高等数学b学习资料-4.4可用变量代换法求解的一阶微分方程ppt课件

1、第四节第四节 可用变量代换法求解的一可用变量代换法求解的一阶微分方程阶微分方程一、齐次方程一、齐次方程二、可化为齐次型的方程二、可化为齐次型的方程三、利用变量代换求微分方程的解三、利用变量代换求微分方程的解四、伯努利方程四、伯努利方程一、齐次方程一、齐次方程)(ddxyfxy 形形如如的微分方程称为齐次方程的微分方程称为齐次方程. .2.解法解法,xyu 令令,xuy 即即代入原方程代入原方程,得得,ddddxuxuxy ),(ddufxuxu .)(ddxuufxu 即即可分别变量的方程可分别变量的方程1.定义定义xxuufud)(d 两边积分两边积分, , 得得 积分后再用积分后再用 替代

2、替代 u,u,便得原方程的通解便得原方程的通解. .xy分别变量，分别变量， 例例1 1 求解微分方程求解微分方程.tanxyxyy 解解,xyu 令令,uxuy 则则代入原方程得代入原方程得,tanuuuxu 分别变量分别变量, ,ddsincosxxuuu 两边积分两边积分, ,得得 即即,lnlnsinlnCxu ,sinxCu 即即故原方程的通解为故原方程的通解为.sinxCxy ( 当当 C = 0 时时, y = 0 也是方程的解也是方程的解)例例2 2 求解微分方程求解微分方程解解.0dd)2(22 yxxyxy,)(22xyxyy 方方程程变变形形为为,xyu 令令,22uuu

3、xu ,uxuy 则则代入原方程得代入原方程得分别变量分别变量, ,dd2xxuuu 两边积分两边积分, ,得得 ,dd111 xxuuu即即,lnln1lnCxuu ,)1(Cuux 即即故原方程的通解为故原方程的通解为.)(yCxyx 阐明阐明: 显然显然 x = 0 , y = 0 , y = x 也是原方程的解也是原方程的解, 但在但在 求解过程中丧失了求解过程中丧失了. 例例3 3 求解微分方程求解微分方程).ln(lnxyyyx 解解,lnxyxyy 方方程程变变形形为为,xyu 令令,uxuy 则则代入原方程得代入原方程得,lnuuuxu 分别变量分别变量, ,d1)1(lndx

4、xuuu 两边积分两边积分, ,得得 ,lnln1lnlnCxu ,1ln uCx即即故原方程的通解为故原方程的通解为.1lnlnCxxy oyx可得可得 OMA = OAM = 解解: 设光源在坐标原点设光源在坐标原点,那么反射镜面由曲那么反射镜面由曲线线 )(xfy 绕绕 x 轴旋转而成轴旋转而成 .过曲线上恣意点过曲线上恣意点 M (x, y) 作切线作切线 M T,由光的反射定律由光的反射定律: 入射角入射角 = 反射角反射角xy cotxyy 22yxOM TMAPy取取x 轴平行于光线反射方向轴平行于光线反射方向,从而从而 AO = OMOPAP 而而 AO 于是得微分方程于是得微

5、分方程 : xyy 22yx 例例4 4 在制造探照灯反射镜面时在制造探照灯反射镜面时, ,要求点光源的光要求点光源的光线反射出去有良好的方向性线反射出去有良好的方向性 , , 试求反射镜面的外试求反射镜面的外形形. .利用曲线的对称性利用曲线的对称性, , 无妨设无妨设 y y 0,0, 21dd yxyxyx, vyx 则则,yxv 令令21ddvyvy yvyvyxdddd 积分得积分得故有故有1222 CvyCy,xvy 代入代入得得)2(22CxCy ( (抛物线抛物线) )221)(vvCy Cyvv 21故反射镜面为旋转抛物面故反射镜面为旋转抛物面. .于是方程化为于是方程化为(

6、 (齐次方程齐次方程) ) Cyvvlnln)1(ln2 二、可化为齐次型的方程二、可化为齐次型的方程的微分方程的微分方程形如形如)(dd111cybxacbyaxfxy 为齐次方程为齐次方程. .,01时时当当 cc，令令kYyhXx ,(h 和和 k 是待定的常数是待定的常数)否那么为非齐次方程否那么为非齐次方程. .2.解法解法1.定义定义,dd,ddYyXx 则则原方程化为原方程化为 YbXaYbXaXY11dd ckbha 111ckbha ,. 111时时当当bbaa YbXaYbXaXY11dd ckbha 111ckbha 令令 0 ckbha0111 ckbha, 解出解出

7、h , k YbXaYbXaXY11dd ( (齐次方程齐次方程) ),代入代入将将kyYhxX 求出其通解后求出其通解后, , 即得原方程的解即得原方程的解. . .31dd1的通解的通解求求例例 yxyxxy解解,0301 khkh令令, 2, 1 kh, 2, 1 YyXx令令,ddYXYXXY 代入原方程得代入原方程得，令令XYu ,11dduuXuXu 分别变量并积分得分别变量并积分得方程变为方程变为,)12(22cuuX ,222CXXYY 即即代代回回，将将2, 1 yYxX得原方程的通解得原方程的通解,)1()2)(1(2)2(22Cxyxy .622122Cyxyxyx 或或

8、上述方法不能用上述方法不能用.,. 211时时当当 bbaa三、利用变量代换求微分方程的解三、利用变量代换求微分方程的解.)(dd12的通解的通解求求例例yxxy 解解,uyx 令令1dddd xuxy代入原方程代入原方程21dduxu ,arctanCxu 解解得得得得代代回回, yxu ,)arctan(Cxyx 原方程的通解为原方程的通解为.)tan(xCxy 有时可经过适当的变量代换把一个方程化为有时可经过适当的变量代换把一个方程化为可分别变量的方程：可分别变量的方程：.)1(sin22的的通通解解求求例例 yxy解解令令 , 1 yxu 那么那么,1yu 故有故有,sin12uu 即

9、即,ddsec2xuu ,tanCxu 解得解得.)1tan(Cxyx 所求通解所求通解: :.)ln(ln3的通解的通解求微分方程求微分方程例例yxyyyx 解解,xyu 令令,yyxu 则则,lnuxuu 代入原方程得代入原方程得,dlndxxuuu ,dlnd xxuuu,ln)ln(ln1Cxu ,lnxCu 所求通解为所求通解为,lnxCxy dy1dy1又又如如：= =dxx + ydxx + y解解,uyx 令令, 1dddd xuxy则则代入原式代入原式,11dduxu 分别变量法解得分别变量法解得,)1ln(Cxuu ,代回代回将将yxu 所求通解为所求通解为,)1ln(Cy

10、xy 11 yeCxy或或另解另解.ddyxyx 方程变形为方程变形为伯努利伯努利(Bernoulli)方程的规范方式方程的规范方式nyxQyxPxy)()(dd )1 , 0,( nRn方程为线性微分方程方程为线性微分方程. 方程为非线性微分方程为非线性微分方程方程.四、伯努利方程四、伯努利方程时时，当当1 , 0 n时时，当当1 , 0 n解法解法: : 需经过变量代换化为线性微分方程需经过变量代换化为线性微分方程. .,1 nyz 令令，则则xyynxzndd)1(dd ),()(dd1xQyxPxyynn ),()1()()1(ddxQnzxPnxz 求出通解后，将求出通解后，将 代入

11、即得代入即得nyz 1，得，得两端除以两端除以ny代入上式代入上式. )d)1)(d)()1(d)()1(1 CxenxQezyxxPnxxPnn.4dd2的的通通解解求求方方程程yxyxxy ,yz 令令,4dd22xzxxz ,22 Cxxz解解得得.224 Cxxy即即解解例例1.2222的的通通解解求求方方程程xxexyyy 解解例例2,2112 yxexyyx,2)1(1yyz 令令,dd2ddxyyxz 则则,2dd2xxexzxz dd2d22Cxexeezxxxxx 所求通解为所求通解为).2(222Cxeyx .)ln(dd2的的通通解解求求方方程程yxaxyxy 解解例例3

12、令令,1 yz那么方程变形那么方程变形为为,lnddxaxzxz 其通解为其通解为 Cxexaezxxxx d)ln(dd11将将1 yz . 1)ln(22 xaCxy ,)ln(22xaCx 代入代入, , 得原方程通解得原方程通解: : 五、小结五、小结1、齐次方程、齐次方程).(ddxyfxy 齐次方程的解法齐次方程的解法.xyu 令令2、可化为齐次方程的方程、可化为齐次方程的方程.,kYyhXx 令令), 1 , 0()()(ddRyxQyxPxy 1yz令令3、伯努利方程、伯努利方程伯努利方程的解法伯努利方程的解法六、几点阐明六、几点阐明:1、一阶微分方程的类型较多、一阶微分方程的

13、类型较多 , 不同类型有不同不同类型有不同的解法的解法 , 因此首先要识别方程的类型因此首先要识别方程的类型 , 然后运用然后运用相应的解法相应的解法 . 2、有时所给的方程并非规范型、有时所给的方程并非规范型 , 应把方程转化应把方程转化为规范方式再求解为规范方式再求解 .思索题思索题方程方程)(d )()(2022xxyttyttyx 能否为齐次方程能否为齐次方程?解解 方程两边同时对方程两边同时对 x 求导求导:,222yxyyxy ,22yyxyx ,12xyxyy 原方程是齐次方程原方程是齐次方程.一、一、 求下列齐次方程的通解求下列齐次方程的通解: : 1 1、0dd)(22 yx

14、yxyx； 2 2、0d)1(2d)21( yyxexeyxyx. . 二、二、 求下列齐次方程满足所给初始条件的特解求下列齐次方程满足所给初始条件的特解: : 1 1、1, 0d2d)3(022 xyxxyyxy； 2 2、,0d)2(d)2(2222 yxxyyxyxyx 11 xy . . 三、化下列方程为齐次方程三、化下列方程为齐次方程, ,并求出通解并求出通解: : 1 1、31 yxyxy； 2 2、0d)642(d)352( yyxxyx. . 练练 习习 题题练习题答案练习题答案一一、1 1、)ln2(22cxxy ； 2 2、cyexyx 2. . 二二、1 1、322yxy

15、 ； 2 2、yxyx 22. . 三三、1 1、Cyxxy )2()1ln(2112arctan22； 2 2、Cxyxy 2)32)(34(. . 思索：思索：.64dd yxyxxy例例 求解微分方程求解微分方程提示提示:. yxv 令令上述方法不能用上述方法不能用.,01时时当当 b.1中必至少有一个为零中必至少有一个为零与与ba,. 211时时当当 bbaa),)(dd1cbyaxcbyaxfxy 方方程程可可化化为为,byaxz 令令，则则xybaxzdddd ).()dd(11czczfaxzb , 0 b若若可分别变量的微分方程可分别变量的微分方程., 0, 01 ab若若),dd(1ddaxzbxy )()dd(11cczfaxzb 可分别变量的微分方程可分别变量的微分方程.,01时时当当 b,byaxz 令令可分别变量的微分方程可分别变量的微分方程.例例 用适当的变量代换解以下微分方程用适当的变量代换解以下微分方程: :.)(sin1dd. 12xyxyxxy 解解,xyz 令令,ddddxyxyxz