线代第五章(1)

1、1第五章第五章 矩阵的对角化问题矩阵的对角化问题一一. 方阵的特征值与特征向量方阵的特征值与特征向量二二. 相似矩阵及其性质相似矩阵及其性质三三. 矩阵可对角化的条件矩阵可对角化的条件四四. 实对称矩阵的对角化实对称矩阵的对角化2一一. 方阵的特征值与特征向量方阵的特征值与特征向量1. 特征值与特征向量的定义特征值与特征向量的定义定义定义1:注：注：设设 是是 阶方阵，阶方阵，An若数若数 和和 维非零列向量维非零列向量 ，使得，使得 nx Axx 成立，则称成立，则称 是方阵是方阵 的一个的一个特征值，特征值， A为方阵为方阵 的对应于特征值的对应于特征值 的一个的一个特征向量。特征向量。x

2、A (1) A是方阵是方阵1.定义定义2.求法求法3.性质性质（2）特征向量）特征向量 是非零列向量是非零列向量x（4）一个特征向量只能属于一个特征值）一个特征向量只能属于一个特征值（3）方阵）方阵 的与特征值的与特征值 对应的特征向量不唯一对应的特征向量不唯一A 32. 特征值与特征向量的求法特征值与特征向量的求法Axx 0AE x 或或 0EA x 已知已知0,x 所以齐次线性方程组有非零解所以齐次线性方程组有非零解0AE 或或0EA 111212122212nnnnnnaaaaaaAEaaa 定义定义2： ,n nijn nAa 数数 是关于是关于 的一个多项式，称为矩阵的一个多项式，称

3、为矩阵 的的特征多项式。特征多项式。 A4 1112121222120nnnnnnaaaaaafAEaaa 称为矩阵称为矩阵 的的特征方程。特征方程。A求特征值、特征向量：求特征值、特征向量：(1) 0AE 求出求出 即为特征值即为特征值; (2) Axx 0AE x 把得到的特征值把得到的特征值 代入上代入上 式，式， 求齐次线性方程组求齐次线性方程组的非零解的非零解 0AE x x即为所求特征向量。即为所求特征向量。5解：解：第一步：写出矩阵第一步：写出矩阵A的特征方程，求出特征值的特征方程，求出特征值.例例1： 求矩阵求矩阵的特征值和全部特征向量的特征值和全部特征向量.110430102

4、A AE 1104300102 2210特征值为特征值为1232,1第二步：对每个特征值第二步：对每个特征值代入齐次线性方程组代入齐次线性方程组 0,AE x 求非零解。求非零解。6齐次线性方程组为齐次线性方程组为当当 时，时，12 20AE x系数矩阵系数矩阵 3102410100AE 100010000自由未知量自由未知量:3x120 xx令令 得基础解系得基础解系:31x 1001p 111(0k p k常数常数)是对应于是对应于12 的全部特征向量。的全部特征向量。7齐次线性方程组为齐次线性方程组为当当 时，时，231 0AE x 210420101AE 10101200013232x

5、xxx 得基础解系得基础解系2121p 222(0k p k常数常数)是对应于是对应于231的全部特征向量。的全部特征向量。书书P130. 例例4. 例例583. 特征值和特征向量的性质特征值和特征向量的性质性质性质1： 若若 的特征值是的特征值是 ， 是是 的对应于的对应于 的特征向量，则的特征向量，则A xA (1) kA的特征值是的特征值是. (kk 是任意常数是任意常数)(2) mA的特征值是的特征值是. (mm 是正整数是正整数)(3) A若若 可逆，则可逆，则 的特征值是的特征值是1A 1. A 的特征值是的特征值是1.A 1,mkA AAA且且 仍然是矩阵仍然是矩阵 x分别对应于

6、分别对应于 的特征向量。的特征向量。11 , ,A mk (4) ( )f x为为x的多项式，则的多项式，则 的特征值为的特征值为 ( )f x( ).f 9性质性质2： 矩阵矩阵 和和 的特征值相同。的特征值相同。TAA定理定理2：设设 阶方阵阶方阵 的的 个特征值为个特征值为 n ijAa n12,n 则则12n11221 1) ( )ninniiatraaAa 称为矩阵称为矩阵A的的迹。迹。（主对角元素之和）（主对角元素之和）112n2) niiA 10例例2 ： 例例3：设：设解解： （1）设设 为矩阵为矩阵 的特征值，求的特征值，求 的特征值；的特征值； A22AAE若若 可逆，求可

7、逆，求 的特征值。的特征值。A *1,AEA 111222111A 求：求： （1） 的特征值和特征向量。的特征值和特征向量。A（2）求可逆矩阵）求可逆矩阵 ，使得，使得 为对角阵。为对角阵。1PAP P1112220111AE 11 022 111222111 000000111 A321xxx ,021时时当当 0Ax 自由未知量自由未知量:32, xx得基础解系得基础解系12110,110pp 全全部部特特征征向向量量的的是是对对应应于于的的常常数数不不同同时时为为0)0 ,(21212211 kkpkpk 2 , 0321 得得12 000210111111202113自由未知量自由未

8、知量:3x 000210101 32312 xxxx的的全全部部特特征征向向量量是是对对应应于于，常常数数0)0 (3333 kpk得基础解系得基础解系3121p 时时当当23 (2)0AE x13 321 111222333(2) ,.App AppApp 123123A pppApApAp 112233ppp 112323ppp 取取 123Pppp 111012101 002 1420P APP1P 存在存在11PAPP P 本题启示本题启示: 问题：问题：矩阵矩阵 是否唯一？矩阵是否唯一？矩阵 是否唯一？是否唯一？P 2. 提供了一种求提供了一种求 的方法的方法.kA1PAP 其中其中

9、 为对角阵。为对角阵。 1. 通过求通过求A的特征值的特征值,特征向量特征向量,有可能把有可能把A写成写成15. 02211 mmpxpxpx则则 , 02211 mmpxpxpxA, 0222111 mmmpxpxpx 定理定理3：设设 是方阵是方阵 的的 个特征值，个特征值，12,m Am12,mppp依次是与之对应的特征向量。依次是与之对应的特征向量。如果如果 各不相等，各不相等，12,m 12,mppp则则 线性无关。线性无关。书书p138 定理定理5.3.2即，即，方阵方阵 的属于不同特征值的特征向量线性无关。的属于不同特征值的特征向量线性无关。A证明：证明：设常数设常数 使得使得12,mx xx16类推之，有类推之，有. 0222111 mmkmkkpxpxpx 1, 2 , 1 mk把上列各式合写成矩阵形式，得把上列各式合写成矩阵形式，得 11221112211111,mmmmmmmpxpxpx 0 , 0 , 0 等号左边第二个矩阵的行列式为等号左边第二个矩阵的行列式为Vandermonde行列式，行列式， 当当 各不相同时，该行列式的值不等于零，所以存在逆矩阵。各不相同