法.12.已知圆 C：x2 + y2+ 2* 2("? + l)y + 2m2 + 2m-3 = 0(m e R)

13、上存在两个点到点 A(0,-l)的距离为4,则m的可能的值为()A. 1B. -1C. -3D. -5【答案】ACD【解析】【分析】根据题意，圆C:(x + ?)2 +y-(? + )' =2,与圆A：./ + (y +1)- =4?相交，再由两圆圆心距大 于两圆半径之差，小于两圆半径之和，列出不等式，解得即可.【详解】由题知，圆。:(%+好+|>-(+ 1) 了2?与圆A：f+(y + l)2=42相交,所以，|4-2|<|CA|<4 + 2,即+ - (-1) 丁 <6,解得?e(-g l,-2)U(0，g-1),即?的值可以为：1或一3或-5.故选：ACD

14、.【点睛】本题体现了转化的数学思想，解题的关键在于将问题转化为两圆相交，属于基础题. 三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13.已知直线4：4x + 2y 7 =。和/2：2x + y l = O,直线)分别与/交于彳，8两点，则线段48长度的最小值为.【答案】西 2【解析】【分析】根据题意知，直线64为平行直线，则线段A3的最小值为两平行直线间的距离.【详解】由题知，2：2x+y - l = O,即4：4x + 2)，- 2 = O,故直线/"为平行直线，则线段AB的最小值为两平行直线间的距离d = -j=咚.J4- + 2-2故答案为：正.2【点睛】本题考查平行线之

15、间的距离公式，属于基础题.14,函数/") = 2cosx sin(x + q)的最大值为【答案】1 +五 2【解析】【分析】根据题意,将函数化简为/(x) = W 2+ sin 2x+-,即可得到最大值.-9-f(x) = 2 cos a | ；sinx + gcosx = sin 2x + -(1 + cos2x) =+ sin 2x + y |,所以，最大值为：1+正 2故答案为：1+正 2【点睛】本题考查三角恒等变换，辅助角公式，三角函数的图像和性质，属于基础题.15.已知四C, AB=AC=4, BC=2. 点。为彳8延长线上一点，BC2,连结四则48%的面 积是9 cos

16、 N BDC.【答案】（1）.匹 （2）.虫124【解析】取8c中点£由题意：AE1BC,彳8£中，cosZABC =cosZ.DBC = -,sin ZDBC = . /1- =,AB 44V 164 abcd = ； x BD x BC x sin Z.DBC =/ ZABC = 2ZBDC, cos ZABC = cos 2 2 BDC = 2 cos2 4 BDC-l = i,4解得 cosN8DC = 或 cosNBOC = -（舍去）.44综上可得，83面积为正，cos/BDC =曲. 24【名师点睛】利用正、余弦定理解决实际问题的一般思路：G）实际问题经抽象概

17、括后，已 知量与未知量全部集中在一个三角形中，可以利用正弦定理或余弦定理求解；（2）实际问题 经抽象概括后，已知量与未知量涉及两个或两个以上三角形，这时需作出这些三角形，先解 够条件的三角形，再逐步解其他三角形，有时需要设出未知量，从几个三角形中列出方程（组）, 解方程（组）得出所要的解.16 .在平面直角坐标系x勿中，过点M（。,-3）的直线/与圆/ +产=3交于儿8两点，且MB = 2MA,则直线/的方程为.【答案】丁 = ±向-3【解析】【分析】根据题意知，点人为血的中点，设A（x，x）, B（x2,y2）,再由M月=2加得玉=2天，利 用韦达定理建立方程，解得即可.精品文档欢

18、迎下载6k + k2【详解】由题知，点A为M3的中点，设直线/：' =履-3,设义与片)，3(4,乃), 将直线带入圆的方程得(1 +公卜2 - 6履+ 6 = 0,则为 +=2k4k由M8=2A以，得为=2，即9=三/，= r1 r K1 + K所以,2k 4k 67X7 = 7 1 + k2 1 + k2 i + k2解得k = ±5/3 ,故直线方程为：y = ±y/3x - 3.故答案为：y = ± 3.【点睛】本题考查直线和圆的位置关系，属于基础题.四、解答题：本大题共6小题，共70分.17 .在48C中，角4, B, C所对的边分别为 a, b

19、、c,且(cos3+cosC = 3</cos8, (1)求COSB的值;(2)若c = 2, 48C的面积为2式，求边长。的值.【答案】(1)(2) 3.3【解析】【分析】(1)根据题意，利用正弦定理化简等式即可得到结论；(2)根据(1)得sinB = 3/2,利用三角形面积公式得。=3,再利用余弦定理即可. 3【详解】(1)在48C中，由正弦定理，_ = _= =，sin A sin B sin C设一-=女，贝iJa = ksinA, = ksin氏c = sinC, sin A带入 ccos 5+cos C = 3cos B,化简得 sin A = 3 sin 4cos B,因为

20、 A.Be(0,),sin A >O.sinB >0 ,所以cosB =-；3(2)由(1)可知，sinB>0, sinB = Vl-cos2B= ,3又 Saw acsin B ,所以 S =LI.2 = = 2。,解得 a = 3.223在48。中，由余弦定理2accos3 = a2+/，即 2x3x2x： = 32+22-，解得。=3【点睛】本题考查利用正余弦定理解三角形，考查计算能力，属于基础题.18. (1)用符号表示下来语句，并画出同时满足这四个语句的一个几何图形：直线/在平面夕内；直线？不在平面夕内；直线？与平面夕交于点A ;直线/不经过点4.(2)如图，在长方

21、体A8CO-4居GA中，石为棱8区的中点，/为棱CG的三等分点，画出由R, E尸三点所确定的平面P与平面ABCD的交线.(保留作图痕迹)【答案】(1)/U。；?Da = A； Aelt示意图答案见解析(2)答案见解析【解析】【分析】(1)根据题意，作出示意图即可；(2)根据题意，作出示意图即可.【详解】(1) /ua；?ria = A； Ael ;示意图如下：（2）如图，直线即为所求【点睛】本题考查了空间点、线、面之间的位置关系，属于基础题.19 .在平面直角坐标系X加中，已知两直线4"一3），-3 = 0和4：x+y + l=。，定点4L2）.（1）若与，2相交于点只求直线彳户的方

22、程;（2）若6恰好是48C的角平分线劭所在的直线，I?是中线曲所在的直线，求48C的边 8c所在直线的方程.【答案】（1） AP：y = 3x-l ； （2） x+7y+17 = 0.【解析】 【分析】（1）根据题意，联立两直线得其交点坐标，进而写出直线AP的方程；（2）根据题意，设8（3r + 3j）,则M二！；，利用点M在直线上，得g-2,8（3,2）,再利用到角公式得攵即可得到8c的直线方程.x = 0/、,即两直线的交点p(o,i), )'=-1x 3 y - 3 = 0【详解】（1）由题意，联立: ,c，解得x + y + 1 = 0所以，直线A尸的斜率%=* = 3,故直线

23、4P的方程为：J = 3x-1.1-0（2）设点8的坐标为+ 3"）,则点M'二i ,二又点M在直线4上,餐 +=+ 1 = 0,解得仁一2,故3(3,2),-2-2所以鲍=1,直线4的斜率K =；,由到角公式得, 0-13 -精品文档欢迎下载1 f,1一 _ % 1 -I即=T，解得怎.=一三，i+近 1+)所以8c所在直线方程为y + 2 = -，x + 3),化简得x + 7y +17 = 0 .【点睛】本题考查直线方程，两直线的位置关系，到角公式，属于基础题.20. (1)已知$也8 + <：056 = !,求 sin 26 的值；(2) iBe§/(

24、x) = sin2x+sinx+cosx ,求f(力的值域.【答案】(1) - ; (2) -,1 + V2. 254【解析】【分析】(1)根据题意，直接平方即可得到结论；(2)根据题意，记sin6+cose = /,则sin2x = f2l,将函数转化为g(f) = f2+ -1, 再利用二次函数即可得到结论.【详解】(1)因为sine + cos<9 = L ,所以sin2e + cos2<9 + 2sin8cose = -!- 525即 l + sin26 = -!-,所以sin26 =-2 2525(2)记sin£+cos<9 = z,显然/ =7),故飞一

25、&,&,将sin6+cos£ = I两边平方,得sin28 =/一1,故f(x) = g(f)=产+ 孑一沁S伪所以/(幻加=g(-Ju-1, /*)nux =g(五)=1+ 五所以"X)的值域为-=+ & 4【点睛】本题考查同角三角函数关系式，三角函数的图像和性质，二次函数求值域，属于基 础题.21.为了美化环境，某公园欲将一块空地规划建成休闲草坪，休闲草坪的形状为如图所示的四 边形ABCD.其中AB = 3百米，AD=小百米，且ABCD是以D为直角顶点的等腰直角三角形.拟修建两条小路AC, BD (路的宽度忽略不计)，设NBAD=6,乃).(1)

26、当cos6 = 立时，求小路AC的长度;5(2)当草坪ABCD的面积最大时，求此时小路BD的长度.【答案】(1) AC = >/37 ； (2) BD = y/26【解析】【分析】(1)在48。中，由余弦定理可求助的值，利用同角三角函数基本关系式可求sin 8,根据3正弦定理可求sinN力的=进而可求cosN47c的值，在彳中，利用余弦定理可求彳C的值.(2)由(1)得:加=14 - 66cos 0 ,根据三角形面积公式,三角函数恒等变换的应用可求.Sg= 7 + ?sin (0 -结合题意当8 - 时，四边形力成力的面积最大，即8 =。十:, 22221此时cosQ= -sin。=7亍，从而可求8。的值.【详解】(1)在 中，由 8O2=A82+AO22A8ADcos。，得 8。2=14-6瓜056,又cos6 = g, /. BD = 2y/5.-15-BD AB由=得sinZBAD sinZADB2 小32 sinZADB » 解得：sinzL4O8 =,