河北省衡水中学2020学年度高二数学上学期期末考试试题(理科)

1、河北省衡水中学2020学年度高二数学上学期期末考试试题（理科）本试卷分第I卷（选择题）和第n卷（非选择题）两部分。共150分。考试时间120分钟。注意事项：1.答卷I前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考试科目用铅笔涂写在答题 卡上。2 .答卷I时，每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案。3 .答卷n前，考生务必将自己的姓名、班级、考号填在试卷密封线内规定的地方。4 .答卷n时，用蓝、黑色钢笔或圆珠笔填写在试卷规定的地方。、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分。下列每小题所给选项只有一项符合题意，请将正确答案的序号填涂在答

2、题卡上）1 .已知a,b,c表示三条不同的直线，表示两个不同的平面，则下列命题正确的是A.若 II ,a± b± ，则a / bB.若 / a / b / 贝Ua/bC.若 a b ,a / b,则/D.若a，b,b，c,则a，c2 .如图，直角三角形 ABC与正三角形 ACD所在的两个平面互相垂直，AC BC,如果公共边 AC a,则异面直线 AD和BC间的距离为A. a B. a C.-2 a D. 3 a2223 .已知点P（x, y）所在的平面区域为图中所示的三角形，且u x2 y2 4x 4y 8 ,则u的取值范围是9 9一A. 9 25 B. 5,25 C. 9

3、 9 D. 5,92,2，4.以下四个命题：若平面外两点到平面的距离相等，则过这两点的直线必平行于该平面；若一条直线与一个平面的一条斜线的射影垂直，则这条直线与这条斜线垂直；两条相交直线在同一平面内的射影必为相交直线；若两个平面垂直，则其中一个平面内的任一直线必垂直于另一个平面内的无数条直线 其中错误命题的个数为 A. 125.圆xB. 2个2y 4x 4y 5 0上的点到直线3x 2yC. 3个D. 4个18 0的最大距离与最小距离的差为A.石B.273C. 3.3D. 66.如图，三棱锥 A BCD中，AB 面BCD, DC BC , AB BC CD ,设AD与面ABC所成角为 ，AB与

4、面ACD 所成的角为，则下列结论正确的是A.B.C.D.大小关系无法确定7.已知椭圆的长轴是短轴的三倍，长轴和短轴都在坐标轴上, 且过点A(3,0),则椭圆方程为2 x A. 922B Vy21 或 >2122222xy,x2qxy,C. 1D.y 1 或198199818.抛物线y22 px与直线axy 4 0交于A, B两点，且 A点坐标为(1, 2),设抛物线的焦点为F ,那么FA FB等于A.5B.6 C.3 . 5D.79 .甲、乙、丙3位志愿者安排在周一至周五的5天中参加某项志愿者活动，要求每人参加一天且每天至多安排一人，并要求甲安排在另外两位前面，则不同的安排方法共有A.

5、20 种B. 30 种C. 40 种D. 60 种10 .已知半径为1的球面上有 A、B、C三点，且它们之间的球面距离都是,则球心。到平面ABC的距离为1C.一2B ,6B.311.如图，在 ABC 中，tanA=3,tanA 3, AH HC 0,AB (CA CB) 0 ,点 h 在 bc边上，则过点C,以A、H为两焦点的双曲线的离心率为A. 1B. 2C. 3D. 412.设过点P(x, y)的直线分别与 X轴的正半轴和y轴的正半轴交于A、B两点，点Q与点P关于y轴对称，O为坐标原点,uuu uurrBP 2PAuuur 且OQuuuAB 1 ,则P点的轨迹方程是23 2A. 3x -y

6、 1(x23 22C. -x 3y 1(x二、填空题(本答题共0,y0.y0)0)B. 3x2D. 3X224小题，每小题5分,3 22 y 1(x3y2 1(x0,y 0)0,y 0)共20分，把答案写在答题纸上)2213.若双曲线L L 1的渐近线方程为 y4 m?则双曲线的焦点坐标为14.在棱长为a的正方体ABCD AiBiCiDi中,E, F分别为AiBi和AB的中点，则异面直线A1F和CE所成角的正切值为._2_2_2_215 .已知动圆M与C1：x (y 2)1,C2：x (y 2)4都外切，则动圆圆心M的轨迹方程为.16 .底面是等边三角形，侧面与底面所成的二面角都相等的三棱锥是

7、正三棱锥；底面是 等边三角形，侧面都是等腰三角形的三棱锥是正三棱锥；有一个侧面垂直于底面的棱柱是直棱柱；有两个侧面是矩形的棱柱是直棱柱其中，假命题的编号是. 三、解答题(本大题共 6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤，请将 解答过程写在答题纸上)17 .(本小题满分10分)已知一个圆与 y轴相切，圆心在直线 x 3y 0上，且在直线y x上截得弦长为2J7,求此圆的方程18 .(本小题满分 12分)如图，在直三棱柱 ABC A1B1C1中,AC 3, BC 4, AB 5, AA1 4 ,点 D 是 AB 的中点.(1)求证：AC BC1；(2)求异面直线 AC1与BC所成

8、角的余弦值；(3)求AC1到平面B1DC的距离.19 .(本小题满分12分)如图，在平行四边形 ABCD中，AB 1,BD 灰,ABD 900将它们沿对角线 BD折起，折后的点 C变为C1,且A、C1间的距离为2.(1)求点B到平面AC1D的距离;(2) E为线段AC1上的一个动点，当线段 EC1的长为多少时，DE与平面BC1D所成的角为30°?22°.(本小题满分12分)已知过抛物线x2 4y的对称轴上一点 P(°, m)(m °)作直线l , l与 抛物线交于 A B两点.(1)若 AOB为钝角(O为坐标原点)，求实数m的取值范围；(2)若P为抛物线

9、的焦点，过点P且与l垂直的直线l与抛物线交于 C、D两点，设AR CD的中点分别为 M、N .求证：直线 MN必过定点.21.(本小题满分12分)已知：三棱柱 ABC AB1cl中，各棱长均为2,平面ABC，平面 AAC1C , AAC 60°.(1)求证：B1C，平面 A1BC1 ；(2)求二面角B1 A1B C1的大小；(3)设O是线段AC的中点，P是 ABC内部及边界上的一动点，使 OP平面A1BC1, 试指出动点P的轨迹图形是什么？请说明你的理由 .2222.(本小题满分12分)已知直线y x 1与椭圆 之4 1(a b 0)相交于A、B两点, a b且OA OB (其中O为

10、坐标原点).(1)若椭圆的离心率为 ,求椭圆的标准方程；3(2)求证：不论a,b如何变化，椭圆恒过第一象限内的一个定点P,并求点P的坐标；(3)若直线l : y ax m过(2)中的定点P ,且椭圆的离心率 eJ，旧，求原点到直线l距离的取值范围.答案及评分细则、选择题：1-5 ADACB 6-10BDDAB11-12 CD二、填空题:13、("。)；14、2、5；524215、4y x 1(y150)；16、.三、解答题:17.解：设圆心坐标为 3m, m ,则半径为3m.4 分一一 一 、一一 .229则圆的万程为 x 3m y m 9m又2m27 9 m2：.6分解得 m 18

11、分,一一 一 一 、一一 .22所以圆的方程为 x 3 y 19,22或 x 3 y 19.io分22218.解：（1） ABC 中，由 AC 3,BC 4, AB 5得：AC BC AB AC BC,且BC1在平面ABC内的射影为BC AC BC1. 设BC1与BC交点为E,连结DE,则 DE AC1,CED为异面直线AC1与BQ所成的角,1515在 CED 中，ED AC1 , CD AB , 222CE 1cBi 2 石，cos CED 282.22 2,2 5524分异面直线AG与BC所成角的余弦值为2.25(3)由A、B关于点D对称，则所求即为点B到平面B1cD的距离d在 B1cD

12、中，B1c5.894 2, CD -,B1D .22cos B1cDSBCD .34,B1CD又 S BCDB1 BCDVB B1cD1 4 3 3 d 34解得：d 5叵4ACi到平面BiDCi的距离为述4 12分171722219.解：(1) AC1 2 AC1AB BC1 AB BC1又 AB BD AB 平面 BC1D C1D ABC1D BD C1D 平面ABD 平面ABD 平面AC1D 3C1D AB过点B做BF AD于F ,则BF即为B到平面AC1D的距离,则 BF 1 2 -1(2)过 E 作 EHBC1 于 H ,则 EHAB,故 EH 平面 BCD,连 DH ,则 EDH就

13、是DE与平面BCD所成的角. 8分01设 |CE| x,AB 1, AC1 2,故知 AC1B 30 ,则 EH -x, 2同理可知， DC1E 60°,在 DC1E中，由余弦定理得 DE2 1 x2 2xcos60° x2 x 1 .若 EDH 300,则 DE 2EH x,故有 x2 x2 x 1 ,解得 x 1 ,即1cl E| 1时，DE与平面BC1D所成的角为300 . 12分20.解：(1)设l : y kx m (k存在)，代入x2 4y化简得： 2x 4kx 4m 02Q m 016k16m 0 恒成立设 A(x1,y1), B(x2,y2),则 x x2

14、4k,x1x24m 3分uuu uuurQ AOB为钝角，则OA OB 0uuu uuu 22OAgDBx1x2y1y2xix2(kxim)(kx2m) (1 k )为x2km(x1x2)m ,即：(1 k2)( 4m) km 4k m2 0,即 m2 4m 0,又因为m 0,解得0 m 4(1) 若P为焦点，则P(0,1), l : y kx 1,由(1)可知，Xm2k, Ym 2k2 1,点M的坐标为(2k,2k2 1)因为直线l过点P且与l垂直，可得点N的坐标为(2 2-,1)k k2直线MN2k2 -22的斜率为k-2k 2 k直线MN的方程为y-2(2 k1)(k1?(x 2k),即

15、 y lx 2k22 (2k21)x 3, k令x 0,得y 3,故直线MN过定点(0,3).12分21. (1)证明：取AC1的中点M ,连CM、B1M三棱柱 ABC AB1cl各棱长均相等,A AC 600B1CAC1ACC1与A1B1cl都是等边三角形CM AC1,B1M AC1平面 ABC，平面 AAC1C ,，平面 A1B1cl，平面 AAC 1cB1M，平面AACiC ,由三垂线定理得:又四边形BCC1B1是菱形，B1C BCi而 BG I ACiCiB1C 平面 ABC11八八GH JL 2A1C1 ,（2）连AB1与AB交于G点，设BiC与BC1交于H点，连GH ,则1GH a

16、 AC取 AC 的中点 N ,连 BN , A1N ,可证 AC A1B. . GH A1B又.四边形 AAB1B是菱形AB1 A1BBiGH就是所求二面角的平面角由（1）知 AC1 B1C. . GH BCA1C1 2, GH 1,B1C 7Cm2 B1M2 志 B1H16B1C 2 12.tan B1GHB1H6-即所求二面角的大小为GH 2arctai 2（3）取AB的中点F , BC的中点K ,连OF , OK ,连AC1必过。点,6分8分且O为AC1的中点，则 OF / BC1OF/平面 ABC. OF I FK F，平面OFK 平面A1BC1在线段FK上（含端点）任取一点 P ,连

17、OP ,则OP /平面ABC1而过平面ABC外一点O只能作出一个平面与其平行12分因此，点P的轨迹就是线段FK2 X22.解：(1)由 a y2y 1b2消去 y,得(a? b2)X2 2a2X22a2(1 b2) 0x 1.由(2a2)22/ 24a (ab2)(1b2) 0,整理得设A(Xi,y1)，Bdyz),则XiX22a2a2 b2，X1X2a2a2(1b2 1b2)y y2( X1QOA OB, 2a2(1 b2)1)( X2 1)*X2 丫血2a2X1X2 (X10,即 2X1X2X2)(X12,2a b1.X2) 1 0,Qe2b2a2 b22a2 a13b2所以椭圆的标准方程为0,整理得:5.66 2 d5丫 1.b2 2a2b2 0,2 2.2 22. 22. 2(2)由 a b 2ab(-)(亏)0, 22221,则不论a,b如何变化，椭圆恒过第一象ab限内的定点(w(3)将定点坐标代入直线方程得m 三(1a),直线l的方程为ax y -2 (1 a) 0.22|-y(1 a)|则原